高数在经济学中的应用

精品文档 1欢迎下载 高等数学高等数学 知识在经济学中的应用举例知识在经济学中的应用举例 由于现代化生产发展的需要 经济学中定量分析有了长足的进步 数学的一些分支如 数学分析 线性代数 概率统计 微分方程等等已进入经济学 出现了数理统计学 经济 计量学 经济控制论等新分支 这些新分支通常成为数量经济学 数量经济学的目的在于 探索客观经济过程的数量规律 以便用来知道客观经济实践 应用数量经济学研究客观经 济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型 这里 我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用 1 复利与贴现问题 1 复利公式 货币所有者 债权人 因贷出货币而从借款人 债务人 手中所得之报酬称为利息 利息以 期 即单位时间 一般以一年或一月为期 进行结算 在这一期内利息总额与贷 款额 又称本金 之比 成为利息率 简称利率 通常利率用百分数表示 如果在贷款的全部期限内 煤气结算利息 都只用初始本金按规定利率计算 这种计 息方法叫单利 在结算利息时 如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金 并以此和为下一期计算利息的新本金 这就是所谓的复利 通俗说法就是 利滚利 下面推出按福利计息方法的复利公式 现有本金 A0 年利率 r p 若以复利计息 t 年末 A0将增值到 At 试计算 At 若以年为一期计算利息 一年末的本利和为 A1 A0 1 r 二年末的本利和为 A2 A0 1 r A0 1 r r A0 1 r 2 类推 t 年末的本利和为 At A0 1 r t 1 若把一年均分成 m 期计算利息 这时 每期利率可以认为是 容易推得 r m 2 0 1 mt t r AA m 公式 1 和 2 是按离散情况 计息的 期 是确定的时间间隔 因而计息次数 有限 推得的计算 At的复利公式 若计息的 期 的时间间隔无限缩短 从而计息次数 这时 由于m 000 lim 1 lim 1 m mtrtrt r mm rr AAA e mm 所以 若以连续复利计算利息 其复利公式是 0 rt t AA e 例例 1 1 A0 100 元 r 8 t 1 则 精品文档 2欢迎下载 一年计息 1 期 1 100 10 08 108 A 元 一年计息 2 期 2 1 0 08 100 1 108 16 2 A 元 一年计息 4 期 4 1 0 08 100 1 108 243 4 A 元 一年计息 12 期 12 1 0 08 100 1 108 300 12 A 元 一年计息 100 期 100 1 0 08 100 1 108 325 100 A 元 连续复利计息 0 08 1 100108 329 Ae 元 2 2 实利率与虚利率 实利率与虚利率 由例 1 知 年利率相同 而一年计息期数不同时 一年所得之利息也不同 当年利率 为 8 一年计息 1 期 确实按 8 计算利息 一年计息 2 期 实际上所得利息是按 8 16 计算的结果 一年计息 4 期 实际上所得利息是按 8 243 计算 一年计息 12 期 实际上是按 8 3 计算 一年计息 100 次 实际所得利息是按 8 325 计算利息 这样 对于年期以下的复利 我们称年利率 8 为虚利率或名义利率 而实际计算利 息之利率称为实利率 如 8 16 为一年复利 2 期的实利率 8 3 为一年复利 12 期的实利 率 8 329 为一年连续复利的实利率 记 r 为名义年利率 rm为一年计息 m 期的实利率 本金 A0 按名义利率一年计息 m 期 一年末将增值到 A0 1 m 按实利率计息 一年末将增值到 A0 1 rm 于是 有 r m 1 rm 1 m 即是离散情况下实利率与虚利率之间的关系式 r m 1 1 m m r r m 若记 rm为连续复利的实利率 由于 lim 1 m r m r e m 所以 实利率与虚利率之间的关系为 1 r m re 3 3 数 数 e e 的经济解释的经济解释 设年利率为 100 连续复利计息 一元本金到年末的本利和为 1 1 lim元e m m m 这就是说 按名义利率 100 连续复利计息 一元本金年末将增长到 e 元 这可作为 数 e 的经济解释 精品文档 3欢迎下载 由于 所以 这是的实利率大约为 172 71828 2 e 4 4 贴现问题 贴现问题 我们已经知道 初时本金 A0 年利率 r t 年末的本利和 At 以年为期的复利公式是 一年均分为 m 期的复利公式是 连续复利公式是 t t rAA 1 0 mt t m r AA 1 0 rt t eAA 0 若称 A0为现在之 At为未来值 一只现在值求未来值是复利问题 与此相反 若已知 未来值 At求现在值 A0 则称贴现问题 这时利率 r 称为贴现率 由复利公式 容易推得 离散的贴现公式为 t t rAA 1 0 mt t m r AA 1 0 连续的贴现公式为 rt te AA 0 例例 2 2 设年利率为 6 5 按连续复利计算 现投资多少元 16 年之末可得 1200 元 这里 贴现率 r 6 5 未来值 At 1200 t 16 所以 现在值 元 15 424 8292 2 12001200 1200 04 1 16065 0 0 e eeAA rt t 增长率增长率 设变量 y 是时间 t 的函数 y f t 则比值 tf tfttf 为函数 f t 在时间区间上的相对改变量 如果 f t 可微 则定义极限 ttt lim 0 tf tf tft tfttf t 为函数 f t 在时间点 t 的瞬时增长率 对指数函数而言 由于 因此 该函数在任何时间点 rt eAy 0 r eA reA y dtdy rt rt 0 0 t 上都以常数比率 r 增长 这样 关系式 rt t eAA 0 精品文档 4欢迎下载 就不仅可作为复利公式 在经济学中还有广泛的应用 如企业的资金 投资 国民收入 人口 劳动力等这些变量都是时间 t 的函数 若这些变量在一个较长的时间内以常数比率 增长 都可以用 式来描述 因此 指数函数中的 r 在经济学中就一般的解 rt eA0 释为在任意时刻点 t 的增长率 如果当函数中的 r 取负值时 也认为是瞬时增长率 这是负增长 这时也称 r rt eA0 为衰减率 贴现问题就是负增长 例例 3 3 某国现有劳动力两千万 预计在今后的 50 年内劳动力每年增长 2 问按预计在 2056 年将有多少劳动力 由于未来值 A0 2000 r 0 02 t 50 所以 50 年后将有劳动力 万 56 543671828 2 20002000 5002 0 50 eA 例例 4 4 某机械设备折旧率为每年 5 问连续折旧多少年 其价值是原价值的一半 若原价值为 A0 经 t 年后 价值为 这里 r 0 05 由 若取 0 2 1 A t eAA 05 0 00 2 1 易算出 t 13 86 年 即大约经过 13 86 年 机械设备的价值是原价值的6931 02ln 一半 2 2 级数应用举例级数应用举例 1 1 银行通过存款和放款 银行通过存款和放款 创造创造 货币问题货币问题 商业银行吸收存款后 必须按照法定的比率保留规定数额的法定准备金 其余部分才 能用作放款 得到一笔贷款的企业把它作为活期存款 存入另一家银行 这银行也按比率 保留法定准备金 其余部分作为放款 如此继续下去 这就是银行通过存款和放款 创造 货币 设 R 表示最初存款 D 表示存款总额 即最初存款 创造 的货币总额 r 表示法定 准备金占存款的比例 ru 每单位时间内净增加存货为 P u 到时刻 t1终了库存出现一个顶点 这时 库存量为 t1 P u 由于经历时间 t1到货总量为 Q 因此 从而最大库存量为 1 Q t P 精品文档 11欢迎下载 1 Qu PuQ PP 这种库存模型的库存水平变动情况如图 3 所示 T 时间 图 3 Q 库存水平 O ttt t1 P u 平均库存水平 t1t1t1 这样 在一个计划期内 平均库存量应为最大库存量之半 因而库存费为 1 1 2 C Qu P 本问题中 因为生产准备费或订购费与 成批到货 不许短缺 库存模型一样 因此 存货总费用 E 与每批数量 Q 的函数关系 即目标函数是 12 1 0 5 2 C QuC D EE QxD PQ 为决策变量 Q 由极值的必要条件和充分条件 容易算得 经济批量 2 1 21 6 1 DC Q Cu P 这时 库存总费用的最小值 12 11 7 u EDC C P 最优批量 Q 的表达式 6 也可由下式得到 12 1 2 C QuC D PQ 例例 2 2 同例 1 但产品陆续存入仓库 每月到货 200 台 试确定经济批量和最佳费用 解 已知条件是 12 10001605000 DCCPu 1000 台 台 元 200台 月 台月 12 由 5 6 7 可得经济批量为 327 3 台 这时最佳费用为 30550 元 精品文档 12欢迎下载 三 三 成批到货 允许短缺的模型成批到货 允许短缺的模型 前面讨论的两个库存模型是不允许缺货 允许缺货是指 缺货时未能满足的需求 在 下一批货物到货时要予以满足 而且缺货时的需求直接输出而不经过库存 其它情况同模 型一 如果缺货带来的损失很小 且不会因暂时缺货而失去销售机会 缺货现象是允许存 在的 允许缺货情况 库存水平变动情况见图 4 图中的 t 是一个存贮循环延续时间 从前 一批到货至库存量减少为 0 的时间为 t1 从库存是 0 至下一批货物到达的时间为 t2 Q 库存水平 批量 Q O t2 tt 最高库存水平 T 时间 图 4 t2t1t1 B Q B 这里尚需补充假设 B 库存得到补充之前的允许缺货量 C3 在一个计划期内 缺一件产品的损失费 需要注意的是每批投产或每次订购的数量 Q 包括了最大的允许缺货量 B 本库存模型中 生产准备费与订购费与前面模型相同 2 C D Q 库存费 因有货时间 t1占一个存贮循环时间的比率为 所以 在一个机会期内 有 1 t t 货时间所占比率也为 有货时 最大库存量为 Q B 从而平均库存量为 由图 4 1 t t2 QB 中 相似三角形易知 1 tQB tQ 因此 在一个计划期内 库存费为 精品文档 13欢迎下载 2 111 22 tC QBC QB tQ 缺货费 在缺货时间 t2占一个存贮循环时间的比率为 在一个计划期内 缺货总 2 t t 时间所占比例也为 最大缺货量为 B 因此 平均缺货量为 由图 4 的相似三角形得 2 t t2 B 知 因此 在一个计划期内 缺货量为 2 tB tQ 2 323 22 C B tC B tQ 综上 在一个计划期内 库存总费用 22 213 8 22 C DC QBC B E QQQ 或写作 2 2113 1 8 22 C DC QCC B EC B QQ 这是该问题的目标函数 现在的问题是决策两个变量 Q 和 B 以使目标函数取极小值 根据 8 式 由二元函数极值存在的必要条件 有 2 2113 22 113 0 22 0 EC DCCC B QQQ EB CCC BQ 解该方程组 可得 213 13 2 9 DCCC Q CC 121 13313 2 10 CDCC BQ CCCCC 可以验证极值存在的充分条件满足 2 2 0 QB E Q 222 2 22 0 QB EEE Q BQB 因此 将代入 8 式 可得存货总费用的最小值 QQBB 3 12 13 2 11 C EDC C CC 比较 9 式和 3 式 如果缺一件产品的损失费 C3为无穷大 因 3 13 3 lim1 C CC C 精品文档 14欢迎下载 则 9 式就是 3 式 这表明 不允许缺货可视为缺货损失为无穷大的情况 此式 又 因 由 10 式知 恰有缺货量 B 0 3 1 13 lim0 C C CC 例例 3 3 某厂 一年劳动日为 300 天 生产率 单位时间内的产量 固定 一年可组装机 床 1500 台 若组装一台机床的零部件价值 14400 元 而一年的保管费为其价值的 22 因缺零部件而停工 少装一台机床的损失费为零部件价值的 50 又每次订购零部件的手 续费为 7500 元 为使一年存货总费用最小 试就下列各种情况决策最优批量和允许缺货量 如果允许缺货的话 并计算最佳费用 1 1 不管每次订购数量为多少 都可立即到货 不允许停工待料 2 2 若订货后 每天可到货 30 台机床的零部件 不允许停工待料 3 3 不管每次订货多少 都可立即到货 允许停工待料 但缺料时未完成的任务 当到货后 可不占劳动日就能完成 解 由题设知 123 150014400 22 3168750014400 50 7200 DCCC Pu 台 元 元元 1500 30台 天 5台天 300 1 1 这是成批到货 不许缺货的情况 目标函数为 31681500 7500 2 EE QQ Q 由 2 式得最优批量 84 27 可取 Q 84 台 由目标函数可得最佳费用 E 266985 元 2 2 这是陆续到货 不许短缺的情况 目标函数为 316851500 7500 1 230 Q EE Q Q 由 6 式得最优批量 92 3 取 Q 92 台 最佳费用 E 243723 元 下面 比较成批到货和陆续到货两种情况 成批到货陆续到货 最优批量 最大库存水平 一年订购次数 一年总费用 Q 84 Q 84 N 18 实为 17 85 E 266985 Q 92 Q 77 N 17 实为 16 3 E 2