26.1二次函数

第 1 页 共 38 页 2017 0601 二次函数选择题二次函数选择题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 29 小题 小题 1 2016 达州 如图 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴交于点 A 1 0 与 y 轴的交点 B 在 0 2 和 0 1 之间 不包括这两点 对 称轴为直线 x 1 下列结论 abc 0 4a 2b c 0 4ac b2 8a a b c 其中含所有正确结论的选项是 A B C D 分析 根据对称轴为直线 x 1 及图象开口向下可判断出 a b c 的符号 从 而判断 根据对称轴得到函数图象经过 3 0 则得 的判断 根据图象经 过 1 0 可得到 a b c 之间的关系 从而对 作判断 从图象与 y 轴的 交点 B 在 0 2 和 0 1 之间可以判断 c 的大小得出 的正误 解答 解 函数开口方向向上 a 0 对称轴在 y 轴右侧 第 2 页 共 38 页 ab 异号 抛物线与 y 轴交点在 y 轴负半轴 c 0 abc 0 故 正确 图象与 x 轴交于点 A 1 0 对称轴为直线 x 1 图象与 x 轴的另一个交点为 3 0 当 x 2 时 y 0 4a 2b c 0 故 错误 图象与 x 轴交于点 A 1 0 当 x 1 时 y 1 2a b 1 c 0 a b c 0 即 a b c c b a 对称轴为直线 x 1 1 即 b 2a c b a 2a a 3a 4ac b2 4 a 3a 2a 2 16a2 0 8a 0 4ac b2 8a 故 正确 图象与 y 轴的交点 B 在 0 2 和 0 1 之间 2 c 1 2 3a 1 a 第 3 页 共 38 页 故 正确 a 0 b c 0 即 b c 故 正确 故选 D 点评 主要考查图象与二次函数系数之间的关系 解题关键是注意掌握数形 结合思想的应用 2 2016 枣庄 如图 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 给 出以下四个结论 abc 0 a b c 0 a b 4ac b2 0 其中正确的结 论有 A 1 个B 2 个C 3 个 D 4 个 分析 首先根据二次函数 y ax2 bx c 的图象经过原点 可得 c 0 所以 abc 0 然后根据 x 1 时 y 0 可得 a b c 0 再根据图象开口向下 可得 a 0 图象的对称轴为 x 可得 b 0 所以 b 3a a b 最后根 据二次函数 y ax2 bx c 图象与 x 轴有两个交点 可得 0 所以 b2 4ac 0 4ac b2 0 据此解答即可 解答 解 二次函数 y ax2 bx c 图象经过原点 c 0 abc 0 正确 x 1 时 y 0 第 4 页 共 38 页 a b c 0 不正确 抛物线开口向下 a 0 抛物线的对称轴是 x b 0 b 3a 又 a 0 b 0 a b 正确 二次函数 y ax2 bx c 图象与 x 轴有两个交点 0 b2 4ac 0 4ac b2 0 正确 综上 可得 正确结论有 3 个 故选 C 点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系 要熟练掌握 解答此 题的关键是要明确 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 当 a 0 时 抛物线向上开口 当 a 0 时 抛物线向下开口 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴左 当 a 与 b 异号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴右 简称 左同右异 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于 0 c 3 2016 随州 二次函数 y ax2 bx c a 0 的部分图象如图所示 图象过点 1 0 对称轴为直线 x 2 下列结论 1 4a b 0 2 第 5 页 共 38 页 9a c 3b 3 8a 7b 2c 0 4 若点 A 3 y1 点 B y2 点 C y3 在该函数图象上 则 y1 y3 y2 5 若方程 a x 1 x 5 3 的两 根为 x1和 x2 且 x1 x2 则 x1 1 5 x2 其中正确的结论有 A 2 个B 3 个C 4 个 D 5 个 分析 1 正确 根据对称轴公式计算即可 2 错误 利用 x 3 时 y 0 即可判断 3 正确 由图象可知抛物线经过 1 0 和 5 0 列出方程组求出 a b 即可判断 4 错误 利用函数图象即可判断 5 正确 利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题 解答 解 1 正确 2 4a b 0 故正确 2 错误 x 3 时 y 0 9a 3b c 0 9a c 3b 故 2 错误 3 正确 由图象可知抛物线经过 1 0 和 5 0 解得 8a 7b 2c 8a 28a 10a 30a a 0 第 6 页 共 38 页 8a 7b 2c 0 故 3 正确 4 错误 点 A 3 y1 点 B y2 点 C y3 2 2 点 C 离对称轴的距离近 y3 y2 a 0 3 2 y1 y2 y1 y2 y3 故 4 错误 5 正确 a 0 x 1 x 5 3 a 0 即 x 1 x 5 0 故 x 1 或 x 5 故 5 正确 正确的有三个 故选 B 点评 本题考查二次函数与系数关系 灵活掌握二次函数的性质是解决问题 的关键 学会利用图象信息解决问题 属于中考常考题型 4 2016 齐齐哈尔 如图 抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴为直线 x 1 与 x 轴的一个交点坐标为 1 0 其部分图象如图所示 下列结论 第 7 页 共 38 页 4ac b2 方程 ax2 bx c 0 的两个根是 x1 1 x2 3 3a c 0 当 y 0 时 x 的取值范围是 1 x 3 当 x 0 时 y 随 x 增大而增大 其中结论正确的个数是 A 4 个B 3 个C 2 个 D 1 个 分析 利用抛物线与 x 轴的交点个数可对 进行判断 利用抛物线的对称性 得到抛物线与 x 轴的一个交点坐标为 3 0 则可对 进行判断 由对称轴方 程得到 b 2a 然后根据 x 1 时函数值为 0 可得到 3a c 0 则可对 进行判断 根据抛物线在 x 轴上方所对应的自变量的范围可对 进行判断 根据二次函数 的性质对 进行判断 解答 解 抛物线与 x 轴有 2 个交点 b2 4ac 0 所以 正确 抛物线的对称轴为直线 x 1 而点 1 0 关于直线 x 1 的对称点的坐标为 3 0 方程 ax2 bx c 0 的两个根是 x1 1 x2 3 所以 正确 x 1 即 b 2a 而 x 1 时 y 0 即 a b c 0 a 2a c 0 所以 错误 第 8 页 共 38 页 抛物线与 x 轴的两点坐标为 1 0 3 0 当 1 x 3 时 y 0 所以 错误 抛物线的对称轴为直线 x 1 当 x 1 时 y 随 x 增大而增大 所以 正确 故选 B 点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系 对于二次函数 y ax2 bx c a 0 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 当 a 0 时 抛物线向上开口 当 a 0 时 抛物线向下开口 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴左 当 a 与 b 异号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴右 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 位置 抛物线与 y 轴交于 0 c 抛物线与 x 轴交点个数由 决定 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 2 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 1 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴没有交点 5 2016 广安 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 并且关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c m 0 有两个不相等的实数根 下列结论 b2 4ac 0 abc 0 a b c 0 m 2 其中 正确的个数有 A 1B 2C 3D 4 分析 直接利用抛物线与 x 轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系 函数 图象与各系数之间关系分析得出答案 解答 解 如图所示 图象与 x 轴有两个交点 则 b2 4ac 0 故 错误 第 9 页 共 38 页 图象开口向上 a 0 对称轴在 y 轴右侧 a b 异号 b 0 图象与 y 轴交于 x 轴下方 c 0 abc 0 故 正确 当 x 1 时 a b c 0 故此选项错误 二次函数 y ax2 bx c 的顶点坐标纵坐标为 2 故二次函数 y ax2 bx c 向上平移小于 2 个单位 则平移后解析式 y ax2 bx c m 与 x 轴有两个交点 此时关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c m 0 有两个不相等的 实数根 故 m 2 解得 m 2 故 正确 故选 B 点评 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系 正确把握二次函数与方 程之间的关系是解题关键 6 2016 孝感 如图是抛物线 y ax2 bx c a 0 的部分图象 其顶点坐标为 1 n 且与 x 轴的一个交点在点 3 0 和 4 0 之间 则下列结论 第 10 页 共 38 页 a b c 0 3a b 0 b2 4a c n 一元二次方程 ax2 bx c n 1 有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是 A 1B 2C 3D 4 分析 利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点 2 0 和 1 0 之间 则当 x 1 时 y 0 于是可对 进行判断 利用抛物线的对称 轴为直线 x 1 即 b 2a 则可对 进行判断 利用抛物线的顶点的纵坐标 为 n 得到 n 则可对 进行判断 由于抛物线与直线 y n 有一个公共点 则抛物线与直线 y n 1 有 2 个公共点 于是可对 进行判断 解答 解 抛物线与 x 轴的一个交点在点 3 0 和 4 0 之间 而抛 物线的对称轴为直线 x 1 抛物线与 x 轴的另一个交点在点 2 0 和 1 0 之间 当 x 1 时 y 0 即 a b c 0 所以 正确 抛物线的对称轴为直线 x 1 即 b 2a 3a b 3a 2a a 所以 错误 抛物线的顶点坐标为 1 n 第 11 页 共 38 页 n b2 4ac 4an 4a c n 所以 正确 抛物线与直线 y n 有一个公共点 抛物线与直线 y n 1 有 2 个公共点 一元二次方程 ax2 bx c n 1 有两个不相等的实数根 所以 正确 故选 C 点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系 对于二次函数 y ax2 bx c a 0 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 当 a 0 时 抛物线向上开口 当 a 0 时 抛物线向下开口 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴左 当 a 与 b 异号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴右 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 位置 抛物线与 y 轴交于 0 c 抛物线与 x 轴交点个数由 决定 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 2 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 1 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴没有交点 7 2016 日照 如图是二次函数 y ax2 bx c 的图象 其对称轴为 x 1 下列结 论 abc 0 2a b 0 4a 2b c 0 若 是抛 物线上两点 则 y1 y2其中结论正确的是 A B C D 分析 由抛物线开口方向得到 a 0 有对称轴方程得到 b 2a 0 由 抛物 线与 y 轴的交点位置得到 c 0 则可对 进行判断 由 b 2a 可对 进行判断 利用抛物线的对称性可得到抛物线与 x 轴的另一个交点为 3 0 则可判断当 第 12 页 共 38 页 x 2 时 y 0 于是可对 进行判断 通过比较点 与点 到对称轴的距离可对 进行判断 解答 解 抛物线开口向下 a 0 抛物线的对称轴为直线 x 1 b 2a 0 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方 c 0 abc 0 所以 错误 b 2a 2a b 0 所以 正确 抛物线与 x 轴的一个交点为 1 0 抛物线的对称轴为直线 x 1 抛物线与 x 轴的另一个交点为 3 0 当 x 2 时 y 0 4a 2b c 0 所以 错误 点 到对称轴的距离比点 对称轴的距离远 y1 y2 所以 正确 故选 C 点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系 对于二次函数 y ax2 bx c a 0 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 当 a 0 时 抛物线向上开口 当 a 0 时 抛物线向下开口 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴左 当 a 与 b 异号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴右 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于 0 c 抛物线与 x 轴交点个数由 决定 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 2 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 1 个交点 第 13 页 共 38 页 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴没有交点 8 2016 攀枝花 如图 二次函数 y ax2 bx c a 0 图象的顶点为 D 其图 象与 x 轴的交点 A B 的横坐标分别为 1 和 3 则下列结论正确的是 A 2a b 0 B a b c 0 C 3a c 0 D 当 a 时 ABD 是等腰直角三角形 分析 由于抛物线与 x 轴的交点 A B 的横坐标分别为 1 3 得到对称轴为 直线 x 1 则 1 即 2a b 0 得出 选项 A 错误 当 x 1 时 y 0 得出 a b c 0 得出选项 B 错误 当 x 1 时 y 0 即 a b c 0 而 b 2a 可得到 a 与 c 的关系 得出选项 C 错误 由 a 则 b 1 c 对称轴 x 1 与 x 轴的交点为 E 先求出顶点 D 的坐标 由三角形边的关系得出 ADE 和 BDE 都为等腰直角三角形 得出选项 D 正确 即可得出结论 解答 解 抛物线与 x 轴的交点 A B 的横坐标分别为 1 3 抛物线的对称轴为直线 x 1 则 1 2a b 0 选项 A 错误 第 14 页 共 38 页 当自变量取 1 时 对应的函数图象在 x 轴下方 x 1 时 y 0 则 a b c 0 选项 B 错误 A 点坐标为 1 0 a b c 0 而 b 2a a 2a c 0 3a c 0 选项 C 错误 当 a 则 b 1 c 对称轴 x 1 与 x 轴的交点为 E 如图 抛物线的解析式为 y x2 x 把 x 1 代入得 y 1 2 D 点坐标为 1 2 AE 2 BE 2 DE 2 ADE 和 BDE 都为等腰直角三角形 ADB 为等腰直角三角形 选项 D 正确 故选 D 点评 本题考查了二次函数 y ax2 bx c 的图象与系数的关系 当 a 0 抛物 线开口向上 抛物线的对称轴为直线 x 抛物线与 y 轴的交点坐标为 第 15 页 共 38 页 0 c 9 2016 巴中 如图是二次函数 y ax2 bx c 图象的一部分 图象过点 A 3 0 对称轴为直线 x 1 给出四个结论 c 0 若点 B y1 C y2 为函数图象上的两点 则 y1 y2 2a b 0 0 其中 正确结论的个数是 A 1B 2C 3D 4 分析 根据抛物线 y 轴交点情况可判断 根据点离对称轴的远近可判断 根根据抛物线对称轴可判断 根据抛物线与 x 轴交点个数以及不等式的性 质可判断 解答 解 由抛物线交 y 轴的正半轴 c 0 故 正确 对称轴为直线 x 1 点 B y1 距离对称轴较近 抛物线开口向下 y1 y2 故 错误 对称轴为直线 x 1 1 即 2a b 0 故 正确 由函数图象可知抛物线与 x 轴有 2 个交点 b2 4ac 0 即 4ac b2 0 第 16 页 共 38 页 a 0 0 故 错误 综上 正确的结论是 故选 B 点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系 二次函数 y ax2 bx c a 0 a 的符号由抛物线开口方向决定 b 的符号由对称轴的位置及 a 的符号决定 c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定 抛物线与 x 轴的交点个数 决定了 b2 4ac 的符号 10 2016 德阳 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 则下列结论正确 的个数为 c 0 a b 0 2b c 0 当 x 时 y 随 x 的增大而减小 A 1B 2C 3D 4 分析 设 y ax2 bx c 与 x 轴的交点为 A B 左边为 A 右边为 B A x1 0 B x2 0 那么抛物线方程可写为 y a x x1 x x2 那么 b a x1 x2 从图 中可知 因为 x1 x2 1 因此 b a x1 x2 a 1 a 所以 a b 0 故 正确 其余不难判断 解答 解 由图象可知 a 0 c 0 a b c 0 a b c 0 故 正确 设 y ax2 bx c 与 x 轴的交点为 A B 左边为 A 右边为 B A x1 0 B x2 0 那么抛物线方程可写为 y a x x1 x x2 那么 b a x1 x2 从图 中可知 因为 x1 x2 1 因此 b a x1 x2 a 1 a 所以 a b 0 故 正确 第 17 页 共 38 页 a b c 0 a b 0 2b c 0 故 正确 由图象可知 y 都随 x 的增大而减小 故 正确 故选 D 点评 本题考查二次函数图象与系数关系 解题的关键是判定 a b 0 题 目有点难 属于中考选择题中的压轴题 11 2016 黄石 以 x 为自变量的二次函数 y x2 2 b 2 x b2 1 的图象不经过 第三象限 则实数 b 的取值范围是 A b B b 1 或 b 1C b 2D 1 b 2 分析 由于二次函数 y x2 2 b 2 x b2 1 的图象不经过第三象限 所以抛物 线的顶点在 x 轴的上方或在 x 轴的下方经过一 二 四象限 根据二次项系数 知道抛物线开口方向向上 由此可以确定抛物线与 x 轴有无交点 抛物线与 y 轴的交点的位置 由此即可得出关于 b 的不等式组 解不等式组即可求解 解答 解 二次函数 y x2 2 b 2 x b2 1 的图象不经过第三象限 二次项系数 a 1 抛物线开口方向向上 当抛物线的顶点在 x 轴上方时 则 b2 1 0 2 b 2 2 4 b2 1 0 解得 b 当抛物线的顶点在 x 轴的下方时 设抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1 x2 x1 x2 2 b 2 0 b2 1 0 2 b 2 2 4 b2 1 0 b 2 0 b2 1 0 第 18 页 共 38 页 由 得 b 由 得 b 2 此种情况不存在 b 故选 A 点评 此题主要考查了二次函数的图象和性质 解题的关键是会根据图象的 位置得到关于 b 的不等式组解决问题 12 2016 绵阳 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 下列结论 b 2a a 2c b 0 b a c b2 2ac 3ab 其中正确结论的个数是 A 1B 2C 3D 4 分析 根据抛物线的图象 对称轴的位置 利用二次函数的性质一一判断即 可 解答 解 由图象可知 a 0 b 0 c 0 1 b 2a 故 正确 假如 a b c c 则 a b c 0 a b c 0 c 0 a b c c 第 19 页 共 38 页 a b 2c 0 则 正确 由于无法判定 a b c 与 c 的大小 故 错误 b a 设 x1 x2 x1 0 2 x2 1 x1 x2 1 1 a c b a c 故 正确 b2 4ac 0 2ac b2 b 2a 3ab b2 b2 b2 b2 2ac b2 2ac b2 3ab b2 2ac 3ab 故 正确 故选 C 点评 本题考查二次函数的性质 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 学会利用图象信息解决问题 题目比较难 属于中考选择题中的压轴题 13 2016 烟台 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 下列结论 4ac b2 a c b 2a b 0 其中正确的有 第 20 页 共 38 页 A B C D 分析 根据抛物线与 x 轴有两个交点即可判断 正确 根据 x 1 y 0 即 可判断 错误 根据对称轴 x 1 即可判断 正确 由此可以作出判断 解答 解 抛物线与 x 轴有两个交点 0 b2 4ac 0 4ac b2 故 正确 x 1 时 y 0 a b c 0 a c b 故 错误 对称轴 x 1 a 0 1 b 2a 2a b 0 故 正确 故选 B 点评 本题考查二次函数图象与系数的关系 二次函数的性质等知识 解题 的关键是熟练运用这些知识解决问题 属于中考常考题型 14 2016 宿迁 若二次函数 y ax2 2ax c 的图象经过点 1 0 则方程 ax2 2ax c 0 的解为 A x1 3 x2 1 B x1 1 x2 3C x1 1 x2 3 D x1 3 x2 1 分析 直接利用抛物线与 x 轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案 解答 解 二次函数 y ax2 2ax c 的图象经过点 1 0 第 21 页 共 38 页 方程 ax2 2ax c 0 一定有一个解为 x 1 抛物线的对称轴为 直线 x 1 二次函数 y ax2 2ax c 的图象与 x 轴的另一个交点为 3 0 方程 ax2 2ax c 0 的解为 x1 1 x2 3 故选 C 点评 此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点 正确应用二次函数对称性是解 题关键 15 2016 长沙 已知抛物线 y ax2 bx c b a 0 与 x 轴最多有一个交点 现有以下四个结论 该抛物线的对称轴在 y 轴左侧 关于 x 的方程 ax2 bx c 2 0 无实数根 a b c 0 的最小值为 3 其中 正确结论的个数为 A 1 个B 2 个C 3 个 D 4 个 分析 从抛物线与 x 轴最多一个交点及 b a 0 可以推断抛物线最小值最 小为 0 对称轴在 y 轴左侧 并得到 b2 4ac 0 从而得到 为正确 由 x 1 及 x 2 时 y 都大于或等于零可以得到 正确 解答 解 b a 0 0 所以 正确 抛物线与 x 轴最多有一个交点 b2 4ac 0 关于 x 的方程 ax2 bx c 2 0 中 b2 4a c 2 b2 4ac 8a 0 所以 正确 第 22 页 共 38 页 a 0 及抛物线与 x 轴最多有一个交点 x 取任何值时 y 0 当 x 1 时 a b c 0 所以 正确 当 x 2 时 4a 2b c 0 a b c 3b 3a a b c 3 b a 3 所以 正确 故选 D 点评 本题考查了二次函数的解析式与图象的关系 解答此题的关键是要明 确 a 的符号决定了抛物线开口方向 a b 的符号决定对称轴的位置 抛物线与 x 轴的交点个数 决定了 b2 4ac 的符号 16 2015 锦州 在同一坐标系中 一次函数 y ax 2 与二次函数 y x2 a 的图 象可能是 A B C D 分析 根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与 y 轴的交点为 0 2 二次函数的开口向上 据此判断二次函数的图象 解答 解 当 a 0 时 二次函数顶点在 y 轴负半轴 一次函数经过一 二 四象限 当 a 0 时 二次函数顶点在 y 轴正半轴 一次函数经过一 二 三象限 故选 C 第 23 页 共 38 页 点评 此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质 用到的知识点为 二次函数和一次函数的常数项是图象与 y 轴交点的纵坐标 17 2015 咸宁 如图是二次函数 y ax2 bx c 的图象 下列结论 二次三项式 ax2 bx c 的最大值为 4 4a 2b c 0 一元二次方程 ax2 bx c 1 的两根之和为 1 使 y 3 成立的 x 的取值范围是 x 0 其中正确的个数有 A 1 个B 2 个C 3 个 D 4 个 分析 根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式 ax2 bx c 的最大值 根据 x 2 时 y 0 确定 4a 2b c 的符号 根据抛物线的对称性确定一元二次方程 ax2 bx c 1 的两根之和 根据函数图象确定使 y 3 成立的 x 的取值范围 解答 解 抛物线的顶点坐标为 1 4 二次三项式 ax2 bx c 的最大 值为 4 正确 x 2 时 y 0 4a 2b c 0 正确 根据抛物线的对称性可知 一元二次方程 ax2 bx c 1 的两根之和为 2 错误 使 y 3 成立的 x 的取值范围是 x 0 或 x 2 错误 故选 B 第 24 页 共 38 页 点评 本题考查的是二次函数的图象 二次函数的最值 二次函数与不等式 掌握二次函数的性质 正确获取图象信息是解题的关键 18 2015 贵阳 已知二次函数 y x2 2x 3 当 x 2 时 y 的取值范围是 A y 3B y 3C y 3D y 3 分析 先求出 x 2 时 y 的值 再求顶点坐标 根据函数的增减性得出即可 解答 解 当 x 2 时 y 4 4 3 3 y x2 2x 3 x 1 2 4 当 x 1 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 2 时 y 的取值范围是 y 3 故选 B 点评 本题考查了二次函数的性质的应用 能理解二次函数的性质是解此题 的关键 数形结合思想的应用 19 2015 安顺 如图为二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象 则下列说法 a 0 2a b 0 a b c 0 当 1 x 3 时 y 0 其中正确的个数为 A 1B 2C 3D 4 分析 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系 由 x 1 时的函数值判断 a b c 0 然后根据对称轴推出 2a b 与 0 的关系 根据图象判断 1 x 3 时 y 的符号 第 25 页 共 38 页 解答 解 图象开口向下 能得到 a 0 对称轴在 y 轴右侧 x 1 则有 1 即 2a b 0 当 x 1 时 y 0 则 a b c 0 由图可知 当 1 x 3 时 y 0 故选 C 点评 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系 会利用对称轴的范围 求 2a 与 b 的关系 以及二次函数与方程之间的转换 根的判别式的熟练运用 20 2015 鞍山 已知二次函数 y ax2 bx c a b c 为常数 a 0 的图象如 图所示 下列结论正确的是 A 2a b 0B 4a 2b c 0 C m am b a b m 为大于 1 的实数 D 3a c 0 分析 根据图象得出函数对称轴进而分别利用函数图象与坐标轴交点得出对 应函数关系的大小关系 解答 解 A 由图象可得 x 1 则 2a b 0 2a b 0 错误 B 由图象可得 抛物线与 x 轴正半轴交点大于 2 故 4a 2b c 0 故此选项错 误 C x 1 时 二次函数取到最小值 m am b am2 bm a b 故此选项正确 D 由选项 A 得 b 2a 当 x 1 时 y a b c 3a c 0 故此选项错误 第 26 页 共 38 页 故选 C 点评 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系 正确利用图象得出正确 信息是解题关键 21 2017 绍兴模拟 如图 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象经过点 1 2 且与 X 轴交点的横坐标分别为 x1 x2 其中 2 x1 1 0 x2 1 下 列结论 4a 2b c 0 2a b 0 a c 1 b2 8a 4ac 其中正确的有 A 1 个B 2 个C 3 个 D 4 个 分析 将 x 2 代入 y ax2 bx c 可以结合图象得出 x 2 时 y 0 由抛物线开口向下 可得 a 0 由图象知抛物线的对称轴大于 1 则有 x 1 即可得出 2a b 0 已知抛物线经过 1 2 即 a b c 2 1 由图象知 当 x 1 时 y 0 即 a b c 0 2 联立 1 2 可得 a c 1 由抛物线的对称轴大于 1 可知抛物线的顶点纵坐标应该大于 2 结合顶点的 纵坐标与 a 0 可以得到 b2 8a 4ac 解答 解 由函数的图象可得 当 x 2 时 y 0 即 y 4a 2b c 0 故 正确 由函数的图象可知 抛物线开口向下 则 a 0 抛物线的对称轴大于 1 即 x 1 得出 2a b 0 故 正确 第 27 页 共 38 页 已知抛物线经过 1 2 即 a b c 2 1 由图象知 当 x 1 时 y 0 即 a b c 0 2 联立 1 2 得 a c 1 故 正确 由于抛物线的对称轴大于 1 所以抛物线的顶点纵坐标应该大于 2 即 2 由于 a 0 所以 4ac b2 8a 即 b2 8a 4ac 故 正确 故选 D 点评 本题主要考查对二次函数图象与系数的关系 二次函数 y ax2 bx c a 0 中 a 的符号由抛物线的开口方向决定 c 的符号由抛物线 与 y 轴交点的位置确定 b 的符号由对称轴的位置与 a 的符号决定 抛物线与 x 轴的交点个数决定根的判别式的符号 此外还要注意二次函数图象上的一些 特殊点 22 2016 东丽区二模 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 2 0 x1 0 且 1 x1 2 与 y 轴的正半轴的交点在 0 2 的下 方 下列结论 4a 2b c 0 a b c 0 2a c 0 2a b 1 0 其中正确 结论的个数是 个 A 4 个B 3 个C 2 个 D 1 个 分析 根据已知画出图象 把 x 2 代入得 4a 2b c 0 2a c 2b 2a 把 x 1 代入得到 a b c 0 根据 0 推出 a 0 b 0 a c b 计算 2a c 2b 2a 0 代入得到 2a b 1 c 1 0 根据结论判断即可 解答 解 根据二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 2 0 x1 0 且 1 x1 2 与 y 轴的正半轴的交点在 0 2 的下方 画出图象为 如图 把 x 2 代入得 4a 2b c 0 正确 把 x 1 代入得 y a b c 0 如图 A 点 错误 2 0 x1 0 且 1 x1 第 28 页 共 38 页 取符合条件 1 x1 2 的任何一个 x1 2 x1 2 由一元二次方程根与系数的关系知 x1 x2 2 不等式的两边都乘以 a a 0 得 c 2a 2a c 0 正确 由 4a 2b c 0 得 2a b 而 0 c 2 1 0 1 2a b 0 2a b 1 0 正确 所以 三项正确 故选 B 点评 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征 抛物线与 X 轴的交点 二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握 能根据图象确定与系数有关的 式子得符号是解此题的关键 23 2016 鞍山二模 如图 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于点 A 1 0 顶点 坐标为 1 n 与 y 轴的交点在 0 2 0 3 之间 包含端点 有下列结论 当 x 3 时 y 0 3a b 0 1 a n 4 其中正确的是 第 29 页 共 38 页 A B C D 分析 由抛物线的对称轴为直线 x 1 一个交点 A 1 0 得到另一个交 点坐标 利用图象即可对于选项 作出判断 根据抛物线开口方向判定 a 的符号 由对称轴方程求得 b 与 a 的关系是 b 2a 将其代入 3a b 并判定其符号 根据两根之积 3 得到 a 然后根据 c 的取值范围利用不等式的性质来 求 a 的取值范围 把顶点坐标代入函数解析式得到 n a b c c 利用 c 的取值范围可以求得 n 的取值范围 解答 解 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于点 A 1 0 对称轴直线是 x 1 该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是 3 0 根据图示知 当 x 3 时 y 0 故 正确 根据图示知 抛物线开口方向向下 则 a 0 对称轴 x 1 b 2a 3a b 3a 2a a 0 即 3a b 0 故 错误 抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是 1 0 3 0 1 3 3 第 30 页 共 38 页 3 则 a 抛物线与 y 轴的交点在 0 2 0 3 之间 包含端点 2 c 3 1 即 1 a 故 正确 根据题意知 a 1 b 2a n a b c c 2 c 3 4 n 4 故 正确 综上所述 正确的说法有 故选 D 点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系 二次函数 y ax2 bx c 系数符 号由抛物线开口方向 对称轴 抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数 确定 24 2016 十堰二模 如图所示的抛物线是二次函数 y ax2 bx c a 0 的图 象 则下列结论 b 0 b 2a 0 方程 ax2 bx c 0 的两个根为 x1 2 x2 4 a c b 3a c 0 其中正确的结论有 A 5 个B 4 个C 3 个 D 2 个 第 31 页 共 38 页 分析 利用 a 的符号来判定 b 的符号 利用对称轴来判定 观察图形与 x 轴的交点的横坐标与对称性得出结论 找图形中 x 1 时对应的 y 的值 把 b 2a 代入 a b c 0 中得出结论 解答 解 因为开口向上 a 0 对称轴在 y 轴右侧 a b 异号 所以 b 0 选项 正确 对称轴 x 1 则 b 2a 2a b 0 选项 正确 根据对称性可知抛物线与 x 轴另一交点为 4 0 所以方程 ax2 bx c 0 的两 个根为 x1 2 x2 4 选项 正确 由图象得 x 1 时 y 0 所以 a b c 0 则 a c b 选项 错误 由 a b c 0 和 b 2a 得 3a c 0 选项 正确 有 4 个正确的 故选 B 点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系 熟练掌握以下几个知识点 开口向上 a 0 开口向下 a 0 对称轴在 y 轴左侧 a b 同号 对称轴在 y 轴右侧 a b 异号 抛物线与 x 轴的交点为 x1 0 x2 0 方程 ax2 bx c 0 的两个根为 x1 x2 判断 a b c 的值找 x 1 时对应的 y 的值 判断 a b c 的值找 x 1 时对应的 y 的 值 25 2016 威海二模 若二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 且关 于 x 的方程 ax2 bx c k 有两个不相等的实根 则常数 k 的取值范围是 第 32 页 共 38 页 A 0 k 4 B 3 k 1C k 3 或 k 1D k 4 分析 根据图象信息确定抛物线的对称轴 与 x 轴的交点 利用待定系数法 求出抛物线的解析式 得到关于 x 的一元二次方程 根据方程有两个不相等的 实根时 判别式大于 0 求出 k 的取值范围 解答 解 由图象可知 抛物线的对称轴为 x 1 顶点坐标为 1 4 设抛物线的解析式为 y a x 1 2 4 把 1 0 代入解析式得 a 1 解析式为 y x2 2x 3 方程 x2 2x 3 k 有两个不相等的实根 4 12 4k 0 解得 k 4 故选 D 点评 本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和一元二次方程的根的 判别式的运用 正确获取图象信息是解题的关键 运用待定系数法时 选择合 适的解析式的形式有助于求出解析式 26 2016 江西模拟 已知二次函数 y x2 m 1 x m 其中 m 0 它的图象 与 x 轴从左到右交于 R 和 Q 两点 与 y 轴交于点 P 点 O 是坐标原点 下列判 断中不正确的是 A 方程 x2 m 1 x m 0 一定有两个不相等的实数根 B 点 R 的坐标一定是 1 0 第 33 页 共 38 页 C POQ 是等腰直角三角形 D 该二次函数图象的对称轴在直线 x 1 的左側 分析 先依据因式解法求得方程的两根 然后再将 x 0 代入求得点 P 的纵坐 标 从而可求得问题的答案 解答 解 令 y 0 得 x2 m 1 x m 0 则 x 1 x m 0 解得 x1 1 x2 m m 0 1 R 1 0 Q m 0 方程由两个不相等的实数根 A B 正确 与要求不符 当 x 0 y m P 0 m OP PQ OPQ 为等腰直角三角形 C 正确 与要求不符 抛物线的对称轴为 x m 0 x D 错误 与要求相符 故选 D 点评 本题主要考查的是二次函数与坐标轴的交点问题 求得抛物线与 x 轴 y 轴的交点坐标是解题的关键 27 2015 赣州校级模拟 如图 直线 y kx c 与抛物线 y ax2 bx c 的图象都经 过 y 轴上的 D 点 抛物线与 x 轴交于 A B 两点 其对称轴为直线 x 1 且 OA OD 直线 y kx c 与 x 轴交于点 C 点 C 在点 B 的右侧 则下列命题中正确 第 34 页 共 38 页 命题的个数是 abc 0 3a b 0 1 k 0 k a b ac k 0 A 1B 2C 3D 4 分析 根据抛物线的性质逐项判断即可 由抛物线的开口判断 a 的符号 由 对称轴判断 b 及 b 与 2a 的关系 还可由图象上点的坐标判断