法向量经典练习题

精品文档 1欢迎下载 山东省淄博市第一中学 2012 届高三第一学期期中理 1 满分 12 分 如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱ABC 柱被平面所截而得 已知平面 DEF FAABC 为的中点 1 3 2 2 BDCEAFABOBC 1 求证 平面AODEF 2 求证 平面平面DEF BCED 3 求平面与平面相交所成锐角二面角DEFABC 的余弦值 山东省枣庄市2012 届高三上学期期末理 2 本题满分 12 分 如图 ABCD 是菱形 PA 平面 ABCD PA AD 2 BAD 60 1 证明 面 PBD 面 PAC 2 求锐二面角 A PC B 的余弦值 山东省临清三中 2012 届高三 12 月模拟理 3 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 底面ABCD是菱形 AB 2 BAD 60 求证 BD 平面PAC 若PA AB 求PB与AC所成角的余弦值 当平面PBC与平面PDC垂直时 求PA的长 4 在如图所示的几何体中 四边形 ABCD 是等腰梯形 AB CD DAB 60 FC 平面 ABCD AE BD CB CD CF 求证 BD 平面 AED 求二面角 F BD C 的余弦值 精品文档 2欢迎下载 答案 1 证明 取 DE 中点 G 建系如图 则 A 0 0 B 1 0 0 C 1 0 0 3 D 1 0 1 E 1 0 3 F 0 2 G 0 0 2 3 2 0 2 1 1 DE DF 3 设平面 DEF 的一法向量 x y z m 则即 不妨取 x 1 则 y 0 z 1 x z 0 x 3y z 0 1 0 1 平面 ABC 的一法向量 0 0 1 0 0 m n OA 3 0 又 OA 平面 DEF OA 平面 DEF OA n OA n 显然 平面 BCED 的一法向量为 0 1 0 0 平面 DEF 平面 BCED v v n 由 知平面 DEF 的一法向量 1 0 1 平面 ABC 的一法向量 0 0 1 m n cos m n 2 2 求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为 DEFABC 2 2 答案 2 1 因为四边形 ABCD 是菱形 所以 AC BD 因为 PA平面 ABCD 精品文档 3欢迎下载 所有 PABD 2 分 又因为 PAAC A 所以 BD面 PAC 3 分 而 BD面 PBD 所以面 PBD面 PAC 5 分 2 如图 设 ACBD O 取 PC 的中点 Q 连接 OQ 在 APC 中 AO OC CQ QP OQ 为 APC 的中位线 所以 OQ PA 因为 PA平面 ABCD 所以 OQ平面 ABCD 6 分 以 OA OB OQ 所在直线分别为轴 轴 建立空间直角坐标系 Oxz xyz 则 0 0 3 0 1 0 0 0 3 CBA 7 分 2 0 3P 因为 BO面 PAC 所以平面 PAC 的一个法向量为 8 分 0 1 0 OB 设平面 PBC 的一个法向量为 zyxn 而 2 1 3 0 1 3 PBBC 由得 PBn BCn 0 23 03 xyx yx 令则 1 x 3 3 zy 所以为平面 PBC 的一个法向量 10 分 3 3 1 n 12 分cosnOB 7 21 3311 3 nOB nOB 答案 3 I 证明 因为四边形ABCD是菱形 所以AC BD 又因为PA 平面ABCD 所以PA BD 所以BD 平面PAC 4 分 设AC BD O 因为 BAD 60 PA AB 2 所以BO 1 AO CO 3 如图 以O为坐标原点 OB OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系O xyz 则 P 0 2 A 0 0 B 1 0 0 C 0 0 333 所以PBPB 1 2 ACAC 0 2 0 33 设PBPB与ACAC所成角为 则 cos 8 分 6 22 23 6 4 由 知BCBC 1 0 3 精品文档 4欢迎下载 设P 0 t t 0 则 BPBP 1 t 33 设平面PBC的法向量m m x y z 则BCBC m m 0 BPBP m m 0 所以Error Error 令y 则x 3 z 所以m 3 6 t 3 3 6 t 同理 可求得平面PDC的法向量n 3 3 6 t 因为平面PBC 平面PDC 所以m m n n 0 即 6 0 解得t 36 t26 所以当平面PBC与