直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线和圆锥曲线经常考查的一些题型 解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是 解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是 1 1 直线的斜率不存在 直线的斜率存 直线的斜率不存在 直线的斜率存 2 2 联立直线和曲线的方程组 联立直线和曲线的方程组 3 3 讨论类一元二次方程 讨论类一元二次方程 4 4 一元二次方程的判别式 一元二次方程的判别式 5 5 韦达定理 同类坐标变换 韦达定理 同类坐标变换 6 6 同点纵横坐标变换 同点纵横坐标变换 7 7 x yx y k k 斜率斜率 的取值范围的取值范围 8 8 目标 弦长 中点 垂直 角度 向量 面积 范围等等 目标 弦长 中点 垂直 角度 向量 面积 范围等等 1 1 中点坐标公式 中点坐标公式 其中 其中是点是点的中的中 1212 y 22 xxyy x x y 1122 A x yB xy 点坐标 点坐标 2 2 弦长公式 若点 弦长公式 若点在直线在直线上 上 1122 A x yB xy 0 ykxb k 则则 这是同点纵横坐标变换 是两大坐标变换技巧之一 这是同点纵横坐标变换 是两大坐标变换技巧之一 1122 ykxbykxb 222222 1212121212 1 ABxxyyxxkxkxkxx 22 1212 1 4 kxxx x 或者 22222 1212121212 2 111 1 ABxxyyxxyyyy kkk 2 1212 2 1 1 4 yyy y k 3 两条直线 两条直线垂直 则垂直 则 111222 lyk xb lyk xb 12 1k k 两条直线垂直 则直线所在的向量两条直线垂直 则直线所在的向量 12 0v v A 4 韦达定理 若一元二次方程 韦达定理 若一元二次方程有两个不同的根有两个不同的根 则 则 2 0 0 axbxca 12 x x 1212 bc xxx x aa 常见的一些题型 常见的一些题型 题型一 数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型一 数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题 1 已知直线与椭圆始终有交点 求的取值范围 1l ykx 22 1 4 xy C m m 练习 1 过点 P 3 2 和抛物线 只有一个公共点的直线有 条 23 2 xxy A 4 B 3 C 2 D 1 题型二 弦的垂直平分线问题题型二 弦的垂直平分线问题 例题例题 2 过点 T 1 0 作直线 与曲线 N 交于 A B 两点 在 x 轴上是否存在一点l 2 yx E 0 使得是等边三角形 若存在 求出 若不存在 请说明理由 0 xABE 0 x 例题例题 3 已知椭圆的左焦点为F O为坐标原点 1 2 2 2 y x 求过点O F 并且与相切的圆的方程 设过点F且不与坐标轴垂直的2x 直线交椭圆于A B两点 线段AB的垂直平分线与x轴交于点G 求点G横坐标的取值范 围 练习练习 1 1 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C过点 2 3 1 且离心率 2 1 e 求椭圆方程 若直线 0 kmkxyl与椭圆交于不同的两点M N 且线段MN的垂直平分线过定点 0 8 1 G 求k的取值范围 练习练习 2 设 分别是椭圆的左右焦点 是否存在过点的直线 l 与椭 1 F 2 F 22 1 54 xy 5 0 A 圆交于不同的两点 C D 使得 若存在 求直线 l 的方程 若不存在 请说 22 F CF D 明理由 题型三 动弦过定点的问题题型三 动弦过定点的问题 例题例题 5 山东理 已知椭圆 C 的中心 在坐标原点 焦点在 x 轴上 椭圆 C 上的 点到焦点距离的最大值为 3 最小值为 1 求椭圆 C 的标准方程 若 直线与椭圆 C 相交于 A Bmkxyl 两点 A B 不是左右顶点 且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 求证 直线 过定l 点 并求出该定点的坐标 练习练习 直线和抛物线相交于 A B 以 AB 为直径的圆过抛物线的mkxyl 2 2ypx 顶点 证明 直线过定点 并求定点的坐标 mkxyl 题型四 过已知曲线上定点的弦的问题题型四 过已知曲线上定点的弦的问题 例题例题 6 已知点 A B C 是椭圆 E 上的三点 其中点 A 22 22 1 xy ab 0 ab 是椭圆的右顶点 直线 BC 过椭圆的中心 O 且 2 3 0 0AC BC A2BCAC 如图 I 求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程 II 若椭圆 E 上存在两点 P Q 使得直线 PC 与直线 QC 关于直线对称 求直线 PQ3x 的斜率 练习 2 辽宁卷文 理 已知 椭圆C以过点A 1 3 2 两个焦点为 1 0 1 0 1 求椭圆C的方程 2 E F是椭圆C上的两个动点 如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数 证明直 线EF的斜率为定值 并求出这个定值 题型五 共线向量问题题型五 共线向量问题 例题例题 7 设过点 D 0 3 的直线交曲线 M 于 P Q 两点 且 求实数 22 1 94 xy DPDQl uuu ruuu r 的取值范围 l 例题例题 8 福建理科 如图 已知点 1 0 直线 l x 1 P 为平面上的动点 过作FP 直线 l 的垂线 垂足为点 且QQP QFFP FQ 求动点的轨迹 C 的方程 P 过点 F 的直线交轨迹 C 于 A B 两点 交直线 l 于点 M 已知 求的值 12 MAAF AFBF 12 题型六 面积问题题型六 面积问题 例题例题 8 陕西理 已知椭圆 C a b 0 的离心率为短轴一个端1 2 2 2 2 b y a x 3 6 点到右焦点的距离为 求椭圆 C 的方程 设直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两3 点 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求 AOB 面积的最大值 2 3 练习 1 浙江理 如图 直线与椭圆交于 A B 两点 记的ykxb 2 2 1 4 x y ABC 面积为 S 求在 的条件下 的最大值 当时 求直0k 01b S12 SAB 线 AB 的方程 练习 2 山东文 已知椭圆的中心在坐标原点 O 焦点在 x 轴上 椭圆的短轴端点和 焦点所组成的四边形为正方形 两准线间的距离为 4 求椭圆的方程 直线 过点 P 0 2 且与椭圆相交于 A B 两点 当 AOB 面l 积取得最大值时 求直线 l 的方程 题型八 角度问题题型八 角度问题 例题例题 9 9 重庆理 如图 21 图 M 2 0 和N 2 0 是平面上的两点 动点P满足 6 PMPN 求点P的轨迹方程 若 求点P的坐标 2 1 cos PMPN MPN 练习 1 福建理 已知方向向量为 v 1 的直线 l 过点3 0 2 和椭圆 C a b 0 的焦点 且椭圆 C31 2 2 2 2 b y a x 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上 求椭圆 C 的方程 是否存在过点 E 2 0 的直线 m 交椭圆 C 于点 M N 满足 cot MON 0 O 为原点 若存在 求直线 m 的方程 若不存在 6 3 4 ONOM 请说明理由 练习练习 2 四川理 设 分别是椭圆的左 右焦点 1 F 2 F1 4 2 2 y x 若是该椭圆上的一个动点 求 的最大值和最小值 P 1 PF 2 PF 设过定点的直线 与椭圆交于不同的两点 且 为锐 2 0 MlABAOB 角 其中为坐标原点 求直线 的斜率的取值范围 Olk 问题十 范围问题 本质是函数问题 问题十 范围问题 本质是函数问题 四川理 设 分别是椭圆的左 右焦点 1 F 2 F1 4 2 2 y x 若是该椭圆上的一个动点 求 的最大值和最小值 P 1 PF 2 PF 设过定点的直线 与椭圆交于不同的两点 且 为锐 2 0 MlABAOB 角 其中为坐标原点 求直线 的斜率的取值范围 Olk 湖南卷文 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点在x轴上 以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形 记为 Q 求椭圆 C 的方程 设点 P 是椭圆 C 的左准线与x轴的交点 过点 P 的直 线l与椭圆 C 相交于 M N 两点 当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内 包括边界 时 求直 线l的斜率的取值范围 问题十一 存在性问题 问题十一 存在性问题 存在点 存在直线 y kx m 存在实数 存在图形 三角形 等比 等腰 直角 四边形 矩形 菱形 正方形 圆 江苏卷 在平面直角坐标系xoy中 已知圆 22 1 3 1 4Cxy 和圆 22 2 4 5 4Cxy 1 若直线l过点 4 0 A 且被圆 1 C截得的弦长为2 3 求 直线l的方程 2 设 P 为平面上的点 满足 存在过点 P 的 无穷多对互相垂直的直线 1 l和 2 l 它们分别与圆 1 C和圆 2 C相交 且直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等 试求所有满足条件的点 P 的坐