数学空间向量公式大全

精品文档 1欢迎下载 空间向量知识点空间向量知识点 空间向量的有关概念和公式空间向量的有关概念和公式 空间向量与平面向量的概念与性质相似 只是由二维平面拓展到三维空间概念 如果一个向量所在直线垂直于一个平面 则该向量是这个平面的一个法向量 坐标 表示 OA 111 ax y z OB 222 bxyz 212121 ABxx yy zz ABBA 运算 则 121212 abxxyyzz 121212 abxxyyzz 111 axyzR 12121 2 cos a ba ba bx xy yz z 定比 分点 公式 设点P分有向线段所成的比为 即 1 PP 2 PP 12 1 xx x 12 1 yy y 12 1 zz z 1R 且 中点公式 12 2 xx x 12 2 yy y 12 2 zz z 三角形重心公式 123 3 xxx x 123 3 yyy y 123 3 zzz z 模 则 111 A x y z 222 B xyz 212121 ABxx yy zz AB 2 21 2 21 2 21 zzyyxx a x y z a 222 xyz 2 a 2 a a a 平行 112233 abab ab abR 或 1 2 x x 1 2 y y 1 2 z z 垂直 1 12233 0abx xy yz z 0 0ab 夹角 cos a b a b 1 12233 222222 111222 x xy yz z xyzxyz 建立空间直角坐标系常用方法 建立空间直角坐标系常用方法 1 1 底面是正方形 常以底面两条邻 底面是正方形 常以底面两条邻 边为边为 轴 轴 轴 轴 2 2 底面是菱形 常以底面两条对角线为 底面是菱形 常以底面两条对角线为 轴 轴 轴 轴 xyxy 3 3 底面是等腰三角形 常以底边及底边上的高为 底面是等腰三角形 常以底边及底边上的高为 轴 轴 轴 轴 4 4 底面 底面xy 为平行四边形 常以一条边为为平行四边形 常以一条边为 轴 并作一条与这一条边垂直的直线作轴 并作一条与这一条边垂直的直线作x 为为轴 轴 y 精品文档 2欢迎下载 n C B A n BA n2 11 11 1 n1 11 11 1 O P a F b E n n P O A 空间向量的应用 空间向量的应用 1 1 方法分类方法分类图形图形 1 1 求平面 求平面的法向量的法向量 若 111 zyxAB 222 zyxAC AABAC 是平面的法向量 zyxnACAB 设 则 0 0 0 0 222 111 zzyyxx zzyyxx ACn ABn 取 得到其中的一组解 0 xx 000 zyxn 而常取简单整数 000 zyx 2 2 证明线面平行 证明线面平行 设是平面的法向量 则 n AB 0 nABAB 3 3 证明面面垂直 证明面面垂直 设分别是平面的法向量 则 21 n n 0 21 nn 4 4 求两条异面直线间的距离 求两条异面直线间的距离 先求两条异面直线的一个公共法向量 再求两条异面直线 上两点的连结线段在公共法向量上的射影长设 是异a b 面直线 是 的公共法向量 点 则n a b bFaE 异面直线 之间的距离a b n nEF d 5 5 求点到平面的距离 求点到平面的距离 设为平面外一点 点为平面内的任一点 平面P A 的法向量为 过点作平面的垂线 记 n P PO 则点到平面的距离 OPAP n PAn PAn PAn PAPAPOd cos 因此 点到平面的距离 P n PAn d 精品文档 3欢迎下载 A D B C n P OA n2 n1 n1 A C D B 空间向量的应用 空间向量的应用 2 2 方法图形 6 6 求直线和直线所成的角 求直线和直线所成的角 若直线所成的角是 CDAB CDAB CDAB CDAB coscos 7 7 求直线和平面所成的角 求直线和平面所成的角 已知为平面的一条斜线 为平面的一个法向PA n 量 过作平面的垂线 连结 则为P POOAPAO 斜线和平面所成的角 记为 易得PA PAn PAn APnAPOP cos cossin 8 8 已知两平面的法向量 已知两平面的法向量 求二面角的大小求二面角的大小 在二面角中 和分别为平面和的法 l 1 n 2 n 向量 若二面角的大小为 则 l 21 21 21 coscos nn nn nn 依据两平面法向量的方向或实际图形 来确定是锐角 或是钝角 8 8 已知二面角棱的两垂线 已知二面角棱的两垂线 求二面角的大小求二面角的大小 在二面角内 l CDlABAB 设为二面角的大小 则 lCD