高中数学第二章推理与证明本章整合新人教B版选修1-2资料

1 高中数学高中数学 第二章第二章 推理与证明本章整合推理与证明本章整合 新人教新人教 B B 版选修版选修 1 21 2 知识网络知识网络 专题探究专题探究 专题一合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 然后提出猜想的推理 统称为合情推理 合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向 归纳推理的思维过程大致如下 实验 观察 概括 推广 猜测一般性结论 类比推理的思维过程大致如下 观察 比较 联想 类推 猜测新的结论 例 1 观察下列等式 1 2 1 1 2 22 3 1 2 22 32 6 1 2 22 32 42 10 照此规律 第n个等式可为 解析 第n个等式的左边第n项应是 1 n 1n2 右边数的绝对值为 1 2 3 n n n 1 2 故有 1 2 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1n n 1 2 2 答案 1 2 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 n n 1 2 例 2 中学数学中存在许多关系 比如 相等关系 平行关系 等等 如果集合A 中元素之间的一个关系 满足以下三个条件 1 自反性 对于任意a A 都有a a 2 对称性 对于a b A 若a b 则有b a 3 传递性 对于a b c A 若a b b c 则有a c 则称 是集合A的一个等价关系 例如 数的相等 是等价关系 而 直线的平 行 不是等价关系 自反性不成立 请你再列出两个等价关系 解析 1 令A为所有三角形构成的集合 定义A中两个三角形的全等为关系 则其为等价关系 2 令B为所有正方形构成的集合 定义B中两元素相似为关系 则其为等价关 系 3 令C为一切非零向量构成的集合 定义C中任两向量共线为关系 则其为等 价关系 答案 答案不唯一 如 图形的全等 图形的相似 非零向量的共线 等 专题二三段论推理 三段论推理是演绎推理的主要形式 演绎推理具有如下特点 1 演绎推理的前提是一般性原理 演绎推理所得的结论完全蕴涵于前提之中 2 演绎推理中 前提与结论之间存在必然的联系 演绎推理是数学中严格证明的工具 3 演绎推理是一种收敛性的思维方法 它缺少创造性 但却具有条理清晰 令人信服 的论证特点 有助于科学的理论化和系统化 例 3 用三段论证明函数f x x 2 2x 在 1 上是增函数 提示 证明本题所依据的大前提是增函数的定义 即函数y f x 满足 在给定区间 内任取自变量的两个值x1 x2 若x1 x2 则有f x1 f x2 小前提是f x x 2 2x x 1 满足增函数的定义 这是证明本题的关键 证明 设x1 x2是 1 上的任意两个实数 且x1 x2 则f x1 f x2 x21 2x1 x22 2x2 x2 x1 x2 x1 2 因为x1 x2 所以x2 x1 0 因为x1 x2 1 x1 x2 所以x2 x1 2 0 因此f x1 f x2 0 即f x1 f x2 于是根据 三段论 得f x x 2 2x 在 1 上是增函数 例 4 已知函数f x a x bx 其中 a 0 b 0 x 0 试确定f x 的单 3 调区间 并证明在每个单调区间上的增减性 解 设 0 x1 x2 则f x1 f x2 a x1 bx 1 a x2 bx 2 x2 x1 a x1x2 b 当 0 x1 x2 a b时 x 2 x1 0 0 x1x2 a b a x1x2 b f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 在 0 a b上是减函数 当x2 x1 a b时 x 2 x1 0 x1x2 a b a x1x2 b f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 在 a b 上是增函数 专题三直接证明与间接证明 在解决问题时 我们经常把综合法和分析法结合起来使用 根据条件的结构特点去转化 结论 得到中间结论Q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论P 若由P可以推出 Q成立 就可以证明结论成立 反证法不是去直接证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上 运用演绎推理推 导出矛盾 从而肯定结论的真实性 这种证法体现了 正难则反 的理论原则 例 5 设a b c为 ABC的三边 求证 a b c 2 4 ab bc ac 提示 此题可先通过分析法寻求解题思路 然后用综合法证明 证明 证法一 分析法 由题意 要证明 a b c 2 4 ab bc ac 即要证a 2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 0 即证 a 2 ab ac b2 bc ab c2 ca bc 0 即要证a a b c b b c a c c a b 0 因为a b c是三角形的三边 所以a 0 b 0 c 0 且a b c 所以a b c 0 从而a a b c 0 同理可得b b c a 0 c c a b 0 三式相加 则不等式 成立 以上各步均可逆推 故原不等式成立 证法二 综合法 因为a b c是三角形的三边 所以a 0 b 0 c 0 且a b c 所以a b c 0 4 从而a a b c 0 同理可得 b b a c 0 c c a b 0 三式相加 可得a a b c b b c a c c a b 0 则a 2 ab ac b2 bc ab c2 ca bc 0 即a 2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 0 通过配方 可得 a b c 2 4 ab bc ac 例 6 若函数f x 在区间 a b 上是增函数 那么方程f x 0 在区间 a b 上至 多有一个实数根 提示 含有 至多 至少 类词语的命题从正面证明难以入手 往往考虑应用反证法 证明 证明