常用放缩方法技巧

精品文档 1欢迎下载1欢迎下载 ForFor personalpersonal useuse onlyonly inin studystudy andand research research notnot forfor commercialcommercial useuse 常用放缩方法技巧常用放缩方法技巧 证明数列型不等式 因其思维跨度大 构造性强 需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性 能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力 因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好 素材 这类问题的求解策略往往是 通过多角度观察所给数列通项的结构 深入剖析其特征 抓住其规 律进行恰当地放缩 其放缩技巧主要有以下几种 添加或舍去一些项 如 aa 1 2 nnn 1 将分子或分母放大 或缩小 利用基本不等式 如 4lg16lg15lg 2 5lg3lg 5lg3lg 2 2 1 1 nn nn 二项式放缩 n nnn nn CCC 10 11 212 10 nCC nn n 5 利用常用结论 的放缩 1 k 222 121kkkkk 的放缩 1 程度大 2 1 k 2 111 1 1 k kkk k 的放缩 2 程度小 2 1 k 22 111111 1 1 1 211kkkkkk 的放缩 3 程度更小 2 1 k 22 1411 2 412121kkkk 分式放缩还可利用真 假 分数的性质 和 0 0 mab ma mb a b 0 0 mba ma mb a b 记忆口诀 小者小 大者大 解释 看b 若b小 则不等号是小于号 反之亦然 构造函数法 构造单调函数实现放缩 例 从而实现利用函数单调性质的放缩 0 1 x f xx x f abf ab 一 一 先求和再放缩先求和再放缩 例例 1 1 前前 n n 项和为项和为 S Sn n 求证 求证 1 1 nn an1 n s 例例 2 2 前前 n n 项和为项和为 S Sn n 求证 求证 n n a 3 1 2 1 n s 二 二 先放缩再求和先放缩再求和 一 放缩后裂项相消 一 放缩后裂项相消 例例 3 3 数列 数列 其前 其前项和为项和为 求证 求证 n a 11 1 n n a n nn s 2 2 2 n s 二 放缩后转化为等比数列 二 放缩后转化为等比数列 例例 4 4 满足 满足 n b 2 11 1 2 3 nnn bbbnb 1 1 用数学归纳法证明 用数学归纳法证明 n bn 2 2 求证 求证 123 1111 3333 n n T bbbb 1 2 n T 三 裂项放缩三 裂项放缩 精品文档 2欢迎下载2欢迎下载 例例 5 1 5 1 求求的值的值 2 2 求证求证 n k k 1 2 14 2 3 51 1 2 n k k 例例 6 1 6 1 求证求证 2 12 2 1 6 7 12 1 5 1 3 1 1 222 n nn 2 2 求证求证 nn4 1 2 1 4 1 36 1 16 1 4 1 2 3 3 求证 求证 112 2 1 3 1 2 1 1 11 2 n n n 例例 7 7 求证求证 3 51 9 1 4 1 1 12 1 6 2 nnn n 例例 8 8 已知 求证求证 nn n a24 n n n aaa T 21 2 2 3 321 n TTTT 四 分式放缩四 分式放缩 姐妹不等式姐妹不等式 和和 0 0 mab ma mb a b 0 0 mba ma mb a b 记忆口诀记忆口诀 小者小小者小 大者大大者大 解释解释 看看b b 若若b b小小 则不等号是小于号则不等号是小于号 反之亦然反之亦然 例例 9 9 姐妹不等式姐妹不等式 和和 12 12 1 1 5 1 1 3 1 1 11 n n 也可以表示成为也可以表示成为 12 1 2 1 1 6 1 1 4 1 1 2 1 1 n n 和和 12 12 531 2642 n n n 12 1 2642 12 531 nn n 例例 10 10 证明证明 13 23 1 1 7 1 1 4 1 1 11 3 n n 五 均值不等式放缩五 均值不等式放缩 例例 11 11 设设求证求证 1 3221 nnSn 2 1 2 1 2 n S nn n 例例 12 12 已知函数已知函数 a 0 b 0 a 0 b 0 若若 且 且在在 0 0 1 1 上的最大值为上的最大值为 bx a xf 21 1 5 4 1 f xf 2 1 求证 求证 2 1 2 1 2 1 1 n nnfff 六 二项式放缩六 二项式放缩 n nnn nn CCC 10 11 212 10 nCC nn n 例例 13 13 设设 求证 求证 Nnn 1 2 1 8 3 2 nn n 例例 14 14 试证明 试证明 n n a32 12 1111 424 n n naaa 七 部分放缩七 部分放缩 尾式放缩尾式放缩 例例 15 15 求证求证 7 4 123 1 123 1 13 1 1 n 例例 16 16 设设求证 求证 a n a 2 1 1 2 1 3 1 a na a 2 n a 八 函数放缩八 函数放缩 例例 17 17 求证 求证 6 65 3 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln Nn n n n n 例例 18 18 求证求证 2 1 2 12ln 3 3ln 2 2ln 2 2 n n nn n n 例例 19 19 求证求证 n n n 1 2 1 1 1ln 1 1 3 1 2 1 九 借助数列递推关系九 借助数列递推关系 例例 20 20 若若 求证求证 1 1 11 naaa nn 11 2 111 21 n aaa n 例例 21 21 求证求证 122 2642 12 531 642 531 42 31 2 1 n n n 精品文档 3欢迎下载3欢迎下载 十 分类放缩十 分类放缩 例例 22 22 求证求证 212 1 3 1 2 1 1 n n 精品文档 4欢迎下载4欢迎下载 仅供个人用于学习 研究 不得用于商业用途 仅供个人用于学习 研究 不得用于商业用途 For personal use only in study and research not for commercial use Nur f r den pers nlichen f r Studien Forschung zu kommerziellen Zwecken verwendet werden Pour l tude et la recherche uniqueme