初高中数学衔接教材-§3.2-三角形(含答案)

精品文档 1欢迎下载 3 23 2 三角形三角形 3 3 2 2 1 1 三角形的三角形的 四心四心 三角形是最重要的基本平面图形 很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题 如图 3 2 1 在三角形中 有三条边 三个角 ABC AB BC CACBA 三个顶点 在三角形中 角平分线 中线 高 如图 3 2 2 是三角形中的三种重 A B C 要线段 三角形的三条中线相交于一点 这个交点称为三角形的重心三角形的重心 三角形的重心在三角形三角形的重心在三角形 的内部 恰好是每条中线的三等分点的内部 恰好是每条中线的三等分点 例 1 求证三角形的三条中线交于一点 且被该交点分成的两段长度之比为 2 1 已知 D E F分别为三边BC CA AB的中点 ABC 求证 AD BE CF交于一点 且都被该点分成 2 1 证明连结DE 设AD BE交于点G D E分别为BC AE的中点 则DE AB 且 1 2 DEAB 且相似比为 1 2 GDE GAB GEBGGDAG2 2 设AD CF交于点 同理可得 G 2 2 AGG D CGG F 则与重合 AD BE CF交于一点 且都被该点分成 G G 2 1 三角形的三条角平分线相交于一点 是三角形的内心三角形的内心 三角形的内心在三角形的内部 三角形的内心在三角形的内部 它到三角形的三边的距离相等它到三角形的三边的距离相等 如图 3 2 5 例 2 已知的三边长分别为 I 为ABC BCa ACb ABc 图 3 2 1图 3 2 2 图 3 2 3 图 3 2 4 图 3 2 5 精品文档 2欢迎下载 的内心 且 I 在的边上的射影分别为 求证 ABC ABC BCACAB DEF 2 bca AEAF 证明 作的内切圆 ABC 则分别为内切圆在三边上的切点 DEF 为圆的从同一点作的两条切线 AFAE AFAE 同理 BD BF CD CE CDBDCEAEBFAF abc AEAFAEAF22 即 2 bca AEAF 例 3 若三角形的内心与重心为同一点 求证 这个三角形为正三角形 已知 O为的重心和内心 ABC 求证 为等边三角形 ABC 证明 如图 连AO并延长交BC于D O为三角形的内心 故AD平分 BAC 角平分线性质定理 DC BD AC AB O为三角形的重心 D为BC的中点 即BD DC 即 1 AC AB ABAC 同理可得 AB BC 为等边三角形 ABC 三角形的三条高所在直线相交于一点 该点称为三角形的垂心 锐角三角形的垂心一 定在三角形的内部 直角三角形的垂心为它的直角顶点 钝角三角形的垂心在三角形的外 图 3 2 6 图 3 2 7 图 3 2 8 精品文档 3欢迎下载 部 如图 3 2 8 例 4 求证 三角形的三条高交于一点 已知 中 AD与BE交于H点 ABC 于于EACBEDBCAD 求证 ABCH 证明 以CH为直径作圆 EACBEDBCAD于于 90HECHDC 在以CH为直径的圆上 ED DEHFCB 同理 E D在以AB为直径的圆上 可得 BADBED BCFBAD 又与有公共角 即 ABD BCF DBF 90ADBBFCABCH 过不共线的三点A B C有且只有一个圆 该圆是的外接圆 圆心O为三角形ABC 的外心 三角形的外心到三个顶点的距离相等 是各边的垂直平分线的交点 练习练习 1 1 1 求证 若三角形的垂心和重心重合 求证 该三角形为正三角形 2 1 若ABC的面积为S 且三边长分别为 则的内切圆的半径是 abc 并请说明理由 2 若三边长分别为 其中为斜边长 则的内切圆的半径是 tRabc c 并请说明理由 精品文档 4欢迎下载 3 2 23 2 2 几种特殊的三角形几种特殊的三角形 等腰三角形底边上三线 角平分线 中线 高线 合一 因而在等腰中 三角ABC 形的内心I 重心G 垂心H必然在一条直线上 例 5 在中 求 1 的面积及边上的高 ABC 3 2 ABACBC ABC ACBE 2 的内切圆的半径 3 的外接圆的半径 ABC rABC R 解 1 如图 作于 ADBC D 为的中点 ABACD BC 22 22 BDABAD 22222 2 1 ABC S 又 解得 BEACS ABC 2 14 2 3 BE 2 如图 为内心 则到三边的距离均为 连 IIr IA IB IC IACIBCIABABC SSSS 即 111 2 2 222 AB rBC rCA r 解得 2 2 r 3 是等腰三角形 外心在上 连 ABC OADBO 则中 OBDR t ODADR 222 OBBDOD 图 3 2 10 图 3 2 13 图 3 2 11图 3 2 12 精品文档 5欢迎下载 解得 222 2 2 1 RR 9 2 8 R 在中 为直角 垂心为直角顶点 A 外心O为斜边BC的中点 内心 IABCR tA 在三角形的内部 且内切圆的半径为 其中分别为三角形的三边 2 bca a b c BC CA AB的长 为什么 该直角三角形的三边长满足勾股定理 222 ACABBC 例 6 如图 在中 AB AC P为BC上任意一点 求证 ABC PCPBABAP 22 证明 过A作于D BCAD 在中 ABDR t 222 ADABBD 在中 APDR t 222 APADDP 22222 DPBDDPBDABDPBDABAP DCBDBCADACAB PCDPCDDPBD PCPBABAP 22 正三角形三条边长相等 三个角相等 且四心 内心 重心 垂心 外心 合一 该 点称为正三角形的中心 例 7 已知等边和点P 设点P到三边AB AC BC的距离分别为 ABC 123 h h h 的高为 若点P在一边BC上 此时 可得结论 ABC h 3 0h 123 hhhh 请直接应用以上信息直接应用以上信息解决下列问题 图 3 2 14 图 3 2 15 精品文档 6欢迎下载 当 1 点P在内 如图 b 2 点在外 如图 c 这两种情况时 上ABC ABC 述结论是否还成立 若成立 请给予证明 若不成立 与之间有什么样的关系 123 h h hh 请给出你的猜想 不必证明 解 1 当点P在内时 ABC 法一法一 如图 过P作分别交于 B C AB AM AC B M C 由题设知 AMPDPE 而 AMAMPF 故 PDPEPFAM 即 123 hhhh 法二法二 如图 连结 PA PB PC PBCPACPABABC SSSS PFBCPEACPDABAMBC 2 1 2 1 2 1 2 1 又 ABBCAC PFPEPDAM 即 123 hhhh 2 当点P在外如图位置时 不成立 猜想 ABC 123 hhhh 123 hhhh 注意 当点P在外的其它位置时 还有可能得到其它的结论 ABC 如 如图 3 2 18 想一想为什么 等 123 hhhh 123 hhhh 在解决上述问题时 法一 中运用了化归的数学思想方法 法二 中灵活地运用了面积的方法 练习练习 2 2 1 直角的三边长为 3 4 则 xx 2 等腰有两个内角的和是 100 则它的顶角的大小是 3 满足下列条件的 不是直角三角形的是 ABC 图 3 2 16 图 3 2 18 精品文档 7欢迎下载 A B 222 bac CBA C D 5 4 3 CBA 12 13 5a b c 4 已知直角三角形的周长为 斜边上的中线的长为 1 求这个三角形的面积 33 5 证明 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量 精品文档 8欢迎下载 图 3 2 20 图 3 2 19 图 3 2 21 图 3 2 22 习题习题 3 23 2 A A 组组 1 已知 在中 AB AC 为BC边上的高 则下列结论中 正确ABC 120 o BACAD 的是 A B C D 3 2 ADAB 1 2 ADAB ADBD 2 2 ADBD 2 三角形三边长分别是 6 8 10 那么它最短边上的高为 A 6 B 4 5 C 2 4 D 8 3 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半 那么这个等腰三角形的顶角等于 4 已知 是的三条边 那么的取值范围是 a b cABC 7 10ab c 5 若三角形的三边长分别为 1 a 8 且是整数 则的值是 aa B B 组组 1 如图 3 2 19 等边的周长为 12 CD是边AB上的中线 E是CB延长线上一点 ABC 且BD BE 则的周长为 CDE A B C D 64 3 18 12 3 62 3 184 3 2 如图 3 2 20 在中 BD是边AC上的高 求的度ABC 2CABCA DBC 数 精品文档 9欢迎下载 3 如图 3 2 21 M 是 AC 的中点 AM AN MN AB 求证 MN AB ABCR t 90 B 4 如图 3 2 22 在中 AD平分 AB BD AC 求的值 ABC BAC BC 5 如图 3 2 23 在正方形ABCD中 F为DC的中点 E为BC上一点 且 1 4 ECBC 求证 90EFA 图 3 2 23 精品文档 10欢迎下载 C C 组组 1 已知 则以为边的三角形是 24 1 2 2 1kbk ackack abc A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 形状无法确定 2 如图 3 2 24 把纸片沿DE折叠 当点A落在四边形BCDE内部时 则与ABC A 之间有一种数量关系始终保持不变 请试着找一找这个规律 你发现的规律是12 A 12A B 212A C 312A D 32 12 A 3 如图 3 2 25 已知BD是等腰底角平分线 且AB BC CD 求证 ABC 90C 4 如图 3 2 26 在等腰中 D是斜边AB上任一点 于E BCARt 90oC AECD 交CD的延长线于F 于H 交 AE 于G 求证 BD CG BFCD CHAB 图 3 2 25 图 3 2 26 图 3 2 24 精品文档 11欢迎下载 答案 答案 练习练习 1 1 1 证略 2 1 2 2S abc 2 abc 练习练习 2 2 1 5 或 2 或 3 C 4 设两直角边长为 斜边长为720o80o a b 2 则 且 解得 5 可利用13ab 22 4ab 3ab 3 2 1 ab 2 1 S 面积证 习题习题 3 23 2 A 组 1 B 2 D 3 4 5 8120o317c B B 组组 1 A 2 3 连 证 18oBMAMNMAB 4 在AC上取点E 使AE AB 则 又BD DE EC AEDABD BAED 2 1 CEDCBC 5 可证 因而与互余 得 FCEADF AFD