《圆的标准方程》的课堂实录

圆的标准方程圆的标准方程 的课堂实录的课堂实录 广州五中 冯洁瑜广州五中 冯洁瑜 教材内容 教材内容 人教版必修二第四章第一节 教学目标 教学目标 知识目标知识目标 1 掌握圆的标准方程 2 能根据条件求出圆的标准方程 能力目标能力目标 1 进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力 2 加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用 情感目标情感目标 培养学生主动探究知识 合作交流的意识 教学重点 教学重点 圆的标准方程的应用 教学难点 教学难点 会根据不同的已知条件求圆的标准方程 教具准备 教具准备 课件 直尺 圆规 学具准备 学具准备 数学书 学案 教学课时 教学课时 1 课时 教学过程 教学过程 一 复习引入一 复习引入 问 已知直线 l 的方程 试判断点 A 1 1 B 3 0 是否在该直线上 02 yx 点 A 在直线上 点 B 不在直线上 问 为什么方程能称为直线 l 的方程 02 yx 小结 当点的坐标满足方程时 则该点在直线 l 上 反之 当点在直线 l 上时 则 其坐标满足该方程 采用类比的教法为进一步学习 曲线与方程 的思想作好铺垫 让学生的迁 移能力得到提高 二 公式的推导 二 公式的推导 问 既然直线能用方程来表示 那么圆能不能也用方程来表示呢 能 问 如果能 那方程的形式将是怎样的呢 出示课题 圆的标准方程 问 圆的几何要素是什么 圆心和半径大小 教师在黑板上画出直角坐标系和一个圆 标出圆心 A a b 和圆上动点 M x y 问 圆是到定点的距离等于定长的点的集合 即MA r 抓住这一个几何条件我 们如何布列方程 利用两点间距离公式获得 rbyax 22 教师在推导出圆的标准方程后 222 rbyax 问 看到这个方程我们就要知道它表示一个圆 它的圆心是什么 半径等于多少 圆心是 a b 半径是 r 问 方程涉及到三个参数需要有几个独立条件来配合求出 a b r 3 个 三 直接应用 内化新知 三 直接应用 内化新知 问 根据给出的圆的标准方程 说出圆心坐标及半径大小 1 2 3 16 3 2 22 yx6 3 2 22 yx 25 22 yx 2 3 r 4 2 3 0 0 r 5 6 r 小结 方程能表示一个圆心为 0 0 r 5 的圆 是因为满足方程的解25 22 yx 为坐标的点在圆上 反之 在圆上的点的坐标也满足方程 例如 3 4 0 5 等等 3 圆心在 C 8 3 且经过点 M 5 1 问 如何处理第 3 小题 利用两点间距离公式求出半径 MC 的长度 或是利用 待定系数法来求出半径 四 加强应用 提升能力 四 加强应用 提升能力 例例 1 1 写出圆心为 A 2 3 半径长等于 5 的圆的方程 并判断点 B 5 7 C D 0 2 是否在这个圆上 若点不在圆上 请指出该点是在圆内还0 2 是圆外 练习 2 写出下列圆的标准方程 1 圆心在 C 0 0 半径长是 4 2 543 半径长是 圆心在 C 问 点 B 5 7 C D 0 2 是否在这个圆上 点 B 在 点 C D 不在 0 2 问 点 C D 是在圆内还是在圆外呢 点 C 在圆内 点 D 在圆外 问 为什么 把点 C 的坐标代入方程的左边 得到 925 问 那么点 M x0 y0 在圆上 内或外的条件是什么 若点在 222 rbyax 圆上 则 若点在圆内 则 若 22 0 2 0 rbyax 22 0 2 0 rbyax 点在圆外 则 22 0 2 0 rbyax 例 1 源于课本例题 但稍为做了一些改动 其目的是为了减少运算量 让学生 容易从代数角度判断点与圆的位置关系 为学生探究点 M x0 y0 在圆 内或外的条件做好准备 222 rbyax 例例 2 2 ABC 的三个顶点的坐标分别是 A 5 1 B 7 3 C 2 8 求它的外接 圆的方程 问 圆的标准方程涉及到三个参数需要有几个独立条件来配合求出 a b r 3 个 引导 点在圆上 则其坐标满足圆的方程 于是学生列出三元二次组 222 1 5 rba 然后就显得有些束手无策 222 3 7 rba 222 8 2 rba 问 如何解二元一次方程组的 消元 问 那么解三元二次方程组同样也用消元法求解 你们先看看哪个元最容易消去 2 r 于是学生将方程相减 后得到方程 2222 3 7 1 5 baba 问 如何化简此方程 移项后可借用完全平方和差公式或平方差公式来化简 在学生自行算出答案后 教师作出归纳 由于圆的标准方程 含有三个参数 a b r 因此必须具备三个独立条件才能确 222 rbyax 定一个圆 例 2 的设计是要用代数的方法解决几何问题 练习练习 3 已知 AOB 的顶点坐标分别是 A 4 0 B 0 3 O 0 0 求 AOB 外接 圆的方程 由于处理例 2 能落实好重难点 因此大部分学生在面对练习 3 时能迅速列出三 个方程 222 0 4 rba 222 3 0 rba 222 0 0 rba 问 如何消元 最快 问 还有其他方法吗 一学生举手回答 可利用几何图形的特点简化计算 AOB 是一个直角三角形 其外接圆的圆心在斜边的中点上 从而很快就可以算出圆心 坐标及半径大小 总结归纳 求圆的标准方程可用待定系数法来求出圆心坐标和半径大小 有时借用几 何图形的特点可起到简化计算的好处 板书设计板书设计 设圆心 A a b 圆上任意点 M x y 圆 心为 A 的圆的集合 P M MA r 由两点间距离公式得 rbyax 22 两边取平方 得 222 rbyax 例 2 解 设所求圆的方程是 依题意得 222 rbyax 222 1 5 rba 222 3 7 rba 22