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时频信号分析Time FrequencySignalAnalysis 1时频分析基础 1 1信号的时间与频率同一信号频率域 能反映出信号在时间域中所不能反映的信号本身的某些重要特征时间和频率是描述信号的两个最基本的物理量 时间和频率是描述信号的两个最基本的物理量频率 具有明确的物理意义 1 波形源 2 波的传播 3 简化对波形理解 4 FT数学工具时域 傅里叶变换 频域物理意义 一个任意平方可积函数 信号 x t 都可以分解为无穷多个 在某些特殊条件下可以是有限个 不同频率正弦信号之和 傅里叶变换的不足或限制 局限性 1 傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能时间和频率的定位 对给定信号x t 希望知道在某一个特定时刻 或一很短的时间范围 该信号所对应的频率是多少 反过来 对某一个特定的频率 或一很窄的频率区间 希望知道是什么时刻产生了该频率分量 傅里叶变换建立了一个域到另一个域的通道 但它并没有将时域和频域组合成一个域 在上述傅里叶变换中 这两个变量是互相排斥的 即若想知道在某一频率处 需要知道x t 在所有值 反之亦然 这样 我们无法从局部频率处的来得到某一局部时刻的x t 反过来也是如此的 这就是说 通过傅里叶变换建立起来时域 频率关系无 定位 功能 换句话说 时间信号x t 某个局部的改变将传遍 影响 整个频率轴 相反也一样 某个局部的变换也将传遍整个时间轴 2 傅里叶变换对于非平稳信号的局限性平稳信号频率不随时间变化的信号 时不变信号 非平稳信号频率随时间变化的信号 时变信号 定义上有别与平稳随机信号 均值 一阶矩 和相关 二阶矩 函数不随时间变化 非平稳信号 频率随时间变换 不合适与时间无关 EX 线性频率调制信号 从上例可见 傅里叶变换反映不出信号频率随时间变换的行为 因此 它只适合于分析平稳信号 而对频率随时间变换的非平稳信号 即时变信号 它只能给出一个总的平均效果 3 傅里叶变换在分辨率上的局限性分辨率是信号处理中的基本概念 时间分辨率和频率分辨率其含义是指对信号能作出辨别的时域或频域的最小间隔 又称最小分辨细胞 自然地 我们希望既能好的时间分辨率又能有好的频率分辨率 理想的分辨率是某一时刻某一频率 也即在时 频面上的一个点 或一个小的区域 但是受实际上不确定原理的制约 时间分辨率和频率分辨率不能同时达到最好 即分辨间隔最小 因此在实际信号分析中 应根据信号的特点及信号处理任务的需求选取不同的时间分辨率和频率分辨率 时域突变信号 高的时域分辨率 降低频率分辨率要求时域慢变信号 降低时间分辨率 高的频率分辨率一个 好 的方法 除了能够选择不同的时间分辨率和频率分辨率外 还应能适应信号特点自动调节时域的分辨率和频域的分辨率 傅里叶变换中每一个特定的 值表示了某个特定频率的三角函数因此从频域中它表示一个点 即它的频率分辨率最好 理想值 但它的时间域中表示的是整个时间域 所以它的时间分辨率为零 最低 另一个极端的例子是函数 它在时间域上是一个点 具有理想的时间分辨率 但它在频率是整个频率轴 所以它的频率分辨率为零 结论 用独立的两个域中来讨论频率随时间变换的非平稳信号 时变信号 是不合适的 必须将两个域结合起来进行分析 这就是所谓的时频分析 它是在时间 频率域上对信号进行分析 1 2克服傅里叶变换不足的一些主要方法 1 短时傅里叶变换意义 用沿着t滑动 不断地截取一段一段的信号 然后对每一小段分别做傅里叶变换 得到平面上的二维函数 2 时频联合分析Wigner Ville分布Cohen类时频分布Gabor变换 展开 时频分布应具有的几个基本性质 1 是人们最关心的两个物理量t和 的联合分布函数 2 可反映x t 的能量随时间t和频率 变换的形态 3 既具有好的时间分辨率 同时又具有好的频率分辨率 3 小波变换式中小波基函数基本小波 母小波a 尺度系数 代表频率b 位移 代表时间 4 信号的子带分解 subbanddecomposition 复杂信号 分解 简单信号组合 信号处理最常用的方法FT Gabor STFT Winger ville分布 wavelets等均属于这类分解子带分解 将信号的频谱均匀地或非均匀地分解成若干部分 每一个部分都对应一个时间信号 称它们为原信号的子带信号 实现方法 滤波器组 filterbank 5 信号的多个频率分析对信号的频谱作非均匀分解 以适应在不同频段对时域和频域分辨率的要求每一级都是对低频部分作分解 这样的分解满足实际中时间 频率分辨率的要求 1 3信号的时宽与带宽 时域 时间中心信号时间宽度 Time duration 频域 频率中心频带宽度 frequency bandwidth 对给定信号x t 其能量 定义 时宽 带宽积 Ex 显然 1 4不确定原理 Heisenberg测不准原理 给定信号x t 若 则当且仅当x t 为高斯信号时 即时等号成立证 不失一般性 假定 则 于是 利用Parseval定理 上式可改写为 由Schwarz不等式 有 由于而假定 故上式 并代入前式 有即若要上不等式的等号成立 只有时才有可能 这样的只能是形式 也既高斯信号 定理的意义 对给定的信号 其时宽与带宽的乘积为一常数 当信号的时宽减少时 其带宽将相应增大 当时宽减到无穷小时 带宽将变成无穷大 如时域的脉冲信号 反之亦然 如时域的正弦信号 这就是说 信号的时宽与带宽不可能同时趋于无穷小 定理的应用 对应于 时间分辨率和频率分辨率的制约关系 寻求最佳的时 频分辨率若信号x t 的持续时间是有限的 则称其为紧支撑其持续时间区间 范围 为 称为支撑范围 频率亦同 1 5信号的瞬时频率 首先介绍Hilbert变换 信号分析中的一个重要工具给定一个连续时间信号x t 定义 为x t 的Hilbert变换 可以看成是x t 通过一滤波器的输出 即 其傅里叶变换为若记那么就是说 Hilbert变换是幅频特性为1的全通滤波器 信号x t 通过Hilbert变换器后 其负频率成分作 90度相移 而正频率作 90度相移 由前式 即由此可以得到Hilbert反变换的公式 设为信号x t 的Hilbert变换 定义为信号x t 的解析信号 对实信号x t 引入解析信号z t 的理由 1 x t 实 X j 共轭对称 即表示X j 的平均频率永远为零 频宽也与实际物理意义不符 此外 负频率没有实际物理意义 2 可以表示出实信号x t 的相位和幅度 从而能够定义出瞬时频率 对上式作傅里叶变换 有 我们通常概念上的频率是建立在傅里叶变换的基础上的 应该被称为傅里叶频率 因为对于周期为T0的周期信号 可以展开为傅里叶级数 即可将其分解为无穷多个复正弦信号的叠加 每一个复正弦的频率都是基波频率的k倍 对于非周期信号 可以视为其周期为无穷大 此时频率 非各次谐波 而为连续变量 由傅里叶变换联系起来的频率都是在整个时间轴上的积分得到的 傅里叶频率 一个全局时间的概念 平稳 时不变 信号 频率不随时间而变换的信号对于非平稳的或时变的信号由于其频率随时间变化 傅里叶频率概念就不适合了 由此就引入了瞬时频率概念 对于实信号x t 由Hilbert变换 可以定义出解析函数其频谱Z j 为信号正频谱的两倍 即解析函数z t 可以写为指数形式 定义瞬时频率为对t的导数 即理论上 有无穷多种方式定义虚部 但Hilbert变换提供了定义虚部使结果成为解析函数的唯一方式 对于 可得 单分量信号 mono component 信号在任意时刻都只含有一个频率分量 该频率分量可以是常数 单一频率正弦信号 也可以是时间的函数 时变信号 多分量信号 multi component 信号在同一时刻包含了多个频率分量 同样这些频率分量可以是常数也可以是时间的函数 考虑 瞬时频率对多分量信号的表示 瞬时频率的物理意义 应用 非线性物理系统 1 刚度为非线性的质量弹簧系统 2 长度为非定长的单摆系统 振动方程为 级数解 傅里叶解 非级数解的一种形式 瞬时频率 时域波形及两种形式的频域波形 举一个例子 式中瞬时频率 平均频率给定一个实信号x t 尽管通过Hilbert变换可以构成一个解析信号z t 且z t 是唯一的 但并不是每一个解析信号都有明确的物理意义 瞬时频率 当A1 A2 瞬时频率为平均频率 连续的瞬时频率 负的瞬时频率 由上两例可见 对任意实信号x t 直接采用Hilbert变换构成解析信号并由此得到的瞬时频率存在着以下几个解释上的困难 即不能具有实际物理意义上的解释 1 瞬时频率可以不是频谱中的频率之一 2 如果只有少数明显的频率组成的一个线状频谱 那么瞬时频率可以是连续的 而且在无数个值范围内变化 3 虽然解析信号的频谱对于负频率为零 但瞬时频率可以是负的 4 对于一个带限的信号 它的瞬时频率可以在频带之外 5 如果瞬时频率是在某一时刻t1存在的频率的表示 则可以认为信号在此时刻前后的情况是无关紧要的 只有在t1时刻才是应该考虑的 但是为了计算在t1时刻的解析信号 我们必须知道全部时间的信号 几点说明 1 瞬时频率概念问题 它的局部性和非局部性 2 只有当a t 和的频谱能完全分开时 这样构成的解析信号及其瞬时频率才具有物理意义 这个条件也等价于若x t 能写成的形式 且a t 和的频谱能完全分开时 对x t 求解析信号才有意义 可以证明 对于实信号 若a t 的频谱在低端 而的频谱在高端 且互不重叠 则的Hilbert变换为其解析信号z t 为 可见用解析信号去研究 表征实信号是有实际意义的 两者的幅值函数和相位函数 瞬时频率 相同 3 对于多变量信号 直接应用瞬时频率 有在解析的困难 这其实与用傅里叶变换去分析一个频率随时间变换的时变信号一样 傅里叶谱只能用谐波 无穷个频率分量 去逼近 在数学上 而这些谐波缺乏明确的物理意义 4 瞬时频率的合理应用是首先对被分析信号x t 进行处理 一般是进行分解 分解后的一系列分量满足上述的条件 然后再进行瞬时分析 这样的分解可能不是唯一的 因为将实信号x t 表示成并不是唯一的 a t 和具有无数个形式 因此不同的分解方法形成不同的瞬时频率的分析方法 与瞬时频率相对应的另一个概念是群延迟 groupdelay GD 设该信号的傅里叶变换为 则可将写成的形式 定义 称为x t 的群延迟 群延迟是频率的函数 它反映了在频谱中频率为的分量所具有的延迟 2短时傅里叶变换与Gabor变换 2 1连续信号的短时傅里叶变换 STFT 作为时 频分析的最早使用方法 变换 短时傅里叶变换也称窗口傅里叶变换 直接由傅里叶变换修改而来 设 信号g t 窗函数则表示用窗函数对信号进行截断 如图所示 那么的傅里叶变换便是在时刻t的STFT 改变t的值 即可得到一组 它反映信号x t 的频谱X j 随时间变化的大致规律 显然是变量的二维函数 若令则上式STFT可写成 STFT的基函数 STFT的基函数的形式取决于窗函数g t 即基函数的时域 频域特性由窗函数g t 决定 基函数的时域 频率特性决定了时 频分析的性质 由的形式上看 g 是窗函数 因此它在时域应是有限支撑的 又由于在频域是线谱 可以说成 点支撑 所以在时域和频域都应是有限支撑的 讨论STFT在时域和频域的分辨率基函数的时宽和频宽时宽 基函数的时间中心 时移变量 其时宽 频宽 同时宽 的频率中心而频宽 上式也可以用傅里叶变换性质 时域相乘 频域卷积由上可见 短时傅里叶变换的基函数的时宽和频宽 或称时域和频域的局部性 紧支撑 完全由所选择的窗函数g t 的时宽和频宽所决定 上图可见 基函数的时 频分辨率 时宽和频宽 是恒定的 不随变量的变化而改变 不具有随信号的特征变换而改变其时 频分辨率 STFT也可以写为 2 2短时傅里叶反变换 2 3离散信号的STFTN 时移步长反变换 语音信号 twenty nine 的短时傅里叶变换 语谱图 2 4Gabor变换 2020 3 28 65 2020 3 28 66 2020 3 28 67 2020 3 28 68 2020 3 28 69 2020 3 28 70 2020 3 28 71 2020 3 28 72 2020 3 28 73 2020 3 28 74 2020 3 28 75 2020 3 28 76 2020 3 28 77 2020 3 28 78 2020 3 28 79 2020 3 28 80 2020 3 28 81 2020 3 28 82 2020 3 28 83 展开系数的确定 2020 3 28 84 图2 4 3在ab 1时高斯窗的对偶函数 2020 3 28 85 2020 3 28 86 2020 3 28 87 2020 3 28 88 2020 3 28 89 2020 3 28 90 2020 3 28 91 2020 3 28 92 2020 3 28 93 Gabor基函数的选择 1 几种不同窗函数的举例 Gabor基函数的选择 2 Gabor基函数的选择 3 例2 高斯窗函数 对偶函数为 Gabor基函数的选择 4 基函数有两种常用的表达式 高斯函数 时域基函数为高斯的 频域也为高斯的 高斯基函数的功率谱为均匀的 均匀Gabor采样 Gabor基函数的选择 5 非均匀Gabor采样 例4 Gabor基函数的时域形式为 频域Gabor基函数为 3Winger Ville分布 Winger VilleDistribution WVD 3 1Winger Ville分布 WVD 定义 WVD定义 或并有 Winger于1932年提出并用量子力学 1948年Ville应用于信号分析 并一直来讨论数学基础 时频分布的统一表示形式 WVD定义和性质等 80年代后期WVD研究热 论文 成果称 所有时频分布之母 定义的解释 为积分变量 t是时移 若令 2 则 2 d 2d 若令 瞬时相关 与一般相关的比较 更能反映非平稳信号的特性 则有 3 2WVD性质一 的奇 偶 虚 实性1 无论x t 是实信号还是值信号 其WVD都是t和 的实函数证明 两边取共轭令 则 2 若x t 为实信号 则不但是t 的实函数 还是 的偶函数 即证明 二 WVD的能量分布性质由于WVD的定义 有令 则有上式表明 在时刻t对频率的积分等于该时刻信号的瞬时能量 由WVD的第二个定义 表明在某一频率处 对t的积分等于该信号在此频率的瞬时能量 上两式也可以写为说明在某一时间带内对时间的积分等于信号在该带内的能量 在某一频率带内积分也有着同样的性质 由上两个式子不难得出 说明在整个平面上对的积分等于信号的总能量 Parseval定理三 由WVD重建信号x t 令 t 四 WVD的运算性质1 时移和频移若则若则 2 信号的滤波令则两个时域信号卷积后的WVD等于各自WVD在时间轴上的卷积 3 信号的相乘令则两个信号相乘后的WVD等于各自WVD在频率轴上的卷积 当我们对无限长时域信号加窗截断时 只影响其频域分辨率 不影响其时域分辨率 4 信号的相加令则式中两个信号相加后的WVD 并不等于各自WVD的相加 还要加上两个信号的互WVD 这些互WVD是对相加后信号WVD的干扰 在时频分布中 称它们为交叉项干扰 五 WVD的时限与带限性质1 若在和时 x t 0 即x t 是时限的 则对一切有2 若x t 是因果信号 即那么3 若当和时 即是带限的 则对所有的t 有 4 x t 的解析信号是的Hilbert变换因为则 根据WVD的第二定义式有 上式积分的上下限为将与的关系代入 上式相当于乘了一个从到矩形窗后的WVD 由前性质 频域相乘等于时域卷积 有上式为信号x t 的WVD与其解析信号z t 的WVD之间的关系 上式也可写为 六 WVD的缺点1 WVD有交叉项的存在 使得两个信号和的分布已不再是两个信号各自分布的和 2 由于WVD是信号能量随时间 频率的分布 因此从理论上讲 应始终为正 但由于是的傅里叶变换 可以保证为实值 但不一定保证为非负 WVD在一定条件 范围 下 确是反映了信号的能量分布 如在平面上沿一条直线t或 或一个时间带 或一个频率带及整个平面上的积分都为正值 但在平面的一个点上WVD却不能不用来解释信号的 瞬时能量 因此 WVD也不能理解为 能量密度 因为只有在平面上的一定面积和范围上WVD的积分才能为正值 也就是有能量的意义 其中面积必须满足 称为Heisenberg最小积分面积 该条件也称Heisenberg测不准定理 3 3常用信号的WVD1 矩形窗信号确定积分限 在时间轴上只有范围内有值 在频率轴上是的函数 最大值出现 最大值为4T 2 与时间t无关 3 因为 两条谱线分别位于处 但其除了在的谱线外 在处还产生了的交叉项 且幅度比真正的谱线大两倍 如果将用其解释信号来求WVD 可消除由负频率引起交叉项的干扰 3 4离散WVD的实现与DFT一样 计算机上具体实现WVD必须进行 1 对x t 进行加窗截取 2 对t和 离散化1 加窗设窗函数h t 的宽度为 即对信号若要求出时的WVD 则可用h t 和x t 行截断 可以使用其他类型的窗 如海宁窗等可以减少旁瓣 加窗后的WVD因此时求出的是时的WVD 且h t 总是实函数 所以在时间轴上变化 由WVD的性质 两个时域相乘信号的WVD等于各自WVD在频率的卷积 加窗后的WVD又称伪WVD PWD 当我们用h t 在时间轴上对x t 作一段一段的截短时 可以把截得的每一段都移到时间轴的起点 基t 0处 亦即每次截断前先将x t 移位 而h t 始终以t 0为中心 这样 记 那么这是一个标准的傅里叶变换式 2 时域的离散化WVD定义令上式积分变为对k的求和 若将归一化为1 上式成为 再对x n 进行加窗截断 窗函数的h n 的宽度则性质 1 是的连续周期函数 周期为 即 周期2 不产生混叠的最低采样频率 周期 不产生混叠的最低采样频率 抽样频率提高一倍与DFT对应 应记为 为书写的方便 记为 2 实质性延迟频移相加重建 3 频率离散化对做离散化 即一个周期内取M点 则为了用DFT FFT 实现WVD 取M 2L N 由前面的讨论可知 两个信号的WVD会引起交叉项干扰 另外将t抽样后 求WVD是的抽样频率要求求DFT时的抽样频率增加一倍 解决这两个问题的最直接的方法是采用解析信号 将x t 构成自己的解析信号z t 后 z t 只包含x t 的正频率成分 这样既可减轻交叉项干扰 又可保持原来的抽样频率因此 在实际求一个信号的WVD时 我们往往吧截取的每一段数据都先构成其解析信号 再求该解析信号的WVD 最后我们再来说明一下WVD的意义 1 将时频表示理解成时间 频率的能量分布 或 瞬时功率谱 能量化的时频表示把瞬时功率和谱能量密度两种概念综合在一起 不过由于Heisenberg的不确定原理 时间 频率平面上各点的时频能量密度这一概念是不可能成立的 因此时频表示的二次型是一种直观而合理的假设 因为能量本身就是二次型信号表示 2 时频分布的信号二次型其线性特性受到破坏 即两个信号之和的时频分布不是各自时频分布之和 也就是产生了交叉项 相干项 WVD的二次型形成 信号的相干形成 相对来说具有较好的时频分辨率 或称时频集聚 而且交叉项也相对较小 4时频分布的统一表示形式 1 模糊函数由前Wigner Ville分布可以写为其中定义 为x t 的自对称模糊函数模糊函数实际上是瞬时相关函数的对于变量t的傅里叶反变换 反映对时延和频偏 如用于需达信号处理 与之间的关系 由于的定义 也可写为对上式两边对变量取傅里叶变换 有说明是的二维傅里叶变换 两者反映了信号的两个不同形式 是该信号在和不同域上的表示形式 模糊函数的实际意义是信号x t 的相关时频表示 有的书上把模糊函数定义为对变量t的傅里叶变换 即 模糊函数的模对时移不敏感 时移模糊性 模糊函数的模对频移不敏感 频移模糊性 Ex考虑两个调制的高斯信号x t 和y t 各个分量信号的模糊函数都以原点 0 0 为中心 混合在一起 这种时频函数对各个分量信号时模糊的 然后模糊函数的所有交叉项已被都离原点比较远 可用空间滤波器滤去交叉项 再在进行二维FT 可得无干扰的WVD 2 时 频分布的统一表示形式时频分布的形式很多 但对于实际和有用的分析 通常要求对时频分布能够准确表示信号的能量分布 因此希望对时频分布具有下列性质 1 时频分布必须是实的 以便表示能量的变化 而且希望它是正的 2 时频分布在时间t和频率 两者的积分给出信号的能量 为时频分布的则 3 时频分布在时间t内的积分给出信号的谱密度 4 时频分布在频率 内的积分给出信号的瞬时功率 5 时频分布的一阶矩给出瞬时频率 t 和信号的群延迟t Cohen在1966年给出了对时 频分布的统一表示形式 WVD STFT等都可以看做是这一统一表示形式的特殊形式 核函数当 核函数不同 分别为不同的时频分布 3 时频分布的性能评价时频信号分析的大多数应用与非平稳信号的多分量抽取有关 通常希望时频信号分析具有以下功能 1 能够确定信号中存在的信号分量个数 2 能够识别信号分量与交叉项 3 能够分辨出在时频平面上相距很近的信号分量 4 能够估计信号各个分量的瞬时频率 时频分析方法的性能评价 时频聚集性和交叉项时频聚集性 描述非平稳信号的局部时频特性 亦称时频局域性 例 线性调频信号 LFM 作为衡量时频分析方法的工具信号WVD为直线分布的冲激线谱 对LFM信号WVD具有理想的时频聚集性 但对较复杂的信号 WVD就不是最佳的选择 交叉项抑制 对于任何一个多分量信号 二次型时频分布都存在交叉项 它来自多分量信号中不同信号分量的交叉作用 两类关键的滤波方法 1 模糊域滤波 在模糊域对模糊函数进行滤波 滤去交叉项 然后再由模糊函数的二维FT求WVD 2 用核函数滤波 选择具有较小交叉项的核函数 使用核函数可以看成对WVD进行滤波 应当指出 交叉项的抑制与信号的维持是一对矛盾 交叉项的减少必然会对信号项产生拉平的负面作用 5小波分析 小波分析是当前应用数学中的一个迅速发展的新领域 经过近十年的探索研究 重要的数学形式化体系已经建立 理论基础更加坚实 近几年来已被广泛应用于工程实际中 很好地解决以往用FT难以解决的问题 与FT STFT Gabor变换相比 小波变换由于其基函数发生了变化 因而是一个全新的改变 它是时间和频率的局域变换 能够有效地从信号中提取信息 通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 解决了FT不能解决的许多困难问题 即既能看到森林 信号的整体 又能看到树木 信号的细节 小波变换这一创新的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J Morlet在1984年首先提出的 短时未能得到数学家的认可 到1986年著名数学家Y Meyor偶然地构造出一个真正的小波基 并与S Mallat合作建立了构造小波基的统一方法 多尺度分析之后 小波分析才开始迅速发展起来 并从数学领域扩展到技术科学 工程 领域 小波分析的主要内容有时频窗口与Heisenberg测不准原理 小波变换 尺度函数 多分辨率分析 框架理论以及小波包 找一个基函数 代替STFT的基函数 这个基函数的时频窗口 Heisenberg测不准原理自适应性 低频大时窗 高频小时窗 4 5 1连续小波基函数小波 wavelet 即小区域的波 下图为一种波和小波 小波函数的确切定义 设为一平方可积函数 也即或写为若其傅里叶变换满足条件则称为基本小波或小波母函数 上式条件为小波函数的可容许性条件 小波函数的特点 1 小 它们在时域具有有限的函数定义域或称紧支集 或者具有近似紧之集 原则上讲 任何满足可容许性条件的空间的函数都可作为小波母函数 包括实函数 复函数 紧支集函数 正则或非正则函数等 但在一般情况下 通常选取紧支集或近似紧支集的 具有时域局部性 具有正则性德 具有频域局部性 实 或复函数作为小波母函数 以使小波母函数在时域和频域都具有好的局部特性 2 波动性 由于容许性条件 则有也即直流分量为零 或等价于因此小波具有正负交替的波动性 将小波母函数进行伸缩和平移 设其伸缩因子 又称尺度因子 为a 平移因子为 令其平移伸缩后的函数为 则有将为依赖于参数a 小波基函数 a 连续取值 为连续小波基函数 引入是为了规范化 使对所有的a 下面我们对时频窗口的变化情况进行定量分析 则时间窗口宽度 则频率窗口中心为 频率窗口宽度为 时频窗口的面积为说明连续小波基函数的窗口面积不随参数而变 几点结论 对于连续小波基函数 1 在一定意义上对于频率 对应频率 对应 也就意味着小尺度信号为短时间信号 大尺度信号为长时间信号 这与信号的自然规律想符合 2 对任何 值 和都随 的变化而变化 这与STFT中的基函数是不同的 3 对任何a 保持不变 时间 频率分辨率相互制约 不可能同时提高 由小波母函数决定 并受Heisenberg测不准原理制约 4 小波母函数在频域具有带通性 其伸缩和平移系列可以看做一组带通滤波器 若定义滤波器的品质因数 下图为不同a 值下的 当a值小时 时轴上观察范围小 而在频域上相当于用较高频率进行分析 即用高频小波做细致观察 当a较大是 时轴上考察范围大 而在频域上相当于用低频小波做概貌观察 从分辨率上来看 见下表 5 2连续小波变变换 CWT 将任意空间中的函数x t 在小波基下进行展开 即称为x t 的连续小波变换 其中a 0为尺度系数 为平移系数 若定义内积 则小波变换可表示为 内积往往被不严格地解释成卷积内积卷积区别仅在改成即首尾对调 如果是关于t 0对称的函数 则无区别 若非对称 在计算方法上也没有本质区别 也有用卷积来定义小波变换的 因此小波变换在物理意义上可解释为小波基函数为带通滤波器进行小波变换等效于进行滤波 其结果为滤波器的输出 频域表示 证明 可见 5 3与STFT的比较小波变换同傅里叶变换一样 都是一种积分变换 由于小波基不同与傅里叶基 因此小波变换与傅里叶变换有许多不同之处 小波基具有尺度a 平移 两个参数 因此 将函数在小波基下展开 就意味着将一个时间函数投影到二维的时间 尺度相平面上 并且 由于小波基本身所具有的特点 将函数投影到小波变换域后 有利于提取函数的某些本质特征 若令则连续小波变换可以看成一个STFT 但STFT的时频窗不随 的改变而改变 窗函数确定后 窗口的宽度也就确定了 取为高斯函数 当 0时 对固定频 由于只影响中的复指数因子 因此从时域上看 当取不同值时 的包络不变 只是包络下的正弦波频率改变 从频域上看 当变成时 的中心频率变成 但带宽仍保持不变 因此STFT具有恒定的时频窗口宽度 5 4连续小波变换的性质1 叠加性则2 时移性质若则 证 令则令 3 尺度转换若则证 令则令 4 内积定理其中则有式中称小波变换的内积定理 也称Moyal定理 证 有傅里叶变换的Parserval定理 能量定理 则有由小波函数定义 有 同时注意到因为由小波可容许条件 存在则有当上式可得 5 5小波变换的逆变换及对基本小波的要求小波变换区别与某些常用变换如傅里叶变换 z变换的一个特点是没有固定的基函数 但也不是任何函数都可用作小波变换的基本小波 t 任何变换都必须存在反变换才有实际意义 但反变换并不一定存在 对小波变换而言 所采用的小波必须满足容许性条件 反变换才存在 也即根据信号的小波变换系数就可以精确地恢复原信号 证明 由内积定理 令则得证 满足容许性条件的 t 可以作为基本小波 但实际上往往要求更高一些 对 t 还要施加所谓 正规性条件 以便 在频域上表现出较好的局域性能 也就是要求 要求的相应频域表示 在 0处有高阶零点 且阶次越高越好 一阶零点就是可容许性条件 即其中 n越大越好 上述两个条件称为正规性条件与傅里叶基不同 尺度和位移均连续变化的连续小波基函数构成了一组非正交的过度完全基 这意味着任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系 若用描述两个基函数和的相关度大小 则 表征了连续尺度 时移半平面 由于a 0 的两个不同点之间的CWT系数的相关关系 称为再生核和重建核 它取决于小波的选取 这也说明CWT系数有很大的冗余量 小波变换的冗余性 从节约计算量来说 它是个缺点 但我们可以利用CWT的冗余性实现去早市和数据恢复的目的 由于在半平面上各点小波变换的值是相关的 处的小波变换值可以表示成半平面上其他各处WT值的总贡献 证 由小波变换的定义和逆变换公式便可得证 由重建核方程可知 1 任意一个信号 其连续小波变换系数在小波变换相平面上都具有一定的相关关系 相关区域的大小由再生核给出 并且可以证明 随着尺度的减小 其相关区域减小 连续小波变换是一种冗余度很高的基 2 由重建核方程我们知道 任意函数的小波变换系数在域都必须满足重建核方程 因此 并不是域的任意函数都可以看做是某一函数x t 的小波变换系数 5 6几种常用的连续小波基函数1 Morlet小波单频复正弦调制高斯波复小波 其时 频域都具有很好的局部性 常用于复信号的分解及时频分析 2 Marr小波 墨西哥草帽小波 在处有二阶零点 在时 频域具有 同时 很好的局部性 3 DOG DifferenceofGaussian 小波它是两个尺度差一倍的高斯函数之差在处有二阶零点 4 Harr小波计算简单 正交 但性能不好 用于示例 5 样条小波样条函数常用于曲线拟合 使拟合的曲线不仅本身平滑 而且其导数也平滑 因此它为一低通滤波器 而不是带通函数 不能用作小波 但它能导出一组具有带通性质的小波函数 5 7离散小波变换 DWT 由连续小波变换的概念知道 在连续变换的尺度a及时间 值下 小波基函数具有很大的相关性 体现在不同点上的CWT系数满足重建核方程 因此信号x t 的CWT系数的信息量是冗余的 虽然在有些条件下 其冗余性是有益的 如去噪 数据恢复 特征提取等 但在很多情况下 我们需要考虑的是压缩数据及节约计算量 如图像数据压缩 数值计算等领域 从这个角度考虑 我们希望在不丢失原信号x t 信息的前提下 尽量减小小波变换系数的冗余度 理想情况 离散后的小波基函数满足正交完备性条件 此时无冗余度 可最大限度地压缩数据并减小计算量 但小波基函数正交性的要求与提高小波母函数的光滑性和对称性 减少小波基函数支集等方面的要求相矛盾 而小波基函数支集的减小与光滑性的提高等要求在小波应用中往往又起着重要作用 因此 可设想适当放宽正交的要求换来较小的支集与较高的光滑性与对称性等 从这负面看 非正交的离散小波变换DWT具有重要的实用意义 1 尺度与位移的离散化减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数的a 限定在一定离散点上取值 一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化 即取 m为整数 一般取 即 的离散化 当时 对 进行均匀离散取值 以覆盖整个时间轴 采样间隔 必须满足Nyquist采样定理 即采样频率大于等于该尺度下频率通带的2倍 每当m增加1 尺度a增加一倍 对应的频带减小一倍 采样频率可以降低一倍 也就是采样间隔可以增大一倍 若m 0时 的间隔为 则在尺度为时 间隔可取为 可表示为 将归一化 则任意函数x t 的DWT为a 连续变量m n离散点 两个问题 与DSP中相似 1 表征x t 的全部信息 或者说用 2 任意x t 都可表示为的线性组合 加权和 这两个问题的答案是统一的 它们建立在数学上所谓 框架理论 的基础上 5 8小波框架框架概念 线性变换如果要能用表征 则此变换应至少能满足以下条件 1 变换的唯一性 则 2 正变换的连续性 则 3 反变换的连续性 则从以上三个条件可归纳为下面的条件 满足上式得离散函数序列在数学上称为 框架 定义 基本小波满足便称构成了一个小波框架 上式称为小波框架条件 其频域表示为 小波框架的性质 1 满足小波框架条件的 其基本小波必定满足可容许条件 但并不是所有满足可容许条件的小波 在任意离散的和下都满足小波框架条件 2 框架与基的含义很相似 但要求比基更宽一些 它并不要求各线性无关 5 9DWT的逆变换 x t 的重建为一小波框架 1 当A B 1时候 是一组正交基 重建公式 2 当A B时以上两种情况称为 紧框架 3 当称为的 对偶 它也是由基本函数伸缩和平移得到 即并且有 1 也构成一个框架 其上 下界与的上下界呈倒数关系 2 当A与B比较接近时 作为一阶近似 可取则 5 10重建核方程 1 重建问题主要是求A B和对偶 如果A与B接近 则可用代替 A B的值由基本小波和离散的值决定 2 一般情况下 并不正交 甚至可能线性相关 只有当A B 1时 才是一组正交基 3 满足小波框架条件的 其基本小波必定满足可容许性条件 但并不是所有满足可容许性条件的小波 在任意离散的下都满足小波框架条件 4 离散小波变换仍然具有冗余度 除A B 1时外 当A B时 紧框架