浅谈导数恒成立中的整数问题

精品文档 11欢迎下载 导数恒成立中问题中的整数问题 导数为我们解决有关函数问题提供了一般性方法 是解决实际问题强有力的工具 与 初等数学方法比较 利用导数研究函数性质具有简捷性 有效性和一般性的特点 以函数 为载体 以导数为工具 考查函数图象 极 最 值 单调性及其应用为目标 是最近几 年函数 导数及不等式交汇试题的显著特点和命题趋向 导数问题灵活多变 经常在与函数 不等式以及数列等知识的交汇处命题 综合程度 高 命题时以能力立意为主 思维力度大 涉及的数学思想方法丰富多样 因此 将导数 问题归类研究 揭示各种题型的普遍特征和规律 是每一位高中数学教师当之不让的责任 从整体指导思想方面说 解决导数问题关键是要先让学生理解函数的概念 掌握好各 类函数的结构特征和基本性质 并能将其用于解决具体问题之中 要让学生形成函数思想 真正树立函数观念和变量意识 并能主动利用导数 方程 不等式处理问题 让他们能够 在具体问题中顺利实施有效的化归与转化 重视逻辑推理 加强逻辑命题的结构分析和命 题转化训练 如当且仅当 存在 恒成立 能成立等语言涵义理解 加强实际运用 提高 综合应用能力 多研究函数性质及解不等式 证明不等式的基本方法 尤其是 构造函数 建立方程 挖掘不等式关系 含参数字母的分类讨论 比较法 分析法 综合法 放缩法 等常见的证明方法 从具体题型方面说 应该建立导数问题的研究框架 对问题形成整体把握 根据个人 的研究和教学体会 笔者认为导数问题大致可分为七大类 一 导数单调性 极值 最值的直接应用 二 交点与根的分布 三 不等式证明 一 作差证明不等式 二 变形构造函数证明不等式 三 替换构造不等式证明不等式 四 不等式恒成立求字母范围 一 恒成立之最值的直接应用 二 恒成立之分离常数 三 恒成立之讨论字母范围 五 函数与导数性质的综合运用 六 导数应用题 七 导数结合三角函数 八 导数中涉及整数的问题 在解决问题时 经常涉及以下八种主要的数学思想和方法 一 数形结合思想 二 分类讨论思想 三 函数与方程思想 四 作差法 五 分离参数法 六 构造函数法 七 构造不等式法 八 转换变量法 纵观最近几年的高考试题 含参数不等式的恒成立问题成为一个热点 研究的文章也 层出不穷 但是对于导数恒成立中与整数有关的问题 大家观注甚少 下面本文将就这类 问题的类型进行一番归纳和研讨 抛砖引玉 期望与各位专家同行切磋提高 共同完善 精品文档 22欢迎下载 一 参数的范围与整数相关一 参数的范围与整数相关 此类问题 只是将传统的在实数范围内求解的恒成立问题 向整数范围作了一个简单 的迁移 只是传统问题在整数范围内的具体化 分析问题的思路和解题的方法与在实数范 围内的讨论相同 我们来看具体的问题 设函数在 1 上是单调递增 1 1 x kx xf 求实数k的取值范围 若0 x 时 求满足条件的最大整数k的值 其中 是自然对数1 1 1 xe x kx e 的底数 对于本题的第一问 学生解决起来没有太大障碍 值得注意的是临界值在本题中k1 不符合题意 在解题时应重视这个细节 具体解法如下 1 1 x kx xf 2 1 1 k fx x 又 f x是 1 上的单调递增 由得1k 0fx k的取值范围为 1 对于本题的第二问 也是本文要重点探讨的问题 我们将用三种方法进行分析和解答 方法一 构造函数法 从要解决的问题入手 观察不等式的形式 不难想到要等价变形 使问1 1 1 xe x kx 题得到转化 即只需证明恒成立 因此构造一个目标函数来求解 0 1ln 1 1 x x kx 设函数 则 1ln 1 1 x x kx xg 22 11 0 1 1 1 kkx g xx xxx i 当时 0k 0 x 2 0 1 kx g x x 在单调递减 xg 0 0 1g xg 0g x 因此 符合题意 0k ii 当时 0 k 2 0 1 kx g xx x 当时 当时 0 xk 0g x xk 0g x 在 xg上减函数在上增函数 0 k k 因此 只需 即 0 1ln 1 1 2 max k k k kgxg0 1ln 1 kk 设 1ln 1 kkkh 在上增函数 1 10 11 k h x kk kh 0 03ln1 2 h04ln2 3 h 使 0 0 2 3 h kk 的的解 综上 使成立的 1 1 1 xe x kx 0 kkk 的范围是 符合题意的最大整数k的值为 2 方法二 分离参数法 对于恒成立问题 我们通常有一种解决方式 即去解决分离参数法 这样做的目的是 尽可能地减少讨论 精品文档 33欢迎下载 欲使 只需 即 1 1 1 xe x kx 1ln 1 1 x x kx x xx k 1 1ln 1 设 x xx xg 1 1ln 1 2 ln 1 1 0 xx g xx x 设 1 1ln xxxh 1 1 11 x h x xx 当 上单调递增 0 0 xh x 0 h x 在 04ln2 3 02ln1 2 hh 使 且 0 0 2 3 h xx 的解 00 ln 1 10 xx 当时 当 0 0 0 xxg x 0 xx 0g x 在上单调递减 在上单调递增 g x 0 0 x 0 x 0 0g xg x 的范围是 k 0 kx 由前面分析知 符合题意的最大整数k的值为 2 0 2 3 x 方法三 猜想验证法 对于这类问题 可先通过对取值 缩小的范围 猜测的取值 并对一般情况加xkk 以证明 设 因为 f x是 1 上的增函数 且1e 所以 g x是 1 1 x kx exg 1 上的增函数 由条件知 因此猜测满足条件最大整数为 2 1 2 1 2 2 2ln213 k gek 所以即k 下面证明对任意0 x 恒成立 1 1 12 xe x x 因为 21 1 1 x x ex 等价于0 1 12 1ln x x x 设 1 12 1ln x x xxh 2 2 1 x h x x 当 当 0 2 0 xh x 2 0 xh x 当 0 x013ln 2 min hxh 即对任意的0 x 都有 即对任意 0 1 12 1ln x x xxh0 x 恒成立 1 1 12 xe x x 符合题意的最大整数k的值为 2 二 函数的表达式与整数相关二 函数的表达式与整数相关 2008山东卷第21题 已知函数 1 ln 1 1 n f xax x 其中n N a为常数 当n 2时 求函数f x 的极值 当a 1时 证明 对任意的正整数n 当x 2时 有f x x 1 第一问属于常规问题 略解如下 由已知得函数f x 的定义域为 x x 1 当n 2时 2 1 ln 1 1 f xax x 所以 2 3 2 1 1 ax fx x 精品文档 44欢迎下载 i 当a 0时 由f x 0得 1 2 1x a 1 2 2 1x a 1 此时 fx 12 3 1 a xxxx x 当x 1 x1 时 fx 0 f x 单调递减 当x x1 时 fx 0 f x 单调递增 ii 当a 0时 fx 0恒成立 所以f x 无极值 综上所述 n 2时 当a 0时 f x 在 2 1x a 处取得极小值 极小值为 22 1 1 ln 2 a f aa 当a 0时 f x 无极值 方法一 分类讨论法 当a 1时 1 ln 1 1 n f xx x i 当n为偶数时 令 1 1ln 1 1 n g xxx x 则 g x 1 11 12 1 11 1 nn nxn xxxx 0 x 2 当x 2 时 g x 单调递增 又g 2 0 因此 1 1ln 1 1 n g xxx x g 2 0恒成立 所以f x x 1成立 ii 当n为奇数时 要证 f x x 1 由于 1 1 nx 0 故只需证ln x 1 x 1 令h x x 1 ln x 1 则 h x 1 12 11 x xx 0 x 2 所以 当x 2 时 1 ln 1 h xxx 单调递增 又h 2 1 0 所以当x 2时 恒有h x 0 即ln x 1 x 1命题成立 综上所述 结论成立 方法二 放缩法 当a 1时 1 ln 1 1 n f xx x 当x 2 时 对任意的正整数n 恒有 1 1 nx 1 故只需证明1 ln x 1 x 1 令 1 1 ln 1 2ln 1 2 h xxxxxx 则 12 1 11 x h x xx 当x 2时 h x 0 故h x 在 2 上单调递增 因此 当x 2时 h x h 2 0 即1 ln x 1 x 1成立 精品文档 55欢迎下载 故当x 2时 有 1 ln 1 1 n x x x 1 即f x x 1 三 自变量的范围与整数相关三 自变量的范围与整数相关 已知函数 32 63 x f xxxxt e t R 若函数 yf x 依次在 xa xb xc abc 处取到极值 i 求t的取值范围 ii 若 2 2acb 求t的值 若存在实数 0 2t 使对任意的 1 xm 不等式 f xx 恒成立 求正 整数的最大值 m 第一问属于常规问题 略解如下 i 23232 3123 63 393 xxx fxxxexxxt exxxte 32 3 39303 f xxxxta b c 有个极值点有个根 322 393 3693 1 3 g xxxxtg xxxxx 令 1 3 1 3 g x 在上递增 上递减 3824 3 0 g xt g g 1 0 有个零点 ii a b cf x 是的三个极值点 3232 393 x a x b x c x xxxtabc xabbcac xabc 3 9 3 abc abacbc tabc 3 1 b 1 3 2 b 或舍 1 2 3 18 12 3 a bt c 第二问 通过观察题中函数的形式 尝试使用分离参数法 不等式 f xx 即 32 63 x xxxt ex 即 32 63 x txexxx 转化为存在实数 0 2t 使对任意 1 xm 不等式 32 63 x txexxx 恒成 立 只需 32 063 x xexxx 在 1 xm 上恒成立 1 xm 只需 2 063 x exx 恒成立 设 2 63 x xexx 则 26 x xex 设 26 x r xxex 则 2 x r xe 1 xm 0r x r x 在区间 1 m 上是减函数 又 123 1 40 2 20 3 0rerere 存在 0 2 3 x 使得 00 0r xx 当 0 1xx 时 有 0 x 当 0 xx 时 有 0 x yx 在区间 0 1 x 上递增 在区间 0 x 上递减 精品文档 66欢迎下载 又 123 1 40 2 5 0 3 6 0 eee 456 4 5 0 5 20 6 30 eee 当1 5x 时 恒有 0 x 当 6x 时 恒有 0 x 使命题成立的正整数m的最大值为5 四 方程的根 函数的零点 与整数相关四 方程的根 函数的零点 与整数相关 已知函数 2 x f xaxx e 其中 是自然数的底数 aR 当0a 时 解不等式 0f x 若 f x在 上是单调增函数 求a的取值范围 当0a 时 求整数 的所有值 使方程 2f xx 在 上有解 第一问属于常规问题 略解如下 因为e0 x 所以不等式 0f x 即为 2 0axx 又因为0a 所以不等式可化为 1 0 x x a 所以不等式 0f x 的解集为 1 0 a 22 21 e e 21 1 e xxx fxaxaxxaxax 当0a 时 1 exfxx 0fx 在 1 1 上恒成立 当且仅当1x 时 取等号 故0a 符合要求 当0a 时 令 2 21 1g xaxax 因为 22 21 4410aaa 所以 0g x 有两个不相等的实数根 1 x 2 x 不妨设 12 xx 因此 f x有极大值又有极小值 若0a 因为 1 0 0gga 所以 f x在 1 1 内有极值点 故 f x在 1 1 上不单调 若0a 可知 12 0 xx 因为 g x的图象开口向下 要使 f x在 1 1 上单调 因为 0 10g 必须满足 1 0 1 0 g g 即 320 0 a a 所以 2 0 3 a 综上可知 a的取值范围是 2 0 3 当0a 时 方程即为e2 x xx 由于e0 x 所以0 x 不是方程的解 所以原方程等价于 2 e10 x x 令 2 e1 x h x x 因为 2 2 e0 x h x x 对于 00 x 恒成立 所以 h x在 0 和 0 内是单调增函数 又 1 e30h 2 2 e20h 3 1 3 e0 3 h 2 2 e0h 所以方程 2f xx 有且只有两个实数根 且分别在区间 1 2 和 32 上 所以整数k的所有值为 3 1 五 与整数相关的综合应用五 与整数相关的综合应用 精品文档 77欢迎下载 已知函数 1 1 1 ln 1 f xx x 设 2 g xxfx 0 x 1 是否存在唯一实数 1 am m 使得 0g a 若存在 求正整数m的值 若不存在 说明理