高数二公式大全

精品文档 1欢迎下载 高等数学公式高等数学公式 导数公式 导数公式 基本积分表 基本积分表 三角函数的有理式积分 三角函数的有理式积分 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 log ln csc csc sec sec csc sec 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 arccos 1 1 arcsin x arcctgx x arctgx x x x x Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x ln ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 ln 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 精品文档 2欢迎下载 一些初等函数 一些初等函数 两个重要极限 两个重要极限 三角函数公式 三角函数公式 诱导公式 诱导公式 函 数 角 A sincostgctg sin cos tg ctg 90 cos sin ctg tg 90 cos sin ctg tg 180 sin cos tg ctg 180 sin cos tg ctg 270 cos sin ctg tg 270 cos sin ctg tg 360 sin cos tg ctg 360 sin cos tg ctg x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 1ln 1ln 2 2 2 2 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 590457182818284 2 1 1 lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 精品文档 3欢迎下载 和差角公式 和差角公式 和差化积公式 和差化积公式 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg 1 1 sinsincoscos cos sincoscossin sin 精品文档 4欢迎下载 倍角公式 倍角公式 半角公式 半角公式 cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin ctgtg 正弦定理 正弦定理 余弦定理 余弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin Cabbaccos2 222 反三角函数性质 反三角函数性质 arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin 高阶导数公式高阶导数公式 莱布尼兹 莱布尼兹 LeibnizLeibniz 公式 公式 2 1 0 1 1 2 1 nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv 中值定理与导数应用 中值定理与导数应用 拉格朗日中值定理 时 柯西中值定理就是当 柯西中值定理 拉格朗日中值定理 xx F f aFbF afbf abfafbf F 曲率 曲率 1 0 1 limM sMM 1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s 的圆 半径为 直线 点的曲率 弧长 化量 点 切线斜率的倾角变点到从平均曲率 其中弧微分公式 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg 精品文档 5欢迎下载 定积分的近似计算 定积分的近似计算 b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf 4 2 3 2 1 1312420 110 110 抛物线法 梯形法 矩形法 定积分应用相关公式 定积分应用相关公式 b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW 1 1 2 2 21 均方根 函数的平均值 为引力系数引力 水压力 功 空间解析几何和向量代数 空间解析几何和向量代数 代表平行六面体的体积 为锐角时 向量的混合积 例 线速度 两向量之间的夹角 是一个数量 轴的夹角 与是向量在轴上的投影 点的距离 空间 cos sin cos cos PrPr Pr cosPr 2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa a ja jaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u 精品文档 6欢迎下载 马鞍面 双叶双曲面 单叶双曲面 双曲面 同号 抛物面 椭球面 二次曲面 参数方程 其中空间直线的方程 面的距离 平面外任意一点到该平 截距世方程 一般方程 其中 点法式 平面的方程 1 1 3 22 2 11 13 02 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz 隐函数 隐函数 隐函数的求导公式 时 当 多元复合函数的求导法 全微分的近似计算 全微分 0 0 2 2 精品文档 7欢迎下载 1 1 1 1 0 0 yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组 微分法在几何上的应用 微分法在几何上的应用 3 0 2 1 0 0 0 0 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy 过此点的法线方程 过此点的切平面方程 过此点的法向量 则 上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为 处的法平面方程 在点 处的切线方程 在点空间曲线 方向导数与梯度 方向导数与梯度 上的投影 在是 单位向量 方向上的 为 其中 它与方向导数的关系是 的梯度 在一点函数 的转角 轴到方向为其中 的方向导数为 沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz grad sincos grad grad sincos 多元函数的极值及其求法 多元函数的极值及其求法 不确定时 值时 无极 为极小值 为极大值 时 则 令 设 0 0 0 0 0 0 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 精品文档 8欢迎下载 重积分及其应用 重积分及其应用 D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 0 0 0 1 sin cos 其中 的引力 轴上质点平面 对平面薄片 位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量 平面薄片的重心 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标 柱面坐标和球面坐标 dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r 1 1 1 sin sin sinsin cos sinsin cossin sin cos sin cos 222222 2 00 0 22 2 转动惯量 其中 重心 球面坐标 其中 柱面坐标 曲线积分 曲线积分 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L 特殊情况 则 的参数方程为 上连续 在设 长的曲线积分 第一类曲线积分 对弧 精品文档 9欢迎下载 通常设 的全微分 其中 才是二元函数时 在 二元函数的全微分求积 注意方向相反 减去对此奇点的积分 应 注意奇点 如 且内具有一阶连续偏导数在 是一个单连通区域 无关的条件 平面上曲线积分与路径 的面积 时 得到 即 当 格林公式 格林公式 的方向角 上积分起止点处切向量 分别为和 其中系 两类曲线积分之间的关 则 的参数方程为设 标的曲线积分 第二类曲线积分 对坐 0 0 0 2 1 2 1 2 coscos 00 00 yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x Q GyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x Q xQyP QdyPdxdxdy y P x Q QdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx DL DLDL LL L 曲面积分 曲面积分 dsRQPRdxdyQdzdxPdydz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx coscoscos 1 22 系 两类曲面积分之间的关 号 取曲面的右侧时取正 号 取曲面的前侧时取正 号 取曲面的上侧时取正 其中 对坐标的曲面积分 对面积的曲面积分 高斯公式 高斯公式 精品文档 10欢迎下载 dsAdvA dsRQPdsAdsnA z R y Q x P dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P n n div coscoscos 0div div coscoscos 成 因此 高斯公式又可写 通量 则为消失的流体质量 若即 单位体积内所产生散度 通量与散度 高斯公式的物理意义 斯托克斯公式斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系 曲线积分与曲面积分的关系 dstARdzQdyPdxA RQP zyx A y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R 的环流量 沿有向闭曲线向量场 旋度 关的条件 空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成 kji rot coscoscos 常数项级数 常数项级数 是发散的调和级数 等差数列 等比数列 n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 1 321 1 1 1 12 级数审敛法 级数审敛法 精品文档 11欢迎下载 散 存在 则收敛 否则发 定义法 时 不确定 时 级数发散 时 级数收敛 则设 比值审敛法 时 不确定 时 级数发散 时 级数收敛 则设 别法 根植审敛法 柯西判 正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u lim 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 的绝对值其余项 那么级数收敛且其和如果交错级数满足 莱布尼兹定理 的审敛法或交错级数 11 1 3214321 0lim 0 nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 时收敛 时发散 级数 收敛 级数 收敛 发散 而调和级数 为条件收敛级数 收敛 则称发散 而如果 收敛级数 肯定收敛 且称为绝对收敛 则如果 为任意实数 其中 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级数 幂级数 精品文档 12欢迎下载 0 0 1 0 3 lim 3 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时 时 时 的系数 则是 其中求收敛半径的方法 设 称为收敛半径 其中 时不定 时发散 时收敛 使在数轴上都收敛 则必存 收敛 也不是在全 如果它不是仅在原点 对于级数 时 发散 时 收敛于 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf 0 2 0 0 0 0 0lim 1 2 2 0 1 0 1 0 0 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式 充要条件是 可以展开成泰勒级数的余项 函数展开成泰勒级数 一些函数展开成幂级数 一些函数展开成幂级数 12 1 5 3 sin 11 1 1 2 1 1 1 12 1 53 2 x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 欧拉公式 欧拉公式 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 三角级数 三角级数 上的积分 在任意两个不同项的乘积正交性 其中 0 cos sin2cos 2sin cos sin 1 cossin sincos 2 sin 00 1 0 1 0 nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxa a tnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数 傅立叶级数 精品文档 13欢迎下载 是偶函数 余弦级数 是奇函数 正弦级数 相减 相加 其中 周期 nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos 2 2 1 0cos 2 0 sin 3 2 1nsin 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 3 2 1 sin 1 2 1 0 cos 1 2 sincos 2 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0 周期为周期为的周期函数的傅立叶级数 的周期函数的傅立叶级数 l 2 精品文档 14欢迎下载 l l n l l n n nn ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a l l xn b l xn a a xf 3 2 1 sin 1 2 1 0 cos 1 2 sincos 2 1 0 其中 周期 微分方程的相关概念 微分方程的相关概念 即得齐次方程通解 代替分离变量 积分后将 则设 的函数 解法 即写成程可以写成齐次方程 一阶微分方 称为隐式通解 得 的形式 解法 为 一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程 u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy 0 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程 1 0 2 0 0 1 nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP 贝努力方程 时 为非齐次方程 当 为齐次方程 时当 一阶线性微分方程 全微分方程 全微分方程 通解 应该是该全微分方程的 其中 分方程 即 中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y u yxP x u dyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP 0 0 二阶微分方程 二阶微分方程 时为非齐次 时为齐次 0 0 2 2 xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 21 22 2 0 1 0 rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根 求出 的系数 式中的系数及常数项恰好是 其中 写出特征方程 求解步骤 为常数 其中 精品文档 15欢迎下载 式的通解 出的不同情况 按下表写 根据 3 21 rr 的形式 21 rr 式的通解 两个不相等实根 04 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根 04 2 qp xr exccy 1 21 一对共轭复根 04 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir sincos 21 xcxcey x 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数 型 为常数 sin cos xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x 一 原函数与不定积分概念 微积分学主要包含两大内容 微分学与积分学 主要工具是极限思想方法 单元二和单元三 就是微分学及其应用 本单元是积分学中的不定积分 是求导数的逆过程 例如 如果已知 运动的速度规律 v v t 要求运动的位移规律 s s t 又如 已知函数 的变化率为 y f x 要求原来的函数 y F x 这都是求不定积分问题 定义定义 1 1 设函数 y f x 在某个区间上有定义 如果存在函数 y F x 对于 该区间上任一点 x 使得 F x f x 或 d F x f x dx 成立 则称 F x 是 f x 在该区间上的一个原函数 primitive function 例如 1 上的一个原函数 2 上的一个原函数 3 上的一个原 函数 精品文档 16欢迎下载 4 上的一个原函数 5 上的一个原函数 一般地说 由于常数的导数为 0 如果 F x 是 f x 的一个原函数 那么 F x C 也都是 f x 的原函数