全等三角形培优(含答案)

1 三角形培优练习题三角形培优练习题 1 已知 AB 4 AC 2 D 是 BC 中点 AD 是整数 求 AD A D BC 2 已知 BC DE B E C D F 是 CD 中点 求证 1 2 A B CD E F 2 1 3 已知 1 2 CD DE EF AB 求证 EF AC 4 已知 AD 平分 BAC AC AB BD 求证 B 2 C C DB A B A C D F 2 1 E 2 5 已知 AC 平分 BAD CE AB B D 180 求证 AE AD BE 6 如图 四边形 ABCD 中 AB DC BE CE 分别平分 ABC BCD 且点 E 在 AD 上 求证 BC AB DC 7 已知 AB CD A D 求证 B C 8 P 是 BAC 平分线 AD 上一点 AC AB 求证 PC PB AC AB A BC D PD A C B 3 9 已知 E 是 AB 中点 AF BD BD 5 AC 7 求 DC 10 如图 已知 AD BC PAB 的平分线与 CBA 的平分线相交于 E CE 的连线交 AP 于 D 求证 AD BC AB 11 如图 ABC 中 AD 是 CAB 的平分线 且 AB AC CD 求证 C 2 B 12 如图 AE BC 交于点 M F 点在 AM 上 BE CF BE CF 求证 AM 是 ABC 的中线 F A E D C B P E D C BA D C B A M F E C B A 4 13 已知 如图 AB AC BD AC CE AB 垂足分别为 D E BD CE 相交于点 F 求证 BE CD 14 在 ABC 中 直线经过点 且于 90ACBBCAC MNCMNAD D 于 1 当直线绕点旋转到图 1 的位置时 MNBE EMNC 求证 ADC CEB BEADDE 2 当直线绕点旋转到图 2 的位置时 1 中的结论还成立吗 若成立 MNC 请给出证明 若不成立 说明理由 15 如图所示 已知 AE AB AF AC AE AB AF AC 求证 1 EC BF 2 EC BF A C B D E F AE B M C F 5 16 如图 已知 AC BD EA EB 分别平分 CAB 和 DBA CD 过点 E 则 AB 与 AC BD 相等吗 请说明理由 17 如图 9 所示 ABC 是等腰直角三角形 ACB 90 AD 是 BC 边上的中线 过 C 作 AD 的垂线 交 AB 于点 E 交 AD 于点 F 求证 ADC BDE A B C D E F 图 9 6 全等三角形证明经典 答案 1 延长 AD 到 E 使 DE AD 则三角形 ADC 全等于三角形 EBD 即 BE AC 2 在三角形 ABE 中 AB BE AE AB BE 即 10 2 2AD 10 2 4 AD 6 又 AD 是整数 则 AD 5 2 证明 连接 BF 和 EF 因为 BC ED CF DF BCF EDF 所以 三角形 BCF 全等于三角形 EDF 边角边 所以 BF EF CBF DEF 连接 BE 在三角形 BEF 中 BF EF 所以 EBF BEF 又因为 ABC AED 所以 ABE AEB 所以 AB AE 在三角形 ABF 和三角形 AEF 中 AB AE BF EF ABF ABE EBF AEB BEF AEF 所以 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等 所以 BAF EAF 1 2 3 证明 过 E 点 作 EG AC 交 AD 延长线于 G 则 DEG DCA DGE 2 又 CD DE ADC GDE AAS EG AC EF AB DFE 1 1 2 DFE DGE EF EG EF AC 4 证明 在 AC 上截取 AE AB 连接 ED AD 平分 BAC 7 EAD BAD 又 AE AB AD AD AED ABD SAS AED B DE DB AC AB BD AC AE CE CE DE C EDC AED C EDC 2 C B 2 C 5 证明 在 AE 上取 F 使 EF EB 连接 CF 因为 CE AB 所以 CEB CEF 90 因为 EB EF CE CE 所以 CEB CEF 所以 B CFE 因为 B D 180 CFE CFA 180 所以 D CFA 因为 AC 平分 BAD 所以 DAC FAC 又因为 AC AC 所以 ADC AFC SAS 所以 AD AF 所以 AE AF FE AD BE 6 证明 在 BC 上截取 BF BA 连接 EF ABE FBE BE BE 则 ABE FBE SAS EFB A AB 平行于 CD 则 A D 180 又 EFB EFC 180 则 EFC D 又 FCE DCE CE CE 故 FCE DCE AAS FC CD 所以 BC BF FC AB CD 7 证明 设线段 AB CD 所在的直线交于 E 当 ADBC 时 E 点是射线 AB DC 的交点 则 AED 是等腰三角形 所以 AE DE 而 AB CD 所以 BE CE 等量加等量 或等量减等量 所以 BEC 是等腰三角形 所以 角 B 角 C 8 作 B 关于 AD 的对称点 B 因为 AD 是角 BAC 的平分线 B 在线段 AC 上 在 AC 中间 8 因为 AB 较短 因为 PC PB B C PC PB B C 而 B C AC AB AC AB 所 以 PC PB AC AB 9 作 AG BD 交 DE 延长线于 G AGE 全等 BDE AG BD 5 AGF CDF AF AG 5 所以 DC CF 2 10 证明 做 BE 的延长线 与 AP 相交于 F 点 PA BC PAB CBA 180 又 AE BE 均为 PAB 和 CBA 的角平分线 EAB EBA 90 AEB 90 EAB 为直角三角形 在三角形 ABF 中 AE BF 且 AE 为 FAB 的角平分线 三角形 FAB 为等腰三角形 AB AF BE EF 在三角形 DEF 与三角形 BEC 中 EBC DFE 且 BE EF DEF CEB 三角形 DEF 与三角形 BEC 为全等三角形 DF BC AB AF AD DF AD BC 11 证明 在 AB 上找点 E 使 AE AC AE AC EAD CAD AD AD ADE ADC DE CD AED C AB AC CD DE CD AB AC AB AE BE B EDB C B EDB 2 B 12 证明 BE CF PD A C B 9 E CFM EBM FCM BE CF BEM CFM BM CM AM 是 ABC 的中线 13 证明 因为 AB AC 所以 EBC DCB 因为 BD AC CE AB 所以 BEC CDB BC CB 公共边 则有 三角形 EBC 全等于三角形 DCB 所以 BE CD 14 1 证明 ACB 90 ACD BCE 90 而 AD MN 于 D BE MN 于 E ADC CEB 90 BCE CBE 90 ACD CBE 在 Rt ADC 和 Rt CEB 中 ADC CEB ACD CBE AC CB Rt ADC Rt CEB AAS AD CE DC BE DE DC CE BE AD 2 不成立 证明 在 ADC 和 CEB 中 ADC CEB 90 ACD CBE AC CB ADC CEB AAS AD CE DC BE DE CE CD AD BE 15 1 证明 因为 AE 垂直 AB 所以角 EAB 角 EAC 角 CAB 90 度 因为 AF 垂直 AC 所以角 CAF 角 CAB 角 BAF 90 度 所以角 EAC 角 BAF 10 因为 AE AB AF AC 所以三角形 EAC 和三角形 FAB 全等 所以 EC BF 角 ECA 角 F 2 延长 FB 与 EC 的延长线交于点 G 因为角 ECA 角 F 已证 所以角 G 角 CAF 因为角 CAF 90 度 所以 EC 垂直 BF 16 在 AB 上取点 N 使得 AN AC CAE EAN AE 为公共边 所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以 ANE ACE 又 AC 平行 BD 所以 ACE BDE 180 而 ANE ENB 180 所以 ENB BDE NBE EBN BE 为公共边 所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD