平面向量复习讲义

精品文档 11欢迎下载 平面向量复习平面向量复习 一 向量有关概念一 向量有关概念 1 向量的概念向量的概念 既有大小又有方向的量 注意向量和数量的区别 向量常用有向线段 来表示 注意不能说向量就是有向线段不能说向量就是有向线段 为什么 向量可以平移 2 零向量零向量 长度为 0 的向量叫零向量 记作 注意零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的 0 3 单位向量单位向量 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与共线的单位向量是AB AB AB 4 相等向量相等向量 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量 相等向量有传递性 5 平行向量 也叫共线向量 平行向量 也叫共线向量 方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量 记作 ab 规定零向量和任何向量平行规定零向量和任何向量平行 ab 注注 相等向量一定是共线向量 但共线向量不一定相等 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念 两个向量平行包含两个向量 共线 但两条直线平行不包含两条直线重合 平行向量无传递性平行向量无传递性 因为有 0 三点共线共线 ABC AB AC 6 相反向量相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 的相反向量是 aa 练习 1 下列命题 1 若 则 2 两个向量相等的充要条件是它们的起点相ab ab 同 终点相同 3 若 则是平行四边形 4 若是平行四边形 ABDC ABCDABCD 则 5 若 则 6 若 则 其中正确的是ABDC ab bc ac ab bc ac 二 向量的表示方法二 向量的表示方法 1 几何表示法 用带箭头的有向线段表示 如 注意起点在前 终点在后 AB 2 符号表示法 用一个小写的英文字母来表示 如 等 abc 3 坐标表示法 在平面内建立直角坐标系 以与轴 轴方向相同的两个单位向量 xyi 为基底 则平面内的任一向量可表示为 称为向量的ja axiy jx y x ya 坐标 叫做向量的坐标表示 如果向量的起点在原点向量的起点在原点 那么向量的坐标a x ya 与向量的终点坐标相同 三 平面向量的基本定理三 平面向量的基本定理 如果e e1和e e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对该平 面内的任一向量a a 有且只有一对实数 使a a e e1 e e2 1 2 1 2 练习练习 1 1 若 如何用 表示 1 1 ab 1 1 1 2 c a b c 2 2 下列向量组中 能作为平面内所有向量基底的是 A B 12 0 0 1 2 ee 12 1 2 5 7 ee C D 12 3 5 6 10 ee 12 13 2 3 24 ee 3 3 已知分别是的边上的中线 且 则可用向量 AD BE ABC BC AC ADa BEb BC 表示为 答 a b 24 33 ab A B CD E F 精品文档 22欢迎下载 4 4 在平行四边形 在平行四边形ABCDABCD中 点中 点E E和和F F分别是边分别是边CDCD和和BCBC的中点 的中点 且且 m m n n 其中 其中m m n n R R 则 则m m n n A AC C A AE E A AF F 5 5 在边长为 在边长为 2 2 的菱形的菱形ABCDABCD中 中 BADBAD 6060 E E为为CDCD中点 中点 AEAE 与与 BDBD 相交于点相交于点 F F 1 1 用用 表示 2 2 求出 求出 AB AD AF A AE E B BD D 四 实数与向量的积四 实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量 记作 它的长度和方向规 a a 定如下 当 0 时 的方向与的方向相同 当 0 时 的 1 2aa aa a 方向与的方向相反 当 0 时 注意注意 0 a 0a a 五 平面向量的数量积五 平面向量的数量积 1 两个向量的夹角两个向量的夹角 对于非零向量 作 称ab OAa OBb AOB 0 为向量 的夹角 当 0 时 同向 当 时 反向 当 时 ab ab ab 2 垂直 ab 2 平面向量的数量积平面向量的数量积 如果两个非零向量 它们的夹角为 我们把数量ab 叫做与的数量积 或内积或点积 记作 即 cosa b aba ba bcosa b 规定 零向量与任一向量的数量积是 0 注意数量积是一个实数 不再是一个向量注意数量积是一个实数 不再是一个向量 如如 练习练习 1 1 ABC 中 则 3 AB4 AC5 BC BCAB 答 9 2 已知 与的夹角为 则等于 11 1 0 22 abcakb dab c d 4 k 答 1 3 已知 则等于 2 5 3aba b Aab 答 23 4 已知是两个非零向量 且 则的夹角为 a b abab 与aab 答 30 3 3 在在上的投影上的投影为 它是一个实数 但不一定大于 0 ba cosb 练习 已知 且 则向量在向量上的投影为 答 3 a5 b12 ba a b 5 12 4 4 的几何意义的几何意义 数量积等于的模与在上的投影的积 a ba ba a ba 5 向量数量积的性质向量数量积的性质 设两个非零向量 其夹角为 则 ab 0aba b 当 同向时 特别地 当与反向aba ba b 2 22 aa aaaa ab 精品文档 33欢迎下载 时 当为锐角时 0 且不同向 是是为锐角的为锐角的a ba b a b a b 0a b 必要非充分条件必要非充分条件 当为钝角时 0 且不反向 是是为钝角的必要为钝角的必要 a b a b 0a b 非充分条件非充分条件 非零向量 夹角的计算公式 ab cos a b a b a ba b 1 1 已知 如果与的夹角为锐角 则的取值范围是 2 a 2 3 b a b 答 或且 4 3 0 1 3 2 已知A 1 2 B 2 3 C 2 5 则 ABC为 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不等边三角形 3 3 已知的面积为 且 若 则夹角的取OFQ S1 FQOF 2 3 2 1 S FQOF 值范围是 答 4 3 六 向量的运算六 向量的运算 1 几何运算几何运算 向量加法 利用 平行四边形法则 进行 但 平行四边形法则 只适用于不共线的 向量 如此之外 向量加法还可利用 三角形法则 设 那么向量 ABa BCb 叫做与的和 即 AC a b abABBCAC 向量的减法 用 三角形法则 设 由减 ABa ACbabABACCA 那么 向量的终点指向被减向量的终点 注意 此处减向量与被减向量的起点相同 练习练习 1 1 化简 ABBCCD ABADDC ABCDACBD 2 2 若正方形的边长为 1 则 ABCD ABa BCb ACc abc 2 坐标运算坐标运算 设 则 1122 ax ybxy 向量的加减法运算向量的加减法运算 12 abxx 12 yy 实数与向量的积实数与向量的积 1111 ax yxy 若 则 即一个向量的坐标等于表示这个向量 1122 A x yB xy 2121 ABxx yy 的有向线段的终点坐标减去起点坐标 练习练习 1 设 且 则 C D 的坐标分别是 2 3 1 5 AB 1 3 ACAB 3ADAB 2 2 已知点 若 则当 时 点 P 在第 2 3 5 4 AB 7 10 C APABACR 一 三象限的角平分线上 3 3 已知 则 1 2 3 1 4 sin cos 2 ABABxy 且 2 2 x y xy 平面向量数量积平面向量数量积 如如 1212 a bx xy y 精品文档 44欢迎下载 1 已知向量 sinx cosx sinx sinx 1 0 1 若abc x 求向量 的夹角 2 若 x 函数的最大值为 3 ac 4 8 3 baxf 2 1 求的值 向量的模向量的模 如如 2 22222 axyaaxy 1 已知均为单位向量 它们的夹角为 那么 a b 60 3 ab 答 13 2 2009 年广东卷 一质点受到平面上的三个力 1 F 2 F 3 F 单位 牛顿 的作用而处于平 衡状态 已知 12 F F成60 角 且 1 F 2 F的大小分别为 和 则 3 F的大小为 3 已知共面向量 均为单位向量 它们的夹角两两相同 求的值 11 23 ab c abc 两点间的距离两点间的距离 若 则 1122 A x yB xy 22 2121 ABxxyy 七 向量的运算律七 向量的运算律 1 交换律 abba aa a bb a 2 结合律 abcabc abcabc aba bab 3 分配律 aaaabab abca cb c 练习 练习 下列命题中 cabacba cbacba 2 ab 2 a 若 则或 若则 2 2 abb 0 ba0 a0 b a bc b ac 其中正确的是 2 2 aa 2 a bb a a 22 2 a bab 22 2 2abaa bb 注 注 1 1 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别 对于一个向量等式 可以移项 两边平方 两边同乘以一个实数 两边同时取模 两边同乘以一个向量 但不能两边同 除以一个向量 即两边不能约去一个向量 切记两向量不能相除切记两向量不能相除 相约相约 2 2 向量的 向量的 乘法乘法 不满足结合律不满足结合律 即 为什么 cbacba 八 向量平行八 向量平行 共线共线 的充要条件的充要条件 0 abab 22 a ba b 1212 x yy x 练习练习 1 1 若向量 当 时与共线且方向相同 1 4 axbx xa b 2 2 已知 且 则x 1 1 4 abx 2uab 2vab uv 3 3 设 则k 时 A B C 共线 12 4 5 10 PAkPBPCk 九 向量垂直的充要条件九 向量垂直的充要条件 0 aba babab 1212 0 x xy y 1 1 已知 若 则 1 2 3 OAOBm OAOB m 2 2 已知向量 且 则的坐标是 na b nm nm m 十一 向量中一些常用的结论十一 向量中一些常