华师大数学八下第17章分式整章教案[1]

华师大八年级下册华师大八年级下册 数数 学学 第第 1 1 6 6 章章 分分 式式 教教 案案 姓名 郎朋露姓名 郎朋露 第第 1616 章章 分式分式 16 1 16 1 分式及其基本性质分式及其基本性质 16 1 1 16 1 1 分式分式 教学目标 教学目标 1 经历实际问题的解决过程 从中认识分式 并能概括分式 2 使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3 能通过回忆分数的意义 类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件 渗透 数学中的类比 分类等数学思想 教学重点 教学重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件 教学难点 教学难点 能通过回忆分数的意义 探索分式的意义 教学过程 教学过程 一 P2 做一做 1 面积为 2 平方米的长方形一边长 3 米 则它的另一边长为 2 3 米 2 面积为 S 平方米的长方形一边长 a 米 则它的另一边长为 S a 米 3 一箱苹果售价p元 总重m千克 箱重n千克 则每千克苹果的售价是 p m n 元 在小学算术里 两个整数相除 不能整除时可以用分数表示 且分数中的分子相当于被除数 分数中 的分母相当于除数 那么 当两个整式不能整除时 它们的商怎么表示呢 二 概括 形如 A B 是整式 且 B 中含有字母 B 0 的式子 叫做分式分式 其中 A 叫做分式的分子分子 B B A 叫做分式的分母分母 因为零不能做除数 所以分式中的分母 B 不能是零 整式和分式统称有理式有理式 三 例题 例 1下列各有理式中 哪些是整式 哪些是分式 1 2 3 4 x 1 2 x yx xy 2 3 3yx 解 属于整式的有 2 4 属于分式的有 1 3 注意 在分式中 分母的值不能是零 如果分母的值是零 则分式没有意义 例如 在分式中 a S a 0 在分式中 m n nm 9 四 随堂练习 1 下列各式 中分式的个数是 a2 7 2 ba 12 1 a 3 a 1 1 2 x x x 5 3 A A 3 3 B 4B 4 C 5C 5 D 6D 6 例 2当取什么值时 下列分式有意义 x 1 2 1 1 x32 2 x x 分析 要使分式有意义 必须且只须分母不等于零 解 1 分母 0 即 1 1 xx 所以 当 1 时 分式有意义 x 1 1 x 2 分母 2 0 即 3 xx 2 3 所以 当 时 分式有意义 x 2 3 32 2 x x 随堂练习 2 下列分式 当 x 3 时 无意义的是 A B C D 93 13 x x 36 32 x x 155 23 x x 155 92 x x 随堂练习 3 若分式的值为 0 则 x 的值为 2 4 2 x x A 2A 2 B 2B 2 C 5C 5 D 4D 4 五 课时小结 什么是分式 什么是有理式 形如 A B 是整式 且 B 中含有字母 B 0 的式子 叫做分式分式 其中 A 叫做分式的分子分子 B B A 叫做分式的分母分母 因为零不能做除数 所以分式中的分母 B 不能是零 整式和分式统称有理式有理式 即有理式 整式 分式 六 作业 P5 习题 16 1 第 1 2 3 5 题 教学反思教学反思 16 1 2 16 1 2 分式的基本性质分式的基本性质 教学目标 教学目标 1 掌握分式的基本性质 掌握分式约分方法 熟练进行约分 并了解最简分式的意义 2 使学生理解分式通分的意义 掌握分式通分的方法及步骤 教学重点 教学重点 让学生知道约分 通分的依据和作用 学会分式约分与通分的方法 教学难点 教学难点 1 分子 分母是多项式的分式约分 2 几个分式最简公分母的确定 教学过程 教学过程 一 复习引入 我们知道 分数的基本性质是 分数的分子与分母都乘以 或除以 同一个不等于零的数 分数的值不变 分数的基本性质是约分 通分和化简繁分数的理论根据 二 新课讲解 1 分式的基本性质 分式也具有类似于分数的性质 也就是 分分式式的的分分子子与与分分母母都都乘乘以以 或或除除以以 同同一一个个不不等等于于零零的的整整式式 分分式式的的值值不不变变 用式子表示是 其中 M 是不等于零的整式 MB MA B A MB MA B A 与分数类似 根据分式的基本性质 是分式变号法则 约分和通分及化简繁分式的理论根据 就是 说 分式的基本性质是分式恒等变形的理论依据 2 例题讲解 例 3 约分 1 2 4 32 20 16 xy yx 44 4 2 2 xx x 分析分析 分式的约分 即要求把分子与分母的公因式约去 为此 首先要找出分子与分母的公因 式 说明 1 第 2 小题中分子 分母是多项式 则首先要因式分解 因此 分式的约分中 如 果分子或分母是多项式时首先要因式分解 才能看清分子与分母的公因式 解 1 2 4 32 20 16 xy yx yxy xxy 54 44 3 3 y x 5 4 44 4 2 2 xx x 2 2 2 2 x xx 2 2 x x 说明 2 约分后 分子与分母不再有公因式 分子与分母没有公因式称为最简分式最简分式 3 练习 P4 练习 第 1 题 约分 4 例题讲解 例 4 通分 1 2 3 ba2 1 2 1 abyx 1 yx 1 22 1 yx xyx 2 1 分析 分式的通分 即要求把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母分式 通分 的关键是确定几个分式的公分母 通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母 即最简公分 母 解 1 与的最简公分母为 a2b2 所以 ba2 1 2 1 ab ba2 1 bba b 2 1 22b a b 2 1 abaab a 2 1 22b a a 2 与的最简公分母为 x y x y 即 x2 y2 所以 yx 1 yx 1 yx 1 1 yxyx yx 22 yx yx yx 1 1 yxyx yx 22 yx yx 对于第 3 小题 两个分式的分母都可以进行因式分解 因为 x2 y2 x2 xy 所以与的最简公分母是 x x y x y 即 x x2 y2 因此 22 1 yx xyx 2 1 22 1 yx 1 yxyx yxyxx x xyx 2 1 1 yxx yxyxx yx 5 练习 P4 练习 第 2 3 题 6 小结 1 请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质 2 分式的约分运算 用到了哪些知识 让学生发表 互相补充 归结为 因式分解 分式基本性质 分式中符号变换规律 约分的结果是 一般要求分 分母不含 3 把几个异分母的分式 分别化成与原来分式相等的同分母的分式 叫做分式的通分 分式通分 是让原来分式的分子 分母同乘以一个适当的整式 根据分式基本性质 通分前后 分式的值没有改变 通分的关键是确定几个分式的公分母 从而确定各分式的分子 分母要乘 以什么样的 适当整式 才能化成同一分母 确定公分母的方法 通常是取各分母所有因式 的最高次幂的积做公分母 这样的公分母叫做最简公分母 7 作业 P5 习题 16 1 第 4 题 P18 复习题 A 组 第 6 题 P19 复习题 A 组 第 7 题 课学反思 课学反思 16 2 16 2 分式的运算分式的运算 16 2 1 16 2 1 分式的乘除法分式的乘除法 教学目标 教学目标 1 让学生通过实践总结分式的乘除法 并能较熟练地进行式的乘除法运算 2 使学生理解分式乘方的原理 掌握乘方的规律 并能运用乘方规律进行分式的乘方运算 3 引导学生通过分析 归纳 培养学生用类比的方法探索新知识的能力 教学重点 教学重点 分式的乘除法 乘方运算 教学难点 教学难点 分式的乘除法 混合运算 以及分式乘法 除法 乘方运算中符号的确定 教学过程 教学过程 一 复习与情境导入 1 1 什么叫做分式的约分 约分的根据是什么 2 下列各式是否正确 为什么 2 尝试探究 计算 1 2 a b b a 3 2 2 3 2 b a b a 2 3 2 概括 分式乘分式 用分子的积作为积的分子 分母的积作为 积的分母 如果得到的不是最简分式 应该通过约分进行化简 分式除以分式 把除式的分子 分母颠倒位置后 与被除式相 乘 用式子表示如右图所示 二 例题讲解 例 1 计算 1 2 xb ay by xa 2 2 2 2 22 2 22 2 xb yza zb xya 解 1 2 xb ay by xa 2 2 2 2 xbby ayxa 22 22 3 3 b a 22 2 22 2 xb yza zb xya yza xb zb xya 2 22 22 2 3 3 z x 例 2 计算 4 9 3 2 2 2 x x x x 解 原式 2 2 3 3 3 2 xx xx x x 2 3 x x 三 练习 P6 第 1 题 四 思考 怎样进行分式的乘方呢 试计算 1 3 2 k k 是正整数 m n m n 1 3 m n m n m n m n mmm nnn 2 k 个k m n m n m n m n mmm nnn 回忆 如何计算 10 9 6 5 从中可以得到什么启示 4 3 6 5 回忆 如何计算 5 2 5 1 6 1 4 1 从中可以得到什么启示 仔细观察所得的结果 试总结出分式乘方的法则 例 3 计算 1 2 2 3 y3 5 3 2 2 c ba 第 2 小题中应格外注意符号问题 练习 P6 第 2 题 五 小结 1 怎样进行分式的乘除法 2 怎样进行分式的乘方 六 作业 P8 习题 17 2 第 1 题 P19 复习题 A 组 第 8 题 1 2 教学反思 教学反思 16 2 2 16 2 2 分式的加减法分式的加减法 教学目标 教学目标 1 使学生掌握同分母 异分母分式的加减 能熟练地进行同分母 异分母分式的加减运算 2 通过同分母 异分母分式的加减运算 复习整式的加减运算 多项式去括号法则以及分式 通分 培养学生分式运算的能力 3 渗透类比 化归数学思想方法 培养学生的能力 教学重点 教学重点 让学生熟练地掌握同分母 异分母分式的加减法 教学难点 教学难点 分式的分子是多项式的分式减法的符号法则 去括号法则应用 教学过程 教学过程 一 实践与探索 1 回忆 同分母的分数的加减法法则 同分母的分数相加减 分母不变 把分子相加减 2 试一试 计算 1 2 aa b2 aba 32 2 3 总结一下怎样进行分式的加减法 概括概括 同分母的分式相加减 分母不变 把分子相加减 异分母的分式相加减 先通分 变为同分母的分式 然后再加减 二 例题 1 例 3 计算 xy yx xy yx 22 2 例 4 计算 16 24 4 3 2 xx 分析 这里两个加项的分母不同 要先通分 为此 先找出它们的最简公分母 注意到 所以最简公分母是16 2 x 4 4 xx 4 4 xx 解 16 24 4 3 2 xx 4 4 24 4 3 xxx 4 4 24 4 4 4 3 xxxx x 4 4 24 4 3 xx x 4 4 123 xx x 4 4 4 3 xx x 4 3 x 三 练习 P8 第 1 题 1 3 第 2 题 1 3 四 小结 1 同分母分式的加减法 类似于同分母的分数的加减法 2 异分母分式的加减法步骤 正确地找出各分式的最简公分母 求最简公分母概括为 1 取各分母系数的最小公倍数 2 凡出现的字母为底的 幂的因式都要取 3 相同字母的幂的因式取指数最大的 取这些因式的积就是最 简公分母 准确地得出各分式的分子 分母应乘的因式 用公分母通分后 进行同分母分式的加减运算 公分母保持积的形式 将各分子展开 将得到的结果化成最简分式 整式 五 作业 P8 习题 16 2 第 2 3 4 题 教学反思 教学反思 16 3 16 3 可化为一元一次方程的分式方程可化为一元一次方程的分式方程 1 1 教学目标 教学目标 1 使学生理解分式方程的意义 会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程 2 使学生理解增根的概念 了解增根产生的原因 知道解分式方程须验根并掌握验根的方法 3 使学生领会 转化 的思想方法 认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来 解 4 培养学生自主探究的意识 提高学生观察能力和分析能力 教学重点 教学重点 使学生理解分式方程的意义 会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程 教学难点 教学难点 使学生理解增根的概念 了解增根产生的原因 知道解分式方程须验根并掌握验根的方 法 教学过程 教学过程 一 问题情境导入问题情境导入 轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行 60 千米所需的时间相同 已知水流的速度是 3 千米 时 求轮船在静水中的速度 分分 析析 设轮船在静水中的速度为 x 千米 时 根据题意 得 1 3 60 3 80 xx 概概 括括 方程 1 中含有分式 并且分母中含有未知数 像这样的方程叫做分式方程分式方程 思思 考考 怎样解分式方程呢 有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢 试动手 解一解方程 1 方程 1 可以解答如下 方程两边同乘以 x 3 x 3 约去分母 得 80 x 3 60 x 3 解这个整式方程 得 x 21 所以轮船在静水中的速度为 21 千米 时 概概 括括 上述解分式方程的过程 实质上是将方程的两边乘以同一个整式 约去分母 把分式方程转化 为整式方程来解 所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母 二 例题 1 例 1 解方程 1 2 1 1 2 xx 解 方程两边同乘以 x2 1 约去分母 得 x 1 2 解这个整式方程 得 x 1 解到这儿 我们能不能说 x 1 就是原分式方程的解 或根 呢 细心的同学可能会发现 当 x 1 时 原分式方程左边和右边的分母 x 1 与 x2 1 都是 0 方程中出现的两个分式都没有 意义 因此 x 1 不是原分式方程的解 应当舍去 所以原分式方程无解 我们看到 在将分式方程变形为整式方程时 方程两边同乘以一个含未知数的整式 并约去了分母 有时可能产生不适合原分式方程的解 或根 这种根通常称为增根增根 因此 在解分式方程时必须进 行检验 2 例 2 解方程 7 30100 xx 解 方程两边同乘以 x x 7 约去分母 得 100 x 7 30 x 解这个整式方程 得 x 10 检验 把 x 10 代入 x x 7 得 10 10 7 0 所以 x 10 是原方程的解 三 练习 P12 第 1 题 四 小结 什么是分式方程 举例说明 解分式方程的一般步骤 在方程的两边都乘以最简公分母 约去分母 化为整式方程 解 这个整式方程 验根 即把整式方程的根代入最简公分母 看结果是不是零 若结果不是 0 说 明此根是原方程的根 若结果是 0 说明此根是原方程的增根 必须舍去 解分式方程为什么要进行验根 怎样进行验根 五 作业 P12 习题 16 3 第 1 题 1 2 第 2 题 教学反思教学反思 16 3 16 3 可化为一元一次方程的分式方程可化为一元一次方程的分式方程 2 2 教学目标 教学目标 1 进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程 2 通过分式方程的应用教学 培养学生数学应用意识 教学重点 教学重点 让学生学习审明题意设未知数 列分式方程 教学难点 教学难点 在不同的实际问题中 设元列分式方程 教学过程 教学过程 一 复习并问题导入问题导入 1 复习练习 解下列方程 1 2 2 1 4 1 3 x x x x 62 7 2 3 3 2 xx 2 列方程解应用题的一般步骤 概括概括 这些解题方法与步骤 对于学习分式方程应用题也适用 这节课 我们将学习列分式 方程解应用题 二 实践与探索 列分式方程解应用题 例 3 某校招生录取时 为了防止数据输入出错 2640 名学生的成绩数据分别由两位程序操作 员各向计算机输入一遍 然后让计算机比较两人的输入是否一致 已知甲的输入速度是乙的 2 倍 结果甲比乙少用 2 小时输完 问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩 解 设乙每分钟能输入 x 名学生的成绩 则甲每分能输入 2x 名学生的成绩 根据题意得 x2 2640 602 2640 x 解得 x 11 经检验 x 11 是原方程的解 并且 x 11 2x 2 11 22 符合题意 答 甲每分钟能输入 22 名学生的成绩 乙每分钟能输入 11 名学生的成绩 强调 既要检验所求的解是否是原分式方程的解 还要检验是否符合题意 三 练习 P12 第 2 3 题 四 小结 列分式方程解应用题的一般步骤 1 审清题意 2 设未知数 要有单位 3 根据题目中的数量关系列出式子 找出相等关系 列出方程 4 解方程 并验根 还要看方程的解是否符合题意 5 写出答案 要有单位 五 作业 P12 习题 16 3 第 1 题 3 4 第 3 题 教学反思教学反思 16 4 16 4 零指数幂与负整指数幂零指数幂与负整指数幂 16 4 1 16 4 1 零指数幂与负整指数幂零指数幂与负整指数幂 教学目标 教学目标 1 使学生掌握不等于零的零次幂的意义 2 使学生掌握 a 0 n 是正整数 并会运用它进行计算 n n a a 1 3 通过探索 让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法 教学重点 难点 教学重点 难点 不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点 教学过程 教学过程 一 复习并问题导入问题导入 问题 1 在 13 1 中介绍同底数幂的除法公式时 有一个附加条件 m n 即被除 nmnm aaa 数的指数大于除数的指数 当被除数的指数不大于除数的指数 即 m n 或 m n 时 情况 怎样呢 二 探索 1 不等于零的零次幂的意义 先考察被除数的指数等于除数的指数的情况 例如考察下列算式 52 52 103 103 a5 a5 a 0 一方面 如果仿照同底数幂的除法公式来计算 得 52 52 52 2 50 103 103 103 3 100 a5 a5 a5 5 a0 a 0 另一方面 由于这几个式子的被除式等于除式 由除法的意义可知 所得的商都等于 1 概概 括括 由此启发 我们规定 50 1 100 1 a0 1 a 0 这就是说 任何不等于零的数的零次幂都等于任何不等于零的数的零次幂都等于 1 1 三 探索 2 负指数幂 我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况 例如考察下列算式 52 55 103 107 一方面 如果仿照同底数幂的除法公式来计算 得 52 55 52 5 5 3 103 107 103 7 10 4 另一方面 我们可利用约分 直接算出这两个式子的结果为 52 55 103 107 5 2 5 5 32 2 55 5 3 5 1 7 3 10 10 43 3 1010 10 4 10 1 概概 括括 由此启发 我们规定 5 3 10 4 3 5 1 4 10 1 一般地 我们规定 a 0 n 是正整数 n n a a 1 这就是说 任何不等于零的数的 任何不等于零的数的 n n n n 为正整数 次幂 等于这个数的为正整数 次幂 等于这个数的 n n 次幂的倒数次幂的倒数 四 例题 1 例 1 计算 1 3 2 2 1 0 10 3 1 2 例 2 用小数表示下列各数 1 10 4 2 2 1 10 5 解 1 10 4 0 0001 4 10 1 2 2 1 10 5 2 1 2 1 0 00001 0 000021 5 10 1 五 练习 P16 练习 1 六 探探 索索 零的零次幂零的零次幂 没有意义 没有意义 现在 我们已经引进了零指数幂和负整指数幂 指数的范围已经扩大到了全体整数 那么 在 13 1 幂的运算 中所学的幂的性质是否还成立呢 与同学们讨论并交流一下 判断下列式子是 否成立 1 2 a b 3 a 3b 3 3 232 aaa 3 a 3 2 a 3 2 4 3 232 aaa 七 练习 P16 练习 4 八 小结 1 引进了零指数幂和负整数幂 指数的范围扩大到了全体整数 幂的性质仍然成立 同底数幂的除法公式 am an am n a 0 m n 当 m n 时 am an 当 m