指数函数复习专题(含详细解析)

摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 1 第第 讲讲 指数函数指数函数 时间 时间 年年 月月 日日 刘老师刘老师 学生签名 学生签名 一 一 兴趣导入兴趣导入 二 二 学前测试学前测试 1 在区间上为增函数的是 B A B C D 2 函数是单调函数时 的取值范围 A A B C D 3 如果偶函数在具有最大值 那么该函数在有 A A 最大值 B 最小值 C 没有最大值 D 没有最小值 4 函数 是 B A 偶函数 B 奇函数 C 不具有奇偶函数 D 与有关 5 函数在和都是增函数 若 且那么 D A B C D 无法确定 6 函数在区间是增函数 则的递增区间是 B A B C D 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 2 三 方法培养三 方法培养 专题专题 1 1 指数函数的定义指数函数的定义 一般地 函数 0 且 1 叫做指数函数 其中是自变量 函数的定义域为 R x ya aax 例例 1 1 指出下列函数那些是指数函数 4 x y 6 4 x y x y 4 4 x y y x 7 x y 2 4 x x y 1 2 1 12 aay a x 解析 利用指数函数的定义解决这类问题 解 为指数函数 变式练习变式练习 1 1 1函数是指数函数 则有 2 33 x ya aa 或 且 1 a 答案 C 2 计算 105 4 3 2 0625 0 8 3 3 4 1 6 解 解 1 105 4 3 2 0625 0 8 3 3 4 1 6 0 062 5 1 4 25 2 1 8 27 3 1 4 1 2 1 2 0 5 2 5 2 1 2 3 3 1 3 4 1 4 2 1 0 5 2 5 2 3 2 1 5 专题专题 2 2 指数函数的图像与性质指数函数的图像与性质 一般地 指数函数 y ax在底数 a 1 及 0 a 1 这两种情况下的图象和性质如下表所示 a 10 a 1 图象 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 3 定义域 R R 值域 0 过点 0 1 即 x 0 时 y 1性质 在 R R 上是增函数 当 x 0 时 0 y 1 当 x 0 时 y 1 在 R R 上是减函数 当 x 0 时 y 1 当 x 0 时 0 y 1 在同一坐标系中作出 y 2x和 y x两个函数的图象 如图 2 1 2 3 经过仔细研究发现 它们的图象关于 2 1 y 轴对称 图 2 1 2 3 例例 3 3比较下列各题中的两个值的大小 1 1 72 5与 1 73 2 0 8 0 1与 0 8 0 2 3 1 70 3与 0 93 1 利用函数单调性 1 72 5与 1 73的底数是 1 7 它们可以看成函数 y 1 7x 当 x 2 5 和 3 时的函数值 因为 1 7 1 所以函 数 y 1 7x在 R R 上是增函数 而 2 5 3 所以 1 72 5 1 73 0 8 0 1与 0 8 0 2的底数是 0 8 它们可以看成函数 y 0 8x 当 x 0 1 和 0 2 时的函数值 因为 0 0 8 0 2 所以 0 8 0 11 0 93 10 93 1 变式练习变式练习 3 3 1 已知 a 0 80 7 b 0 80 9 c 1 20 8 按大小顺序排列 a b c 答案 答案 b a c a b 可利用指数函数的性质比较 而 c 是大于 1 的 2 若指数函数 y 2a 1 x是减函数 则 a 的范围是多少 答案 答案 a 1 2 1 3 设 m 1 f x 若 0 a0 a 1 2 1 2 2xx 9 1 3 12 x 答案 答案 1 函数 y 的定义域是 R R 值域是 2 函数 y 的定义域是 2 1 2 2xx 2 1 9 1 3 12 x 值域是 0 3 当 a 1 时 定义域是 x x 0 当 0 a 1 时 定义域是 x x 0 值域 2 1 是 0 4 强化练习强化练习 1 下列关系中正确的是 A B 2 1 3 2 5 1 1 2 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 2 5 1 3 2 C D 0 a 1 对任意的实数 x y 都有 A f xy f x f y B f xy f x f y C f x y f x f y D f x y f x f y 答案 答案 C 3 函数 y ax 5 1 a 0 a 1 恒过定点 答案 答案 5 2 4 比较 a 与 a的大小 a 0 且 a 0 3 1 2 1 答案 答案 分 a 1 和 0 a 1 两种情况讨论 当 0 aa 当 a 1 时 a 0 时 y ax的图象向左移动 m 个单位得到 y ax m的图象 当 m 0 时 y ax的图象向右移动 m 个单位得到 y ax m的图象 上述规律也简称为 左加右减 例例 4为了得到函数 y 2x 3 1 的图象 只需把函数 y 2x的图象 A 向右平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 B 向左平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 C 向右平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 D 向左平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 变式练习 5 1 已知定义域为 R R 的函数 f x 是奇函数 a b x x 1 2 2 1 求 a b 的值 2 若对任意的 t R R 不等式 f t2 2t f 2t2 k 0 恒成立 求 k 的取值范围 活动 活动 学生审题 考虑解题思路 求值一般是构建方程 求取值范围一般要转化为不等式 如果有困难 教师 可以提示 1 从条件出发 充分利用奇函数的性质 由于定义域为 R 所以 f 0 0 f 1 f 1 2 在 1 的基础上求出 f x 转化为关于 k 的不等式 利用恒成立问题再转化 1 解 解 因为 f x 是奇函数 所以 f 0 0 即 0b 1 2 1 a b 所以 f x 1 2 21 x x a 又由 f 1 f 1 知 a 2 4 21 a1 2 1 1 a 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 6 2 解法一 由 1 知 f x 易知 f x 在 上为减函数 1 22 21 x x 2 1 12 1 x 又因 f x 是奇函数 从而不等式 f t2 2t f 2t2 k 0 等价于 f t2 2t k 2t2 即对一切 t R R 有 3t2 2t k 0 从而判别式 4 12k 0 k 3 1 2 已知定义在上的函数 为实常数 是奇函数 R 1 2 22 x x a f x a 2 2 g xxx I 求的值 判断并证明函数的单调性 a f x II 若对任意的 不等式 为实常数 都成立 求的取值 1 4t 1 8 0f g tftm mm 范围 六 六 家庭作业布置 家庭作业布置 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 7 家长签字 请您先检查确认孩子的作业完成后再签字 附件 堂堂清落地训练附件 堂堂清落地训练 坚持堂堂清 学习很爽心 坚持堂堂清 学习很爽心 1 函数 y a x a 1 的图象是 图 2 1 2 8 分析 分析 当 x 0 时 y a x ax的图象过 0 1 点 在第一象限 图象下凸 是增函数 答案 答案 B 2 下列函数中 值域为 0 的函数是 A y 2 x B y C y D y 1 3 1 x 4 11 0 5x 2 2x 分析 分析 因为 2 x R R 所以 y 2 x 0 y 0 1 y 0 3 1 x 4 11 0 5x y 1 2 2 2x 答案 答案 A 3 已知函数 f x 的定义域是 0 1 那么 f 2x 的定义域是 A 0 1 B 1 C 0 D 0 2 1 分析 分析 由题意得 0 2x 1 即 0 2x 20 所以 x 0 即 x 0 答案 答案 C 4 若集合 A y y 2x x R R B y y x2 x R R 则 A AB B AB C A B D A B 分析 分析 A y y 0 B y y 0 所以 AB 答案 答案 A 5 已知 0 a 1 b 1 则函数 y ax b 的图像必定不经过 A A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 二 填空题二 填空题 1 若 a a 则 a 的取值范围是 0 a0 0 所以 正确 21 21 xx xfxf 因为函数 f x 10 x图象如图 2 1 2 9 所示是上凹下凸的 可解得 正确 图 2 1 2 9 答案 答案 另解 解 10 x1 0 10 x2 0 x1 x2 2 1010 21 xx 21 1010 xx 2 1010 21 xx 21 10 xx 即 2 1010 21 xx 2 21 10 xx 21 21 xx xfxf 2 21 xx f 三 解答题三 解答题 1 设 0 aa 132 2 xx52 2 xx 解 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 9 0 aa 2x2 3x 1 x2 2x 5 解得 2 x 3 132 2 xx52 2 xx 2 已知 x 3 2 求 f x 的最小值与最大值 1 2 1 4 1 xx 解 f x x 3 2 则当 2 x 4 3 2 1 2 121241 2 1 4 1 2 xxxx xx 82 4 1 x 即 x 1 时 f x 有最小值 当 2 x 8 即 x 3 时 f x 有最大值 57 2 1 4 3 3 已知函数 f x 1 判断函数的奇偶性 2 求该函数的值域 3 证明 f x 是 R 1 1 1 a a a x x 上的增函数 解 1 定义域为 x 且 f x 是奇函数 R 1 1 1 1 xxf a a a a x x x x 2 f x 即 f x 的值域为 1 1 2 1 2 0 11 1 2 1 1 21 x x xx x a a aa a 3 设 x1 x2 且 x1 x2 f x1 f x2 分母大于零 且 aR 0 1 1 22 1 1 1 1 21 21 2 21 xx xx x x x x aa aa a a a a a f x 是 R 上的增函数 1 x 2 x 8 1 求函数 y 的单调区间 并证明 2 1 xx2 2 2 设 a 是实数 f x a x R R 试证明对于任意 a f x 为增函数 12 2 x 活动 活动 1 这个函数的单调区间由两个函数决定 指数函数 y x与 y x2 2x 的复合函数 2 函数单 2 1 调性的定义证明函数的单调性 要按规定的格式书写 解法一 解法一 设 x1 x2 则 1 2 y y 1 1 2 2 22 22 2 1 2 1 xx xx 2 1 12 2 1 2 2 22xxxx 2 1 2 1212 xxxx 因为 x10 当 x1 x2 1 时 x1 x2 2 0 这时 x2 x1 x2 x1 2 1 所以 y2 y1 函数单调递增 1 2 y y 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 10 当 x1 x2 1 时 x1 x2 2 0 这时 x2 x1 x2 x1 2 0 即 1 所以 y2 y1 函数单调递减 1 2 y y 所以函数 y 在 1 上单调递增 在 1 上单调递减 解法二 解法二 用复合函数的单调性 设 u x2 2x 则 y u 2 1 对任意的 1 x1 x2 有 u1 u2 又因为 y u是减函数 2 1 所以 y1 y2 所以 y 在 1 是减函数 2 1 xx2 2 对任意的 x1u2 又因为 y u是减函数 2 1 所以 y1 y2 所以 y 在 1 上是增函数 2 1 xx2 2 引申 求函数 y 的值域 0 y 2 2 1 xx2 2 点评 点评 1 求复合函数的单调区间时 利用口诀 同增异减 2 此题虽形式较为复杂 但应