2012年12月上海市高三年级十三校联考数学(理)试卷

1 2012 年高三年级十三校联考数学 理 试卷 一 填空题 本大题满分 56 分 本大题共有 14 题 每个空格 4 分 1 已知集合 则 12 Mxx 2 1 1 2 Ny yxxM MN 2 不等式的解集是 1 1 1x 3 设的反函数为 若函数的图像过点 且 则 f x 1 fx f x 1 2 1 2 1 1fx x 4 若 则行列式 3 sin 5 cossin sincos 5 已知函数是奇函数 当时 若 则实数 f x0 x 2 cosf xxax 1 2f a 6 若函数 常数 是偶函数 且它的值域为 则该函数 f xxa bxa a bR 4 的解析式为 7 若 则实数的值等于 1 444 lim 9 111 n n aa aaa a 8 已知为所在平面内一点 且满足 则的面积与的面PABC 12 55 APACAB APB PAC 积之比为 9 一个等差数列中 是一个与无关的常数 则此常数的集合为 n a 2 n n a a n 10 若函数有四个不同的单调区间 则实数的取值范围是 2 21 f xxax a 11 已知正项等比数列满足 如果存在两项 使得 n a 765 2aaa mn aa 1 4 mn aaa 则 的最小值为 14 mn 12 已知等比数列的首项为 2 公比为 2 则 n a 1 12 n n a aaa a aaa 13 设函数 若当时 恒成立 则的 2013 f xxx xR 0 2 sin 1 0f mfm m 取值范围是 14 设二次函数的值域为 且 则的最大 2 4f xaxxc 0 1 4f 22 44 ac u ca 值为 二 选择题 本大题满分 20 分 本大题共有 4 题 每小题 4 分 2 15 已知 则 lg 1 Ax yxxR 1 1 BxxR x A 是 的充分不必要条件 B 是 的必要不充分条件xB xA xB xA C 是 的充分必要条件 D 是 的既不充分又必要条xB xA xB xA 件 16 若在直线 上存在不同的三点 使得关于的方程有解 点lA B C x 2 0 x OAxOBBC O 不在直线 上 则此方程的解集为 l A B C D 1 1515 22 1 0 17 已知函数是偶函数 且 当时 则方 f xxR 2 2 fxfx 0 2 x 1f xx 程在区间上的解的个数是 1 1 f x x 10 10 A 8 B 9 C 10 D 11 18 数列满足 记 若对任意 n a 1 1a 2 1 11 4 nn aa 222 12nn Saaa 21 30 nn t SS 的恒成立 则正整数 的最小值为 nN t A 10 B 9 C 8 D 7 三 解答题 本大题共 5 小题 满分 74 分 19 本题满分 12 分 解关于的不等式 x 1 0 0 2 ax a x 20 本题满分 14 分 本题共有 2 小题 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 定义在上的函数满足R f x 2 log 1 0 1 2 0 xx f x f xf xx 1 计算 并求出与满足的关系式 1 0 1 2 ffff 3 f n f nnN 2 对于数列 若存在正整数 使得 则称数列为周期数列 为数列的 n aT n Tn aa n aT 周期 令 证明 为周期数列 指出它的周期 并求的值 n af nnN n aT 2012 a 3 21 本题满分 14 分 本题共有 2 小题 第 1 小题 6 分 第 2 小题 8 分 如图所示 有一块边长为的正方形区域 在点处有一个可转动的探照灯 其1kmABCDA 照射角始终为弧度 其中点分别在边上运动 设 PAQ 4 P Q BC CD PAB tant 1 试用 表示出的长度 并探求的周长 是否为定值 tPQCPQ l 2 求探照灯照射在正方形内部区域的面积的最大值 ABCDS 22 本题满分 16 分 本题共有 3 小题 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 6 分 定义在上的函数 如果满足 对任意的 存在常数 都有D f xxD 0M 成立 则称是上的有界函数 其中称为函数的上界 f xM f xDM f x 已知函数 11 1 39 xx f xa 13 13 x x m g x m 1 当时 求函数在上的值域 并判断函数在上是否为有界函1a f x 0 f x 0 数 请说明理由 2 若函数在上是以 4 为上界的有界函数 求实数的取值范围 f x 0 a 3 若 函数在上的上界为 求的取值范围 0m g x 0 1 T m T m A B C D P Q 4 4 23 本题满分 18 分 本题共有 3 小题 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 8 分 已知集合中的元素都是正整数 且 对任意的 12 n Aaaa 12n aaa x yA 且 都有 xy 36 xy xy 1 求证 1 111 36 n n aa 提示 可先求证 然后再完成所要证的结论 1 111 36 ii aa 1 2 1 in 2 求证 11n 3 对于 试给出一个满足条件的集合 11n A 5 2012 年高三年级十三校联考数学 理科 试卷 一 填空题 本大题满分 56 分 本大题共有 14 题 每个空格 4 分 1 已知集合 则 12 Mxx 2 1 1 2 Ny yxxM MN 1 1 2 不等式的解集是 1 1 1x 0 1 1 2 3 设的反函数为 若函数的图像过点 且 则 f x 1 fx f x 1 2 1 2 1 1fx x 1 2 4 若 则行列式 3 sin 5 cossin sincos 7 25 5 已知函数是奇函数 当时 若 则实数 3 f x0 x 2 cosf xxax 1 2f a 6 若函数 常数 是偶函数 且它的值域为 则该函数 f xxa bxa a bR 4 的解析式为 2 4f xx 7 若 则实数的值等于 1 444 lim 9 111 n n aa aaa a 1 3 8 已知为所在平面内一点 且满足 则的面积与的面PABC 12 55 APACAB APB PAC 积之比为 1 2 9 一个等差数列中 是一个与无关的常数 则此常数的集合为 n a 2 n n a a n 1 1 2 10 若函数有四个不同的单调区间 则实数的取值范围是 2 21 f xxax a 1 2 11 已知正项等比数列满足 如果存在两项 使得 n a 765 2aaa mn aa 1 4 mn aaa 则 的最小值为 14 mn 3 2 12 已知等比数列的首项为 2 公比为 2 则 4 n a 1 12 n n a aaa a aaa 6 13 设函数 若当时 恒成立 则的 2013 f xxx xR 0 2 sin 1 0f mfm m 取值范围是 1 14 设二次函数的值域为 且 则的最大 2 4f xaxxc 0 1 4f 22 44 ac u ca 值为 7 4 二 选择题 本大题满分 20 分 本大题共有 4 题 每小题 4 分 15 已知 则 B lg 1 Ax yxxR 1 1 BxxR x A 是 的充分不必要条件 B 是 的必要不充分条件xB xA xB xA C 是 的充分必要条件 D 是 的既不充分又必要条xB xA xB xA 件 16 若在直线 上存在不同的三点 使得关于的方程有解 点lA B C x 2 0 x OAxOBBC O 不在直线 上 则此方程的解集为 A l A B C D 1 1515 22 1 0 17 已知函数是偶函数 且 当时 则方 f xxR 2 2 fxfx 0 2 x 1f xx 程在区间上的解的个数是 B 1 1 f x x 10 10 A 8 B 9 C 10 D 11 18 数列满足 记 若对任意 n a 1 1a 2 1 11 4 nn aa 222 12nn Saaa 21 30 nn t SS 的恒成立 则正整数 的最小值为 A nN t A 10 B 9 C 8 D 7 三 解答题 本大题共 5 小题 满分 74 分 19 本题满分 12 分 解关于的不等式 x 1 0 0 2 ax a x 19 原不等式等价于 3 分 0a 1 2 0 xx a 当时 不等式的解集为 6 分 1 2 a 2 2 当时 不等式的解集为 9 分 1 2 a 1 2 a 当时 不等式的解集为 12 分 1 0 2 a 1 2 a 7 20 本题满分 14 分 本题共有 2 小题 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 定义在上的函数满足R f x 2 log 1 0 1 2 0 xx f x f xf xx 1 计算 并求出与满足的关系式 1 0 1 2 ffff 3 f n f nnN 2 对于数列 若存在正整数 使得 则称数列为周期数列 为数列的 n aT n Tn aa n aT 周期 令 证明 为周期数列 指出它的周期 并求的值 n af nnN n aT 2012 a 20 1 4 分 2 1 log 21f 0 0f 1 0 1 1fff 2 1 0 1fff 当时 由已知可得 6 分 nN 2 1 f nf nf n 3 2 1 f nf nf n 两式相加 7 分 3 f nf n 2 由 1 得 10 3nn aa 63nnn aaa 分 是周期为 6 的周期数列 11 n a 分 14 分 2012335 6 22 2 1aaaf 21 本题满分 14 分 本题共有 2 小题 第 1 小题 6 分 第 2 小题 8 分 如图所示 有一块边长为的正方形区域 在点处有一个可转动的探照灯 其1kmABCDA 照射角始终为弧度 其中点分别在边上运动 设 PAQ 4 P Q BC CD PAB tant 1 试用 表示出的长度 并探求的周长 是否为定值 tPQCPQ l 2 求探照灯照射在正方形内部区域的面积的最大值 ABCDS 21 1 设 BPt 1CPt 01t 4 DAQ 1 tan 41 t DQ t 2 分 12 1 11 tt CQ tt 为定值 6 分 2 2222 21 1 11 tt PQCPCQt tt 2 21 11 11 tt lCPCQPQt tt 2 8 分 12 2 1 01 21 ABPADQABCD SSSStt t 正方形 又函数在上是减函数 在上是增函数 10 分 2 1 1 yt t 0 21 21 1 A B C D P Q 4 8 13 分 2 2 213 1 t t 112 2 1 22 221 t t 所以探照灯照射在正方形内部区域的面积的最大值为 14 分 ABCDS 2 22 km 22 本题满分 16 分 本题共有 3 小题 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 6 分 定义在上的函数 如果满足 对任意的 存在常数 都有D f xxD 0M 成立 则称是上的有界函数 其中称为函数的上界 f xM f xDM f x 已知函数 11 1 39 xx f xa 13 13 x x m g x m 1 当时 求函数在上的值域 并判断函数在上是否为有界函1a f x 0 f x 0 数 请说明理由 2 若函数在上是以 4 为上界的有界函数 求实数的取值范围 f x 0 a 3 若 函数在上的上界为 求的取值范围 0m g x 0 1 T m T m 22 1 时 在上递减 21a 11 1 39 xx f x f x 0 0 3f xf 3 f x 分 故不存在常数 使得成立 函数在上不是有界函数 4 分 0M f xM f x 0 2 由题意可知在上恒成立 即 5 分 4f x 0 4 4f x 111 5 3 939 xxx a 在上恒成立 7 11 5 3 3 3 33 xxxx a 0 maxmin 11 5 3 3 3 33 xxxx a 分 设 由 得 3xt 1 5h tt t 1 3p tt t 0 x 1t 设 则 12 1tt 211 2 12 1 2 51 0 ttt t h th t t t 121 2 12 1 2 31 0 ttt t p tp t t t 在上单调递减 在上单调递增 9 分 h t 1 p t 1 在上 实数的取值范围是 10 1 max 1 6h th min 1 2p tp a 6 2 分 3 在上递减 12 2 1 31 x g x m 0m 0 1 x g x 0 1 131 131 mm g x mm 分 若 即时 此时 13 113 113 mm mm 3 0 3 m 1 1 m g x m 1 1 m T m m 分 若 即时 此时 14 113 113 mm mm 3 3 m 13 13 m g x m 13 13 m T m m 分 综上 当时 当时 16 分 3 0 3 m 1 1 m T m m 3 3 m 13 13 m T m m 23 本题满分 18 分 本题共有 3 小题 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 8 分 已知集合中的元素都是正整数 且 对任意的 12 n Aaaa 12n aaa x yA 且 都有 xy 36 xy xy 9 1 求证 1 111 36 n n aa 提示 可先求证 然后再完成所要证的结论 1 111 36 ii aa 1 2 1 in 2 求证 11n 3 对于 试给出一个满足条件的集合 11n A 23 1 依题意有 又 1 1 36 ii ii a a aa 1 2 1 in 12n aaa 可得 2 11 1 1 1 3636 iiii ii ii a aaa aa a a 1 111 36 ii aa 1 2 1 in 分 即 4 分 12231 1111111 36 nn n aaaaaa 1 111 36 n n aa 2 由 1 可得 又 可得 因此 5 分 1 11 36 n a 1 1a 1 1 36 n 37n 同理 可知 又 可得 7 分 11 36 in ni