大一高数上 第五章.ppt

第五章定积分 1 第一节定积分的概念与性质 问题的提出定积分的定义定积分的性质 2 1 求平面图形的面积 一 问题的提出 会求梯形的面积 曲边梯形的面积怎样求 考虑如下曲边梯形面积的求法 3 思路 利用极限由近似到精确 一般地 小矩形越多 小矩形面积和越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 用矩形面积近似代替曲边梯形面积 4 f xi f x1 f x2 f xi xi 在 a b 中任意插入n 1个分点 记为 得n个小区间 xi 1 xi i 1 2 n 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 任取xi xi 1 xi 以f xi Dxi近似代替第i个窄曲边梯形的面积 区间 xi 1 xi 的长度Dxi xi xi 1 曲边梯形的面积近似为 A 5 记 max Dx1 Dx2 Dxn 则 曲边梯形的面积的精确值为 A 曲边梯形的面积近似为 A 6 2 求变速直线运动的路程 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上速度以其中某时刻的速度来近似 求出各小段上路程的近似 再相加 便得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 7 1 分割 路程的精确值 2 求和 3 取极限 8 29 8 问题 以上两个例子 一个是几何问题 求的是以曲线y f x 为曲边 以 a b 为底边的曲边梯形的面积 一个是物理问题 求的是速度函数为v t 的变速直线运动的物体在时间区间 a b 所走过的路程 归纳 它们求的都是展布在某个区间上的总量 总面积或总路程 解决方法 通过局部取近似 求和取极限的方法 把总量归结为求一种特定和式的极限 9 类似的例子还可以举出很多 几何 物理的 在下一章定积分应用中即可见到 这些问题虽然研究的对象不同 但解决问题的思路及形式都有共同之处 为了一般地解决这类问题 就有必要撇开它们的具体含义 而加以概括 抽象得出定积分的概念 10 二 定积分的定义 设函数f x 在 a b 上有界 在 a b 中任意插入n 1个分点a x0 x1 x2 xn 1 xn b 把区间 a b 分成n个小区间 x0 x1 x1 x2 xn 1 xn 各小段区间的长依次为Dx1 x1 x0 Dx2 x2 x1 Dxn xn xn 1 任取xi xi 1 xi i 1 2 n 作函数值f xi 与小区间长度Dxi的乘积f xi Dxi i 1 2 n 并作出和 记 max Dx1 Dx2 Dxn 11 记为 积分上限 积分下限 积分和 即 12 注 根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 变速直线运动的路程为 A 13 定理1 定理2 三 存在定理 14 定积分的几何意义 在区间 a b 上 当f x 0时 积分 在几何上表示由曲线y f x 两条直线x a x b与x轴所围成的曲边梯形的面积 15 当f x 0时 由曲线y f x 两条直线x a x b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 y f x y f x 定积分在几何上表示上述曲线边梯形面积的负值 S 16 几何意义 17 例1利用定义计算定积分 解 18 练习利用定义计算定积分 解 在 0 1 上连续 故f x 在 0 1 上可积 将 0 1 n等分 左侧取点 等比数列求和 19 利用几何意义求定积分 例2求积分 解以y 1 x为曲边 以区间 0 1 为底的曲边梯形为一直角 三角形 所以 20 四 定积分的性质 补充规定 说明 在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 21 性质1 性质2 22 则 性质3 关于积分区间的可加性 例若 补充 不论的相对位置如何 上式总成立 23 性质4 推论1 比较定理 性质5 保号性 推论2 如果在区间 a b 上f x 1 则 24 解 于是 25 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质6