毕业论文_反例在数学分析中的应用

包头师范学院包头师范学院 本本 科科 毕毕 业业 论论 文文 题 目 反例在数学分析中的应用 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 班 级 指导教师 常秋胜 二二 一一 年年 月月 精品文档 2欢迎下载 反例在数学分析中的应用 摘要 数学分析是一门很重要的基础课程 对学生数学思想的形成 后继课程 的学习都有着重要的意义 而在数学分析中存在很多定理命题 运用恰当的反 例从另一个侧面抓住概念或规则的本质 进而更容易加深对知识的理解 反例 思想是数学分析中的重要思想 在概念 性质的理解 问题的研究与论证中都 具有不可替代的独特作用 恰当地运用反例 对于正确理解概念 巩固和掌握 定理 公式 法则等 培养学生的逻辑思维能力 预防和纠正错误 将起着十 分重要的作用 关键词 数学分析反例 数列 极限 微积分 精品文档 3欢迎下载 Abstract Mathematical analysis is an important basic course it s very important to the formation of mathematical thought of students and learning of the following courses However there are a lot of theorems and propositions using appropriate counterexamples from another side can recognize the essence of concept or rules and it s easier to deepen the understanding of knowledge The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept nature and the research reasoning of problems To understand concepts correctly Consolidate and master theorem formula and rule etc train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors it s necessary to use counterexamples felicitously KeyKey words words Mathematical Analysis Counterexample Series Limit Calculus 精品文档 4欢迎下载 目录 序言 1 1 收敛数列的性质及反例 2 1 1 关于收敛数列的定义应用不当产生的反例 2 1 2 关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例 3 1 3 关于数列收敛四则运算法则的反例 4 1 4 有界变差数列逆命题的反例 5 2 函数极限与性质的反例 6 2 1 函数极限的定义的反例 6 2 2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例 6 2 3 关于不连续函数的和与积是连续函数的反例 7 2 4 周期函数的和不是周期函数的反例 8 2 5 介值定理的反例 9 3 一元函数微积分中的反例 10 3 1 一元函数微分学中的反例 10 3 1 1 中值定理相关反例 10 3 2 一元函数积分学反例 12 3 2 1 Riemann 可积相关反例 12 3 2 2 Newton Lebniz 公式相关反例 13 3 2 3 积分中值定理相关反例 13 4 级数中的常见反例 14 4 1 级数收敛 但其立方项级数不收敛 14 4 2 条件收敛级数重新排序后发散的反例 15 4 3 条件收敛级数可以不是交错级数 15 4 4 两级数收敛 但它们的 Cauchy 乘积发散 16 5 多元函数微积分中的反例 17 5 1 多元函数的极限与连续及其微分学反例 17 5 1 1 累次极限和二重极限的相关反例 17 5 1 2 多元函数微分学其他反例 18 5 2 重积分及其反例 19 精品文档 5欢迎下载 5 2 1 同一函数累次积分不同的反例 19 5 2 2 与曲线方向无关的第二类曲线积分 20 总结 22 参考文献 23 致谢 24 1 序言序言 在社会实践和学习过程中 人们都有这样一个经验 当你对某一问题苦思 冥想而不得其解时 从反面去想一想 常能茅塞顿开 获得意外的成功 用逆 向思维方法从问题的反面出发 可以解决用直接方法很难或无法解决的问题 它不仅是解决问题的有力手段 而且推动了数学的发展 开辟了数学领域的新 天地 数学是在归纳 发现 推广中发展的 反例在数学的发展中功不可没 反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用 而且 在学习 领会和深 入钻研数学的时候 也离不开反例 因为条件的强弱 使用范围的宽窄 都需 要用反例作对比 才能加深理解 如果命题有错误 证明有漏洞 也只有靠反 例去证实 并从反例中得到修补的启示 举反例是一种重要的反证手段 重要 的反例往往会成为数学殿堂的基石 反例的重要性要想充分的发挥出来 关键 还在于具体的作出所需的反例 至于反例的作法 也如证明一样 因题而异 方式多变 本文一共分为五个章节 数列 函数 一元函数微积分 级数和多元函数 微积分 数列部分主要以讨论数列的收敛定义 收敛数列的判定 收敛数列的 性质等反例 函数主要讨论了函数的连续 有界 周期等性质的反例 一元函 数微积分学分别讨论了中值定理 Riemann可积等相关反例 级数部分讨论了几 种特殊级数的反例 多元函数微积分学讨论了累次极限 累次积分等反例 针 对大学期间数学分析学习中的问题 每部分都深入浅出的举出各种反例来说明 验证 精品文档 2欢迎下载 1 1 收敛数列的性质及反例收敛数列的性质及反例 1 11 1 关于收敛数列的定义应用不当产生的反例关于收敛数列的定义应用不当产生的反例 一般的 有如下收敛数列的定义 设为一数列 如果存在常数 对任意给定的正数 总存在正整数 n aa N 使得当时 不等式nN aan 都成立 那么就称常数是数列的极限 或者称数列收敛于 记为 a n a n aa aan n lim 或 naan 如果不存在这样的常数 就说数列没有极限 则称不收敛 或a n a n a 称为发散数列 n a 在应用极限的精确定义判定数列是否收敛时 可能由于应用不当产生错误 可能会产生以下两个论断 1 有无穷多个 对每一个 当 时 有 0 N nN aan 2 对任意正数 有无限多个 使 n a aan 这两个论断看似跟精确定义等价 而实际上 它们忽略了重要的问题 论断 1 忽视了的最本质属性 任意小正数 存在反例 数列 尽管有无穷多个 如 3 4 5 可以使1 1 n n a 0 1 1 n n aaa 这里可以是0或1 小于每一个 3 4 5 a 但却不能使比任意小的正数还要小 1 1 n n aaa 论断 2 对任意 虽然有无限多个 使 成立 但它忽视了0 n a aan 精品文档 3欢迎下载 对每一个 都必须存在某个自然数N 即数列的某一项 从以0 n a N a N a 后 的所有项都必须满足存在反例 n aa 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 n 对任意正数 有无限多个 n an 1 在 0 的邻域内内 但是中从哪一项开始 其后总有不包含在 0 0 n a 内的项 0 0 1 21 2 关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例 单调有界数列收敛定理是数学分析中的一个重要定理 但是 它的逆命题 收敛数列必单调有界是否成立呢 答案是否定的 因为存在 反例 收敛 但是不单调的数列 比如 3 2 1 1 2 n n x n n 其极限 0 1 2 limlim n x n n n n 但是对于任意正整数k 都有 2 3 12 1 2 3 12 1 kkkk 即 kkkk xxxx 12212 所以 数列并不单调 既然存在收敛 但是不单调的数列 是否存在单调但不收敛的数列呢 这 个反例很容易找 比如 单调增加 但是不收敛 n an 单调减少 亦不收敛 n bn 从单调性出发考虑此逆命题存在反例 如果从有界性考虑呢 是否也有类 似的反例 精品文档 4欢迎下载 反例 发散的有界数列 显然对一切 n 都有 显然有界 但是该数列并不收敛 1 n n a 1 n a 以上三个反例都说明 该命题并不是充分必要的 只是充分不必要条件 1 31 3 关于数列收敛四则运算法则的反例关于数列收敛四则运算法则的反例 在判断数列是否收敛时 运用四则运算法则 并不是机械的对极限加 减乘除 而是需要考虑它们每一项的收敛与否 n a a b a b ab nnnnnnn b 若 与 为收敛数列 则 也是收敛数列 且有 n n n n nn n n n n n nn n babababa lim lim lim limlim lim 特别当为常数 c 时 n b n n n n n n n n accacaca lim lim lim lim 若再设收敛 且且及 0lim0 n n n n n b a bb n n n n n n n b a b a lim lim lim 两个数列发散 但是其和可能收敛 如有反例 2 1 1 2 1 1 1n n n n yx 显然这两个数列都是发散的 但是数列 1 2 1 1 1 1 lim 1 nn nn n yx 却是收敛的 两个数列一个发散 一个收敛 但是其积可能收敛 如有反例 1 1 n ynx nn 因为 0limlim n n n n yx 则发散的 是收敛的 但是数列 n x n y 1 1 limlim n n yx n nn n 却是收敛的 精品文档 5欢迎下载 两个数列发散 但是其积可能收敛 如有反例 1 1 1 n n n n yx 显然这两个数列都是发散的 但是数列 1 1 1 lim 1 nn nn n yx 却是收敛的 两个数列发散 但是其商可能收敛 如有反例 3 nynx nn 显然这两个数列都是发散的 但是数列 0lim lim 3 n n yx n nn n 却是收敛的 1 41 4 有界变差数列逆命题的反例有界变差数列逆命题的反例 关于数列收敛中有界变差数列必收敛这一论断 我们引入有界变差数列的 定义 定义 对于数列 存在常数 M 使得 n x 2 1 12312 nMxxxxxx nn 则称这个数列是有界变差的 但是 它的逆命题收敛数列是有界变差数列并不成立 存在反例 令 n k k n k x 1 11 1 则有 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 pnnnn xx pn npn 1 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 nnnnnn 于是 按照 Cauchy 收敛准则 收敛 n x 但是 n n xxxxxs nnn 1 2 1 1 1121 因此不是有界变差数列 n x 精品文档 6欢迎下载 2 2 函数极限与性质的反例函数极限与性质的反例 2 12 1 函数极限的定义的反例函数极限的定义的反例 函数极限的定义 设函数在点的某一个去心邻域内有定义 如果存 f x 0 x 在常数A 对于任意给定的正数 总存在正数 使得当满足不等式 x Axf 那么常数A 就叫做函数当时的极限 f x 0 xx 如果应用极限精确定义不当会产生反例 为无理数 当 为有理数 当 x xx xf 1 2 显然 而且对于 使得 00f 10 0 xffxf 则必定是有理数 由此有 x 2 xxf 即 xx0 这个反例说明 的连续性 了不等式的点 从而破坏不排斥存在不满足上述 邻域内的邻域内 但是的 虽然一定落在的点满足 0 000 x xxxxfxf 2 22 2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例 定义 设为定义在D上的函数 若对任何正数M 都存在 使得f 0 xD 0 f xM 则称 为 D 上的无界函数 f 这个定义 一眼看过去 好像是定义函数极限趋于无穷大一样 但是他们 有本质差别 由于若时 则在的每个邻域内必定无界 反之 函 0 xx f x f 0 x 精品文档 7欢迎下载 数它在的任何邻域内都是无界的 但当时 并不趋于无穷大 f 0 x 0 xx f x 比如存在 设 xx xf 1 cos 1 则对于无论多么大的正数 M 总有充分接近于的点 使 0 x Mx x 1 cos 例如 故当就有 nx xn x 1 cos 1 则取时 M n Mx x 1 cos 因此 函数在x 0 的任何邻域内都是无界的 f 然而 若取 则当时 即并 2 1 1 n xn n0 1 cos 0 x x xn此时f 不趋于无穷大 因此 上述命题的逆命题并不成立 由此可见 无界函数与函 数极限趋于无 穷大并不等价 2 32 3 关于不连续函数的和与积是连续函数的反例关于不连续函数的和与积是连续函数的反例 1 由处处不连续函数之和产生的处处连续函数 两个连续函数的和一定是连续 函数 其逆命题不成立 存在反例 sin5 sin3 为有理数若 为无理数 若 xx xx xf sin23 sin22 为有理数若 为无理数 若 xx xx xg 对于任何一个有理数和一个无理数 都有 x x 1315 sin3 sin5 sin3 sin5 sin3 sin5 xxxxxxxfxf 1225 sin2 sin25 sin22 sin23 xxxxxgxg 所以 在区间内处处不连续 然而 f xg x 2sinf xg xx 精品文档 8欢迎下载 它在区间内连续 2 由处处不连续函数之积是生成的处处连续函数 两个连续函数之积是连续函 数 但是反之结论就不为真 因为存在反例 1 1 23 2 2 为有理数若 为无理数 若 x x xx xf 1 23 1 22 2 2 为有理数若 为无理数 若 xx x x x xg 112 1 1 2 3 2 3 1 1 2 22 2 x xx x xfxf 2 1 2 1 1 1 3 1 1 2 3 1 1 12 22 2 2 22 x x x x xxgxg 所以 在区间内处处不连续 然而 f xg x 2 1f xg xx 它在区间内连续 2 42 4 周期函数的和不是周期函数的反例周期函数的和不是周期函数的反例 两个函数是周期函数 但是其和不是周期函数 因为存在反例 如果都是上的周期函数 其中为无理数 现证sinsinxx 与 sinsinxx 不是周期函数 证明 事实上 假如是具有非零周期T的周期函数 那么下列恒等axxsinsin 式对于一切实数都成立 x sinsin 2sin 2sin xxTxTx sin 2 sin sin 2sin xTxxTx sin cos sin cos TTxTTx sincossincosTxTx 若 则最后一个方程的左端将变成 0 于是 因而T是 的 2 1 x0sin aT 倍数 但因为是无理数 所以与已知矛盾 精品文档 9欢迎下载 2 52 5 介值定理的反例介值定理的反例 设函数在闭区间 a b 上连续 则在这区间必有最大最小函数值 yf x 且 那么 不论 C 是 A 与 B 之间的怎样一个数 A B maxmin f xf x AB 在开区间 a b 内至少有一点 使得特别是 如果 C fab f af ba b 与异号 那么在开区间 内至少有一点 使得 0 fab 由零值定理 我们可能想到如果同号 会不会在开区间 f af b与 a b 内至少有一点 0 fab 答案是有的 存在反例 0 0 1 1 0 1 sin x xx x x xf 当 当 因为 0 0 1 sinlim lim 00 f x xxf xx 所以函数在闭区间 1 1 上连续 而且有 然而 11sin 10 84150ff 在一切都有 2 1 1 k k 0f 这个反例说明 零点存在定理中异号并不是必要条件 f af b与 精品文档 10欢迎下载 3 3 一元函数微积分中的反例一元函数微积分中的反例 3 13 1 一元函数微分学中的反例一元函数微分学中的反例 3 1 13 1 1 中值定理相关反例中值定理相关反例 Rolle 定理 定义 若函数满足如下条件 f i 在闭区间上连续 f a b ii 在开区间内可导 f a b iii f af b 则在 a b 内至少存在一点 0f 使得 看似这个Rolle定理没有错误 实际上它忽略了一点即函数的定义域 存在 反例 sincos xxixexf iw 此函数是处处连续可微的 但是并不存在区间使得a与b之间能 a bab 够有某个 满足等式 abfafbf 即 cossin sin cos sin cosabiaiabib 也就是 cossin sin cos sin cos 222 abiaiabib 故 sin sin cos cos 222 ababab 则 22 sin 2 2 abab 但是这是不可能的 没有任何一个正数h 能使 sin hh 实际在我们学习过的复变函数中 中值定理是不存在的 这个反例告诉我 精品文档 11欢迎下载 们定义要全面理解 不能缺少一个条件 Lagrange 定理 定义 若函数满足如下条件 f i 在闭区间上连续 f a b ii 在开区间内可导 f a b 则在 a b 内至少存在一点 使得 ab afbf f 这些条件可不可以缺少呢 让我们规定f 在闭区间上连续 在开区间内只有一点不可导 a b a b 0 x 但在内不存在一点 使得 a b ab afbf f 答案是不能缺少或改变任意条件 因为存在反例 2 3 1 10 3 2 xx xx xf 则 2 3 1 3 10 2 2 xx xx xf 显然函数在x 1处不可导 并且 2 010 xfx时 4 27 3 2 3 1 xfx时 然而 4 9 0 2 3 0 2 3 ff ab afbf 所以在内不存在这样的 使得 a b ab afbf f 精品文档 12欢迎下载 3 23 2 一元函数积分学反例一元函数积分学反例 3 2 13 2 1 RiemannRiemann 可积相关反例可积相关反例 定义 设f 是定义在上的一个函数 J 是一个确定的实数 若对任何 a b 的正数 总存在某一个正数 使得对的任何分割T 以及在其上任意 a b 选取的点集 只要 T 就有 i n i ii Jxf 1 就称函数 f 在区间 a b 上可积或Riemann可积 数J 称为f 在 a b 上的 定积分或Riemann积分 记作 b a dxxfJ Riemann可积函数一定具有原函数吗 但事实上 这个假设并不一定成立 因为 存在反例 1 0 0 0 1 1 x x xf 显然 在 1 1 上可积的 但是在 1 1 上没有原函数 因此 f x f x Riemann可积函数不一定具有原函数 反过来 有原函数的函数不一定Riemann 可积 存在反例 0 0 0 1 sin 3 4 x x x x xF 由于 0 0 0 1 cos 1 sin 3 4 3 2 3 1 x x x x x x xFxf 可见是的一个原函数 但是在 1 1 上无界 所以在 F x f x f x f x 1 1 上不可积 精品文档 13欢迎下载 3 2 23 2 2 Newton LebnizNewton Lebniz 公式相关反例公式相关反例 Newton Lebniz 公式解决了定积分的计算问题 但是它的条件可以发生削 弱吗 如果函数F x 在区间 a b 上除x0一点以外 处处有 但是不 Fxf x 满足 b a aFbFdxxf 存在反例 1 0 2 0 1 1 2 arctan x xx x xx xF 当x 1时 222 2 2 2 22 2 1 22 1 2 1 22 1 2 1 1 xxx xx x xxxx x xx xF 并且有 20000FFarctanarctan 但是 0 2 1 22 2 0 2 0 222 2 dx xxx xx dxxf 这是因为在闭区间 0 2 上 是初等连续函数 而且 从而 f x 0f x 有因此 2 0 0 dxxf 2 0 0 2 FFdxxf 3 2 33 2 3 积分中值定理相关反例积分中值定理相关反例 若f 在 a b 上连续 g在 a b 上不变号且可积 则在 a b 中存在一点 使 b a b a dxxgfdxxgxf 如果在闭区间不连续的可积函数 能否有类似积分中值定理的结论呢 答 案是有的 存在反例 1 0 1 0 0 01 1 x x x xf 精品文档 14欢迎下载 在x 0不连续 且 若取 0 则显然有 f x 1 1 0 dxxf 1 1 1 1 dxxff 又存在反例 函数在闭区间 a b 上不连续 在开区间 a b 不存在 f x 使 b a dxxfabf 例如 2 2 2 1 bx ba ba xa xf 显然 在处不连续 且 f x 2 0 ba x 2 3 2 2 2 abdxdxdxxf b ba b a ba a 但不存在 2 3 fba 使 这两个反例说明 闭区间上函数连续乃是积分中值定理存在的充分条件 而非必要条件 4 4 级数中的常见反例级数中的常见反例 4 14 1 级数收敛 但其立方项级数不收敛级数收敛 但其立方项级数不收敛 级数收敛 但是不收敛 1n n a 1 3 n n a 例 111 11 2 1 22 1 22 1 1 3 33333 2 33 nnnnnnnnn n个个 显然 则可表示为 1 1 naS n i in 1 3 n n a 11 11 2 1 22 1 22 1 1 3333 2 33 1 3 个个n n n nnnnnnnn a 它的项之和 2 1 4 nn 精品文档 15欢迎下载 n k n k kkn 2 3 1 3 111 22 1 1 故发散 1 3 n n a 4 24 2 条件收敛级数重新排序后发散的反例条件收敛级数重新排序后发散的反例 级数收敛 1 1 4 1 3 1 2 1 1 1 n n 但注意正项级数 12 1 5 1 3 1 1 n 故存在k1 使 2 3 12 1 5 1 3 1 1 1 k 存在k2 使 4 5 12 1 32 1 21 kk 存在 使 n k 2 12 12 1 32 1 1 n n kk nn 于是将原级数各项重新排列成 2 1 12 1 32 1 4 1 12 1 32 1 2 1 12 1 3 1 1 1211 nkkkkk nn 它是发散的 4 34 3 条件收敛级数可以不是交错级数条件收敛级数可以不是交错级数 例 2 11 1 2 1 5 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 5432 n n n 精品文档 16欢迎下载 2 1 2 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 2 11 1 2 1 1 32 2 n n n n n n n n nn S 1 1 1 1 limlim 1 1 1lim 1 212 1 2 K n SS n KKS n n n n n n n n n 其中 故级数收敛 但是 2 1 1 1 2 1 1 limlim 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 n n n n n n i in n S n uS则 从而级数发散 所以原级数条件收敛 但它不是交错级数 n i i u 2 1 4 44 4 两级数收敛 但它们的两级数收敛 但它们的 CauchyCauchy 乘积发散乘积发散 级数与都收敛 但是它们的Cauchy乘积发 1n n a 1n n b 1 11 22 1 ababa b 散 2 1 1 1 n n ba n nn 两级数与都收敛 1n n a 1n n b 记 1211 nnnn caba ba b 则 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1121 nininn bababac n nnnn 1 0 1 1 1 22 niiiinniinininininin 或 1 inin 2 1 1 11 ni inin 1 1 1 1 11 n i n i n nini c 精品文档 17欢迎下载 则自然级数发散 1n n c 5 5 多元函数微积分中的反例多元函数微积分中的反例 5 15 1 多元函数的极限与连续及其微分学反例多元函数的极限与连续及其微分学反例 5 1 15 1 1 累次极限和二重极限的相关反例累次极限和二重极限的相关反例 二元函数在某一点 或无穷远处 的累次极限和二重极限是两个既相互联 系又相互区别的两个概念 在函数连续区域内它们总是相等的 但是在其他情 况下 它往往会呈现不同的特性 例如反例 对于二元函数它的两个累次极限存在且相等 然而 yxyxf当 它的二重极限却不存在 对于 22 yx xy yxf 0 0limlimlim 22 xyx yx xy 同理 0 0limlimlim 22 yxy yx xy 但是如果令时当 yxkxy 2222 2 22 1k k xkx kx yx xy 则极限值随k值变化而变化 故不存在 这个反例任何一部数 22 lim yx xy y x 学分析书上都会指出 但会不会有二重极限存在 但累次极限却不存在的二次 函数 答案是有的 例如 0 0 sin 1 222 yx yyx yxf 因为取序列 2 1 0 kkyk 精品文档 18欢迎下载 1 0 1 2 x x yxf k 若为取序列 2 1 0 2 kkyk 0 1 2 1 22 k kx yxf 所以不存在 limyxf y 进而亦不存在 由于 limlimyxf yx 1 sin 1 0 222 x yyx 则根据极限定义 就有 1 0AxA 当对 Ax yyx 11 sin 1 222 则0 lim yxf y x 5 1 25 1 2 多元函数微分学其他反例多元函数微分学其他反例 多元函数微分学除极限外 还有函数的偏导数 全微分以及多元函数极值 问题 我们在这主要讨论下极值的反例 函数在无穷多个点处有极大值 但没有极小值 f x y 例 4 2cos yyeyxfz x 则 2 sin coscos ye y f yex x f xx 因为在任何一点都可微 所以它在某一点取得极值的必要条件是在 f x y 该点处的偏导数为0 由方程组 精品文档 19欢迎下载 02 0sin cos cos ye exy x x 解得 2 2 e y kx 2 1 0 k 或 e y kx 2 1 12 2 1 0 k 而 2 sinB sincos 2 2 cos 2 cos2cos 2 2 y f Cxe yx f yexxey x f A xxx i 当 2 2 e y kx 2 1 0 k 则 所以函数在这些2 0 0 2 2 CB e A0 22 eACB故 f x y 点取得极大值 ii 当 e y kx 2 1 12 2 1 0 k 则所以函数在这些点无极2 0 0 2 1 2 CB e A0 22 eACB故 f x y 值 5 25 2 重积分及其反例重积分及其反例 5 2 15 2 1 同一函数累次积分不同的反例同一函数累次积分不同的反例 在上累次积分不相等 f x y 1 0 1 0 yx 精品文档 20欢迎下载 0 0 1 10 10 222 22 yx yx yx yx yxf 或 当时 0 x 1 1 0 1 0 dydyyxf 当时 则有 0 x 1 0 222 1 0 222 2 1 0 222 222 1 0 222 22 1 0 1 2 2 dy yx dy yx x dy yx yxx dy yx yx dyyxf xdtdyxty 则令 1 1 1 11 1 12 2 1 0 2 1 0 22 1 0 x dt tx dt tx dyyxf xx 则 0 1 10 10 1 1 2 1 0 x yx xdyyxf 同理 0 1 10 10 1 1 2 1 0 y yx ydxyxf 故 41 1 1