数学建模 足球比赛 论文

第 十 五 组 1 足球队排名次的方法 摘 要 本文讨论了依据我国 12 支足球队在 1988 1989 年全国足球甲级队联赛中的 成绩 给他们进行排列名次的问题 根据全国足球甲级队联赛的比赛规则 符 合要求的排名方法是多种多样的 然而都希望实现尽量公平 尽量精确的排名 策略 我们针对排名的问题 建立了从简单到复杂 从粗糙到较为精确的三个 模型 分别用了平均积分法 图论的相关知识 比分矩阵法以及层次分析法 模型一 依次计算出各个队的总积分 按照国家足球甲级队联赛的规则 可知 获胜加 3 分 平局各得一分 失败就得零分 同时统计每一个队进行的 比赛场数 对总积分 比赛的场数进行排序 所得结果就可以近似的作为各队的 排名 模型二 根据比赛的数据 建立了一个的数字矩阵 在1212 1212ij aA 合理的假设条件下 进行分析 从而完善矩阵 用 C 编程 输入所得矩阵 求出哈密顿开路的路径 再结合模型一的分析 对其排出名次 模型三 用三分制计算对任意第 i 队与第 j 队 i 不等于 j 的得分比 ij b 其中 1 得到比分矩阵 求出比分矩阵的最大特征值 并求出相 ii b 1212 ij bB 应的特征向量 比较分向量的大小 即可求出排名 模型四 用层次分析法 把平均积分 净球数和获胜场数与参赛场数的比 值作为准则层的影响因素 根据它们的比重关系 构造正互反矩阵 逆称矩阵 通过求最大特征值及其特征向量 从而求出排名 四个模型的运行结果如下的表所示 名次 模型 123456789101112 模型一 7 T 3 T 1 T 10 T 2 T 9 T 8 T 6 T 12 T 5 T 11 T 4 T 模型二 7 T 3 T 10 T 9 T 8 T 2 T 1 T 6 T 12 T 5 T 11 T 4 T 模型三 7 T 3 T 1 T 10 T 2 T 9 T 8 T 6 T 12 T 5 T 11 T 4 T 模型四 7 T 3 T 1 T 10 T 2 T 9 T 8 T 6 T 12 T 5 T 11 T 4 T 四个模型都能推广到任意 N 个队的情况 对于不同的模型 数据所要求具 备的条件是不一样的 关键词 足球 排名 积分 图论 比分矩阵 层次分析 2 一 问题描述 近几十年以来 足球这一运动项目在我国较为流行 深受许多球迷的喜爱 越来越多的大型的足球比赛在国内组织起来 其中全国足球联赛就是一个比较 正式 比赛要求较为严谨的一个比赛组织 公平 公正 公开的评分原则显现 的更为重要 题目中给出了 1988 1989 年全国足球甲级队联赛的比赛成绩列表 根据列表的数据 要求设计一个合理的方案对十二支队进行排列名次 并给出 用该方案排名次的结果 建立数学模型 对数据进行分析 对十二支分队进行 排名 并要求能够推广到 N 个队 计算出对于 N 个队的排名情况 对于所设计 出来的数学模型说明所要求数据具备的条件有哪些 设计方案的方法是多种多样的 可以运用模糊数学 图论 层次分析等等 然而由于能力有限或者题目数据的限制 我们仅用其中较为浅显的理论 进行 了建立模型 二 合理的假设 1 参赛各队都是按照自己的真实水平发挥的 且在短时间内 真实水平是不发 生变化的 比赛结果没有人为或其它非正常因素的影响 2 每场比赛的结果对排名的估计的重要程度是一样的 具有相同的可信度 3 每一场比赛都是由比赛规则决定的 没有弃权的现象 三 模型建立 模型一 平均积分法 1 合理假设 假设赢一场比赛得 3 分 平局得 1 分 输一场比赛不得分 这是 根据全国足球联赛的规则中查得的数据 2 符号说明 第 i 支队总的比赛场数 i a 第 i 支队获胜的比赛场数 1 i a 第 i 支队平局的比赛场数 2i a 第 i 支队被打败的比赛场数 3i a 第 i 支队总积分 i w 第 i 支队的平均积分 i 3 由假设依次计算出每一队的总积分和平均积分 目标函数 iii aw 约束条件 i j ij iii aa aaw 3 1 21 13 3 模型二 图论 1 1 建立了一个的数字矩阵 打败时 记标记 1212 1212ij aA i T j T1aij 两者平局或者两者之间没有比赛时不做任何标记 输给时 标记 i T j T 0aij 2 根据所得的的矩阵 统计出每一行为 1 的总数 即每一队打败的1212 对手数 记作一个向量 a a a a a a a a a a a a 121110987654321 3 如果向量中有相同的元素 如 则从 1 到 12 即 N 分别求出被 ji aa 打败的所有队的的总和 并作为新向量 i T j a 中的值 得到 a a a a a a a a a a a a 1 12 1 11 1 10 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 i a 新向量 如果还有相同元素 则根据抽签的原则随机的让其中一方为 1 另一方为 0 最终得到 0 1 矩阵 4 根据所得矩阵 在编写好的 C 程序中执行 得到哈密顿开路的路径 5 每一个哈密顿路径都是一种排名结果 但它对矩阵的依赖性太强 需要 我们进一步结合题目中的数据进行分析最终得到排名结果 模型三 比分矩阵法 1 对模型一的平均积分法有其不可改变的不合理性 在计算比赛得分时没 有考虑对手的强弱 比如 强队胜强队得 3 分 强队胜弱队同样得 3 分 所以采用得分比矩阵同样是用三分制计算对任意第 i 队与第 j 队 i 不等 于 j 的得分比 其中 1 ij b ii b 2 根据比分矩阵 其中为 i 队的平均分与 j 队的平均分的比 1212 ij bB ij b 值 求出比分矩阵的最大特征值 进而得出相应的特征向量 比较分向 量的大小 即可求出排名 2 模型四 层次分析 在此模型中 我们采取层次分析法 在本题中 我们认为影响参赛队排名 主要有一下三个因素 平均分 净球数 参赛队赢的场数与该对比赛的场数之 比 1 我们根据层次分析法建立如下的层次关系 各因素 相对于目标 y 其中 的重要性 1 x 1 2 x 3 x 232211 xwxwxwy 排名 平均分净球数赢的场数与比赛的场数之比 目标层 准则层 4 用下表数值表示 i x j x相等较强强很强绝对强 ij a 13579 若介于上述两者之间 则取 2 4 6 8 3 通过三个因素对排名的影响构造矩阵 C 其中 C 以上的数据 3 3 c ij3 3 ji xx 我们可以写出矩阵 C 然后求出最大特征值和其对应的特征向量 将特征向量 归一化 就可以得到 的值 我们就可以求出排名了 1 w 2 w 3 w 四 模型求解 模型一 平均积分法 1 计算结果如下表所示 参赛队总积分比赛的场数平均分 T134191 7895 T221151 4000 T327151 8000 T49190 4737 T5890 8889 T6651 2000 T739172 2941 T822171 2941 T923171 3529 T1024171 4118 T11590 5556 T121091 1111 2 排名结果 7 T 3 T 1 T 10 T 2 T 9 T 8 T 6 T 12 T 5 T 11 T 4 T 3 模型推广 对于任意的 N 队 通过比赛所得的数据 我们都可以按照 平均积分进行排序 对于平均积分相同的情况下 可以考虑对净胜球 总的进球率等等进行排名 如这些因素还是相同的话 只好随机抽签 对这些水平相当的队进行排序 模型二 图论 5 1 得 010001 000000 11000111 1110101000 1000111 111110101 011000 000100 0000000000 0101111011 011100 10011100 A 0 2 2 7 4 5 5 4 3 7 0 1 2 第二步 得 01000011000 00000000000 110010111111 111010111000 110000111111 111110111011 10000011000 010000001000 00000000000 110101111011 110100111000 110100111010 A 11 12 0 1 0 1 20 11 8 7 22 0 3 从上述 1 2 我们还是没有办法决定和 和的胜负 由抽签的原 4 T 11 T 6 T 12 T 则 我们假设败给了 败给了 最终完善的矩阵 4 T 11 T 12 T 6 T 010000011000 000000001000 110010111111 111010111000 110000111111 111110111011 110000011000 010000001000 000000000000 110101111011 110100111000 110100111010 A 4 从题目中的数据以及由模型一可得 和队实力最强 而和的实力 3 T 7 T 4 T 11 T 6 相对最弱 5 从程序的运行结果中选择以和开头的哈密顿开路路径 结果如下表所 3 T 7 T 示 表格一 表格二 6 对数据分析 1 从以上两个表格得出 一定为最 6 T 12 T 5 T 11 T 4 T 后五名 2 因为和队实力最强 所以我们参照表格一的结果 3 T 7 T 同时 之所以表格一中在之前 只是因为题目中的数据 3 T 7 T 371291086125114 371910826125114 372910816125114 378129106125114 378191026125114 378291016125114 379108126125114 371012986125114 371019826125114 371029816125114 371081296125114 712910836125114 719108326125114 729108316125114 781291036125114 781910326125114 782910316125114 783129106125114 783191026125114 783291016125114 783910126125114 791083126125114 710129836125114 710198326125114 710298316125114 710312986125114 710319826125114 710329816125114 7 中 与比赛时 前者获胜了 而综合题目中的数据及模 3 T 7 T 型一 后者的实力更强一些 所以后者为冠军 前者为亚军 3 对 进行排名 结合向量对他 1 T 2 T 8 T 9 T 10 T 与 们排名得 10 T 9 T 8 T 2 T 1 T 7 模型二最终排名 7 T 3 T 10 T 9 T 8 T 2 T 1 T 6 T 12 T 5 T 11 T 4 T 模型三 得分矩阵 1 比分矩阵 1 0000 1 9998 0 7870 0 8212 0 8586 0 4843 0 9259 1 2500 2 3456 0 6173 0 7936 0 6209 0 5000 1 0000 0 3935 0 4106 0 4293 0 2422 0 4630 0 6250 1 1729 0 3087 0 3969 0 3105 1 2706 2 5410 1 0000 1 0434 1 0910 0 6154 1 1765 1 5883 2 9804 0 7843 1 0084 0 7889 1 2178 2 4354 0 9584 1 0000 1 0456 0 5898 1 1276 1 5222 2 8564 0 7517 0 9665 0 7561 1 1647 2 3292 0 9166 0 9564 1 0000 0 5641 1 0784 1 4558 2 7319 0 7189 0 9244 0 7232 2 0647 4 1290 1 6249 1 6954 1 7727 1 0000 1 9117 2 5808 4 8429 1 2745 1 6386 1 2820 1 0800 2 1598 0 8500 0 8869 0 9273 0 5231 1 0000 1 3500 2 5332 0 6667 0 8571 0 6706 0 8000 1 5999 0 6296 0 6569 0 6869 0 3875 0 7408 1 0000 1 8765 0 4938 0 6349 0 4967 0 4263 0 8526 0 3355 0 3501 0 3660 0 2065 0 3948 0 5329 1 0000 0 2632 0 3384 0 2647 1 6200 3 2397 1 2750 1 3305 1 3909 0 7846 1 5000 2 0250 3 7999 1 0000 1 2857 1 0059 1 2600 2 5198 0 9916 1 0348 1 0818 0 6103 1 1667 1 5750 2 9555 0 7778 1 0000 0 7823 1 6106 3 2208 1 2675 1 3227 1 3828 0 7800 1 4913 2 0132 3 7777 0 9942 1 2782 1 0000 B 2 我们用 matlab 软件可以求出 B 的最大特征值及其对应的特征向量 可 以得到矩阵 B 的最大特征值为 12 0000 其对应的特征向量为 T 2309 0 1154 0 2933 0 2812 0 2689 0 4767 0 2493 0 1847 0 0984 0 3740 0 2909 0 3718 0 3 所以我们得出各参赛队的排名结果为 7 T 3 T 1 T 10 T 2 T 9 T 8 T 6 T 12 T 5 T 11 T 4 T 模型四 层次分析 1 我们根据题目可以得出各参赛队的平均分 净球数 参赛队赢的场数与 该对比赛的场数之比 参赛队平均分净胜球赢的场数与该对比赛的场数之比 T11 7895810 19 T21 400021 3 T31 800088 15 8 T40 4737 201 19 T50 8889 52 9 T61 2000 42 5 T72 29412513 17 T81 294126 17 T91 3529 67 17 T101 4118 26 17 T110 5556 71 9 T121 1111 32 9 3 我们可以写出矩阵 C 122 1 2 113 1 231 C 4 在 matlab 软件中 可以求出 C 的最大特征值为 3 0092 特征值 max 对应的特征向量为 将其归一化得向量 max 4660 0 2565 0 8468 0 2970 0 1634 0 5396 0 5 我们看出平均分占的比重比较大 所以 当我们给参赛队进行排名的 时候 我们首先考虑平均分 当平均分差不多的时候 我们再计较赢 的场数与该对比赛的场数之比 因此 我们得出各参赛队的排名为 7 T 3 T 1 T 10 T 2 T 9 T 8 T 6 T 12 T 5 T 11 T 4 T 五 模型的优缺点分析 模型一 优点 计算简单 操作方便 缺点 有其不可改变的不合理性 在计算比赛得分时没有考虑对 手的强弱 比如 强队胜强队得 3 分 强队胜弱队同样得 3 分 显然有一定的不合理性 模型二 优点 从运行结果中 短时间内可以分辨出每一队大概的实力范 围 将他们分出层次来 缺点 有程序产生的哈密顿开路路径比较多 还要一一的对他们 分析 造成较大的时间复杂度 同时也会有很大的不合理性 因 为哈密顿开路单单依赖是否有一场比赛使得一方打败另一方 而 忽略了整体数据对结果的影响 模型三 优点 能够比较综合全面的比较各个分队的实力水平 模型四 优点 考虑了多个因素对结果的影响 缺点 模型中存在人为的主观因素 六 模型检验 我们采用计算机模拟的方法来进行模型检验 具体方法如下 设有 n 个队 参加比赛 采用随机函数在 0 1 区间内产生 n 个数 分别记为 表示这 n i M 9 个球队的总体实力水平 将这 n 个数俺从大到小的顺序排列即得到这 n 各队的 的排名 根据产生的 n 个数可产生一组比赛数据 对任意的和 先用随机 i TjT 函数产生他们之间的比赛场数 取值为 0 1 2 3 中的一个 还有要注意 ij b 比赛场数的选取要保证图的连通性 即对任意都必须至少和其他球队有一场 i T 比赛 然后 产生比赛数据 不妨设强于 我们通过查阅资料得到一场比 i TjT 赛中的结果的概率经验公式 4 jii MMTP 70 30 获胜 ji