空间直角坐标系与空间向量典型例题

精品文档 1欢迎下载 空间直角坐标系与空间向量 一 建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则 遵循对称性 尽可能多的让点落在坐标轴上 作法 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系 类型举例如下 类型举例如下 一 用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 一 用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例 1 已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2 底面ABCD是直角梯形 A为直 角 AB CD AB 4 AD 2 DC 1 求异面直线BC1与DC所成角的余弦值 解析 如图 1 以D为坐标原点 分别以DA DC DD1所在直线为x y z轴建立 空间直角坐标系 则C1 1 2 B 2 4 1 23 2 BC 010 CD 设与所成的角为 1 BC CD 则 1 1 3 17 cos 17 BC CD BC CD A 二 利用线面垂直关系构建直角坐标系 二 利用线面垂直关系构建直角坐标系 例 2 如图 2 在三棱柱ABC A1B1C1中 AB 侧面BB1C1C E为棱CC1上异于C C1的 一点 EA EB1 已知 BB1 2 BC 1 BCC1 求二面角2AB 3 A EB1 A1的平面角的正切值 解析 如图 2 以B为原点 分别以BB1 BA所在直线为y轴 z轴 过B点垂直 于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系 由于BC 1 BB1 2 AB BCC1 2 3 在三棱柱ABC A1B1C1中 有B A B1 2 2 设且 31 0 22 c 1 3 3 0 22 C 3 0 2 Ea 13 22 a 精品文档 2欢迎下载 由EA EB1 得 1 0EA EB A 即 33 220 22 aa A 2 33 2 20 44 a aaa 13 0 22 aa A 即或 舍去 故 1 2 a 3 2 a 3 1 0 22 E 由已知有 故二面角A EB1 A1的平面角的大小为向量与的夹角 1 EAEB 111 B AEB 11 B A EA 因 11 0 02 B ABA 31 2 22 EA 故 即 11 11 2 cos 3 EA B A EA B A A 2 tan 2 三 利用面面垂直关系构建直角坐标系 三 利用面面垂直关系构建直角坐标系 例 3 如图 3 在四棱锥V ABCD中 底面ABCD是正方形 侧面VAD是正三角形 平面VAD 底面ABCD 1 证明AB 平面VAD 2 求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值 解析 1 取AD的中点O为原点 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 设AD 2 则A 1 D 1 B 1 2 V 3 2 1 AB VA 3 由 得 0 2 0 103 0AB VA AA AB VA 又AB AD 从而AB与平面VAD内两条相交直线VA AD都垂直 AB 平面VAD 2 设E为DV的中点 则 13 0 22 E 精品文档 3欢迎下载 33 0 22 EA 33 2 22 EB 103 DV 33 2 103 0 22 EB DV AA EB DV 又EA DV 因此 AEB是所求二面角的平面角 21 cos 7 EA EB EAEB EA EB A 故所求二面角的余弦值为 21 7 四 利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 四 利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 例 4 已知正四棱锥V ABCD中 E为VC中点 正四棱锥底面边长为 2a 高为h 1 求 DEB的余弦值 2 若BE VC 求 DEB的余弦值 解析 1 如图 4 以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系 其中 Ox BC Oy AB 则由AB 2a OV h 有B a a C a a D a a V 0 0 h 2 2 2 a a h E 3 22 2 a h BEa 3 2 22 ah DEa 22 22 6 cos 10 BE DEah BE DE ah BE DE A 即 22 22 6 cos 10 ah DEB ah 2 因为E是VC的中点 又BE VC 所以 即 0BE VC A 3 0 22 2 a h aaah A 精品文档 4欢迎下载 22 2 3 0 222 ah a 2ha 这时 即 22 22 61 cos 103 ah BE DE ah 1 cos 3 DEB 引入空间向量坐标运算 使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析 只需建立空间直角坐标 系进行向量运算 而如何建立恰当的坐标系 成为用向量解题的关键步骤之一 下面以高考考题为例 剖析建 立空间直角坐标系的三条途径 五 利用图形中的对称关系建立坐标系 五 利用图形中的对称关系建立坐标系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线 但有一定对称关系 如正三棱柱 正四棱柱等 利用自身对称性可 建立空间直角坐标系 例 5 已知两个正四棱锥P ABCD与Q ABCD的高都为 2 AB 4 1 证明 PQ 平面ABCD 2 求异面直线AQ与PB所成的角 3 求点P到面QAD的距离 简解 1 略 2 由题设知 ABCD是正方形 且AC BD 由 1 PQ 平面ABCD 故可分 别以直线为x y z轴建立空间直角坐标系 如图 1 易得CADBQP 2 2 02 0 2 22 AQPB 1 cos 3 AQ PB AQ PB AQ PB A 所求异面直线所成的角是 1 arccos 3 3 由 2 知 点设n n x y z 是平面QAD的一个法 02 2 0 2 22 2 0 0 04 DADPQ 向量 则得取x 1 得 点P到平面QAD的距离 0 0 AQ AD A A n n 20 0 xz xy 112 n 2 2 PQ d An n 点评 利用图形所具备的对称性 建立空间直角坐标系后 相关点与向量的坐标应容易得出 第 3 问也 可用 等体积法 求距离 精品文档 5欢迎下载 二 向量法解立体几何二 向量法解立体几何 1 1 知识点知识点 向量的数量积和坐标运算向量的数量积和坐标运算 是两个非零向量 它们的夹角为 则数叫做与的数量积 或内积 记作ba cos baab 即 其几何意义是的长度与在的方向上的投影的乘积 其坐标运算是 ba cos babaaba 若 则 222111 zyxbzyxa 212121 zzyyxxba 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 zyxbzyxa 212121 zzyyxxba 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos zyxzyx zzyyxx ba 2 例题讲解 题型 求角度相关 1 1 异面直线异面直线所成的角所成的角nm 分别在直线上取定向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其nm ba nm ba 补角 如图 1 所示 则 cos ba ba 2 2 直线直线与平面与平面所成的角所成的角L 在上取定 求平面的法向量 如图 2 所示 再求LAB n 则为所求的角 cos nAB nAB 2 3 3 二面角二面角 C n 图1 D A B n m a b n B A L 图 2 精品文档 6欢迎下载 方法一 构造二面角的两个半平面的法向量 都取向上的 l 21 nn 方向 如图 3 所示 则 若二面角是 钝角型 的如图 3 甲所示 那么其大小等于两法向量 l 21 nn 的夹角的补角 即 cos 21 21 nn nn 若二面 角是 锐角型 的如图 3 乙所示 那么其大小等于两法向量 l 的夹 21 nn 角 即 cos 21 21 nn nn 方法二 在二面角的棱 上确定两个点 过分别在平面内求lBA BA 出与 垂直的向量 如图 4 所示 则二面角的大小等于向量l 21 nn l 的夹角 即 21 nn cos 21 21 nn nn 题型 求距离相关 1 1 异面直线异面直线的距离的距离nm 分别在直线上取定向量求与向量都垂直的向量 分别在nm ba ba n 上各取一个定点 则异面直线的距离等于在上的nm BA nm dABn 射影长 即 n nAB d 证明 设为公垂线段 取 CDbDBaCA nABnCD nBDABCAnCD BDABCACD n nAB CDd 设直线所成的角为 显然nm cos ba ba 1 n 2 n 图 3 乙 l 1 n 2 n l 图3甲 1 n 2 n l 图4 B A C n 图1 D A B n m a b A p n 精品文档 7欢迎下载 2 2 平面外一点平面外一点到平面到平面的距离的距离p 求平面的法向量 在面内任取一定点 点到平面的距离等于在上的射影长 即 nAp dAPn n nAP d 图5 精品文档 8欢迎下载 三 法向量 例题解析 题型 求空间角 1 运用法向量求直线和平面所成角运用法向量求直线和平面所成角 设平面 的法向量为 x y 1 则直线 AB 和平面 所成的角 的正弦值为n sin sin cos 2 cos AB n AB AB n n 2 运用法向量求二面角运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为 则或 是所求角 这时要借助图形来判断所求角 12 n n 12 n n 12 n n 为锐角还是钝角 来决定是所求 还是 是所求角 12 n n 12 n n 题型 求空间距离 1 1 求两条异面直线间的距离 求两条异面直线间的距离 设异面直线 a b 的公共法向量为 在 a b 上任取一点 A B 则 nx y z 异面直线 a b 的距离 d AB cos BAA AB n n 略证 如图 EF 为 a b 的公垂线段 a 为过 F 与 a 平行的直线 在 a b 上任取一点 A B 过 A 作 AA EF 交 a 于 A 精品文档 9欢迎下载 则 AAn 所以 BAA 或其补角 BA n 异面直线 a b 的距离 d AB cos BAA AB n n 其中 的坐标可利用 a b 上的任一向量 或图中的 及的定义得n a b AE BF n 0 0 nan a nbn b 解方程组可得 n 2 2 求点到面的距离 求点到面的距离 求 A 点到平面 的距离 设平面 的法向量法为 在 内任取一点 B 则 A 点到平面 的 1 nx y 距离 d AB n n 的坐标由与平面 内的两个不共线向量的垂直关系 得到方程组 类似于前面所述 若方程组无解 n n 则法向量与 XOY 平面平行 此时可改设 下同 1 0 ny 3 3 求直线到与直线平行的平面的距离 求直线到与直线平行的平面的距离 求直线 a 到平面 的距离 设平面 的法向量法为 在直线 a 上任取一点 A 在平面 内 1 nx y 任取一点 B 则直线 a 到平面 的距离 d AB n n 4 4 求两平行平面的距离 求两平行平面的距离 设两个平行设平面