求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的九种常用方法求函数解析式的九种常用方法 一 换元法一 换元法 已知复合函数已知复合函数 f g x 的解析式 求原函数的解析式 求原函数 f x 的解析式 的解析式 把把 g x 看成一个整体看成一个整体 t t 进行换元 从而求出 进行换元 从而求出 f x 的方法 的方法 例例 1 已知 f 求 f x 的解析式 x x1 xx x11 2 2 解 设 t 则 x t 1 x x1 1 1 t f t 1 t 1 t2 t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 tt t2 1 t 故 f x x2 x 1 x 1 评注评注 实施换元后实施换元后 应注意新变量的取值范围应注意新变量的取值范围 即为函数的定义域即为函数的定义域 二 配凑法二 配凑法 例例 2 已知 f 1 x 2 求 f x 的解析式 xx 解 f 1 2 1 1 1 x 2 xx 2 1 x f 1 1 1 1 将 1 视为自变量 x 则有x 2 1 xxx f x x2 1 x 1 评注评注 使用配凑法时 一定要注意函数的定义域的变化 否则容易出错使用配凑法时 一定要注意函数的定义域的变化 否则容易出错 三 待定系数法三 待定系数法 已知函数解析式的类型 可设其解析式的形式 根据已知条件建立关于待定系数的方程 从而已知函数解析式的类型 可设其解析式的形式 根据已知条件建立关于待定系数的方程 从而 求出函数解析式的方法 求出函数解析式的方法 例例 3 已知二次函数 f x 满足 f 0 0 f x 1 f x 2x 8 求 f x 的解析式 解 设二次函数 f x ax2 bx c 则 f 0 c 0 f x 1 a b x 1 ax2 2a b x a b 2 1 x 由 f x 1 f x 2x 8 与 得 解得 故 f x x2 7x 8 22 ba bba 7 1 b a 评注评注 已知函数类型 常用待定系数法求函数解析式已知函数类型 常用待定系数法求函数解析式 四 消去法 方程组法 四 消去法 方程组法 例例 4 设函数 f x 满足 f x 2 f x x 0 求 f x 函数解析式 x 1 分析 欲求 f x 必须消去已知中的 f 若用去代替已知中 x 便可得到另一个方程 联立方 x 1 x 1 程组求解即可 解 f x 2 f x x 0 x 1 由代入得 2f x f x 0 x 1 x 1 x 1 解 构成的方程组 得 f x x 0 x3 2 3 x 评注 方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点 构造另一个方程评注 方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点 构造另一个方程 练习 已知定义在 R 上的函数满足 求的解析式 五 特殊值法五 特殊值法 例例 5 设是定义在 R 上的函数 且满足 f 0 1 并且对任意的实数 x y 有 f x y f x y 2x y 1 求 f x 函数解析式 分析 要 f 0 1 x y 是任意的实数及 f x y f x y 2x y 1 得到 f x 函数解析式 只有令 x y 解 令 x y 由 f x y f x y 2x y 1 得 f 0 f x x 2x x 1 整理得 f x x2 x 1 练习 已知函数的定义域为 R 并对一切实数 x y 都有 求的解析式 六 对称性法六 对称性法 即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式 求另一区间上的解析式即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式 求另一区间上的解析式 例例 6 已知是定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x 2x x2 求 f x 函数解析式 解 y f x 是定义在 R 上的奇函数 y f x 的图象关于原点对称 当 x 0 时 f x 2x x2的顶点 1 1 它关于原点对称点 1 1 因此当 x 0 时 y 1 x2 2x 故 f x 2 1 x xx xx 2 2 2 2 评注评注 对于一些函数图象对称性问题对于一些函数图象对称性问题 如果能结合图形来解如果能结合图形来解 就会使问题简单化就会使问题简单化 x 0 x 0 七 函数性质法七 函数性质法 利用函数的性质如奇偶性 单调性 周期性等求函数解析式的方法 利用函数的性质如奇偶性 单调性 周期性等求函数解析式的方法 例 6 已知函数是 R 上的奇函数 当的解析式 解析 因为是 R 上的奇函数 所以 当 所以 八 反函数法八 反函数法 利用反函数的定义求反函数的解析式的方法 利用反函数的定义求反函数的解析式的方法 例 7 已知函数 求它的反函数 解 因为 反函数为 九