不等式知识点及题型总结

精品文档 1欢迎下载 不等式不等式 一 知识点 一 知识点 1 1 实数的性质 实数的性质 0 baba0 baba0 baba 2 2 不等式的性质 不等式的性质 性性 质质内内 容容 对称性 abba abba 传递性 且 ab bcac 加法性质 且 abacbc ab cdacbd 乘法性质 且 0ab cacbc 0ab 00cdacbd 乘方 开方性质 0 nn abnNab 0 nn abnNab 倒数性质 11 0ab ab ab 3 3 常用基本不等式 常用基本不等式 条条 件件 结结 论论等等号号成成立立的的条条件件 aR 2 0a 0a aR bR 22 2abab 2 2 ab ab 22 2 22 abab ab 0 0 ba 基本不等式 2abab 常见变式 2 b a a b 2 1 a a ab 0 0 ba 22 11 2 22 baba ab ba ab 4 4 利用重要不等式求最值的两个命题 利用重要不等式求最值的两个命题 命题 1 已知 a b 都是正数 若 ab 是实值 P 则当 a b 时 和 a b 有最小值 2 命题 2 已知 a b 都是正数 若 a b 是实值 S 则当 a b 时 积 ab 有最大值 2 s 4 2 s 注意注意 运用重要不等式求值时 要注意三个条件 一 正 二 定 三 等 即各项均为正数 和或 积为定值 取最值时等号能成立 以上三个条件缺一不可 5 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解法 设 a 0 x1x2是方程 ax2 bx c 0 的两个实根 且 x1 x2 则有 精品文档 2欢迎下载 结论 结论 ax2 bx c 0 ax2 bx c0 0 0 解集 x xx2 x x x1 R ax2 bx c 0 解集 x x1 x x2 精品文档 3欢迎下载 3 方程有两个相同的解 2 210 xx 12 1xx 根据的图象 可得原不等式的解集为 2 21yxx 2 210 xx 4 因为 所以方程无实数解 根据的图象 可得原不等式的解集0 2 220 xx 2 22yxx 2 220 xx 为 练习 1 1 解不等式 若改为呢 0 7 3 x x 3 0 7 x x 2 解不等式 23 1 7 x x 解 1 原不等式 03 07 03 07 x x x x 或 73 xx 该题后的答案 73 xx 2 即 10 0 7 x x 710 xx 8 8 最值定理 最值定理 设 都为正数 则有xy 若 和为定值 则当时 积取得最大值 xys xy xy 2 4 s 若 积为定值 则当时 和取得最小值 xyp xy xy 2p 即 积定 和有最小值 和定 积有最大值 注意 一正 二定 三相等 几种常见解不等式的解法几种常见解不等式的解法 重难点归纳重难点归纳 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求 随着高考命题原则向能力立意的进一步转化 对解不等式的考查将会更是热点 解不等式需要注意下面几个问题 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 熟练掌握一元一次不等式 组 一元二次不等式 组 的解法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式 特别要注意因式的处理方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 掌握无理不等式的三种类型的等价形式 指数和对数不等式的几种基本类型的解法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 5 在解不等式的过程中 要充分运用自己的分析能力 把原不等式等价地转化为易解的不等式 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 6 对于含字母的不等式 要能按照正确的分类标准 进行分类讨论 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 典型题例示范讲解典型题例示范讲解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 1 1 如果多项式可分解为个一次式的积 则一元高次不等式 或 可用 xfn0 xf0 xf 穿根法 求解 但要注意处理好有重根的情况 当分式不等式化为时 要注意它的等价变形 0 0 或 xg xf 精品文档 4欢迎下载 0 0 xgxf xg xf 0 0 0 0 0 0 xgxfxf xg xf xg xgxf xg xf 或或 用 穿根法 解不等式时应注意 各一次项中的系数必为正 对于偶次或奇次重根可转化为不含x 重根的不等式 也可直接用 穿根法 但注意 奇穿偶不穿 其法如下图 不等式左右两边都是含有的代数式 必须先把它们移到一边 使另一边为 0 再解 x 例 例 解不等式 1 2 0152 23 xxx0 2 5 4 32 xxx 解 解 1 原不等式可化为 0 3 52 xxx 把方程的三个根顺次标上数轴 然后从右上开始画线顺次0 3 52 xxx3 2 5 0 321 xxx 经过三个根 其解集如下图的阴影部分 原不等式解集为 30 2 5 xxx或 2 原不等式等价于 24 5 0 2 4 05 0 2 5 4 32 xx x xx x xxx 或 原不等式解集为 2455 xxxx或或 解下列分式不等式 例 例 1 2 2 2 1 2 3 xx 1 273 14 2 2 xx xx 1 1 解 解 原不等式等价于 精品文档 5欢迎下载 0 2 2 0 2 2 1 6 0 2 2 1 6 0 2 2 65 0 2 2 2 2 3 0 22 3 22 3 2 xx xxxx xx xx xx xx xx xxx x x xx x x 用 穿根法 原不等式解集为 62 1 2 2 2 解法一 解法一 原不等式等价于 0 273 132 2 2 xx xx 21 2 1 3 1 0273 0132 0273 0132 0 273 132 2 2 2 2 22 xxx xx xx xx xx xxxx 或或 或 原不等式解集为 2 1 2 1 3 1 解法二 原不等式等价于0 2 13 1 12 xx xx 0 2 13 1 12 xxxx 用 穿根法 原不等式解集为 2 1 2 1 3 1 例例 2 2 绝对值不等式 解此题的关键是去绝对值符号 而去绝对值符号有两种方法 一是根据绝对值的 意义 0 0 aa aa a 二是根据绝对值的性质 或 因此本题有如下两种解法 axaxaxaax ax 例 例 解不等式24 2 xx 解 解 原不等式等价于 24 2 2 xxx 精品文档 6欢迎下载 即 2 4 24 2 2 xx xx 31 21 32 x xx x 故 或 例例 3 3 已知f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且f 1 1 若m n 1 1 m n 0 时 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 nm nfmf 1 用定义证明f x 在 1 1 上是增函数 2 解不等式 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 f x f 2 1 1 1 x 3 若f x t2 2at 1 对所有x 1 1 a 1 1 恒成立 求实数t的取值范围 技巧与方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 问单调性的证明 利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键 3 问利用单调性 把f x 转化成 1 是点睛之笔 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 任取x1 x2 且x1 x2 1 1 则f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x2 21 21 xx xfxf 1 x1 x2 1 x1 x2 0 由已知 0 又 x1 x2 0 21 21 xx xfxf f x1 f x2 0 即f x 在 1 1 上为增函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 f x 在 1 1 上为增函数 解得 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 x x 1 x R R 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 x x x x 2 3 3 解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由 1 可知 f x 在 1 1 上为增函数 且f 1 1 故对x 1 1 恒有f x 1 所以要f x t2 2at 1 对所有x 1 1 a 1 1 恒成立 即要t2 2at 1 1 成立 故t2 2at 0 记g a t2 2at 对a 1 1 g a 0 只需g a 在 1 1 上的最小值大于等于 0 g 1 0 g 1 0 解得 t 2 或t 0 或t 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 t的取值范围是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 t t 2 或 t 0 或t 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 5 5 解关于x的不等式 1 a 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 x xa 解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 原不等式可化为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 2 2 1 x axa 当a 1 时 原不等式与 x x 2 0 同解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 2 a a 精品文档 7欢迎下载 由于 21 112 11 a aa 原不等式的解为 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 2 a a 当a 1 时 原不等式与 x x 2 0 同解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 2 a a 由于 21 1 11 a aa 若a 0 解集为 2 21 12 11 a aa 1 2 a a 若a 0 时 解集为 21 12 11 a aa 若 0 a 1 解集为 2 21 12 11 a aa 1 2 a a 综上所述 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 a 1 时解集为 2 当 0 a 1 时 解集为 2 当a 0 1 2 a a 1 2 a a 时 解集为 当a 0 时 解集为 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 2 a a 例例 6 6 设 解关于的不等式 Rm x032 22 mxxm 分析 分析 进行分类讨论求解 解 解 当时 因一定成立 故原不等式的解集为 0 m03 R 当时 原不等式化为 0 m0 1 3 mxmx 当时 解得 0 m m x m 13 当时 解得 0 m m x m 31 当时 原不等式的解集为 0 m m x m x 13 当时 原不等式的解集为 0 m m x m x 31 说明 说明 解不等式时 由于 因此不能完全按一元二次不等式的解法求解 因为当时 原不Rm 0 m 等式化为 此时不等式的解集为 所以解题时应分与两种情况来讨论 03 R0 m0 m 的解是 1 x 例例 8 8 解关于的不等式 x0 322 axaax 分析 分析 不等式中含有字母 故需分类讨论 但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样 求a 出方程的根 然后写出不等式的解 但由于方程的根含有字母 故需比较两根的大0 322 axaaxa 小 从而引出讨论 精品文档 8欢迎下载 解 解 原不等式可化为 0 2 axax 1 当 即或 时 不等式的解集为 2 aa 1 a0 a 2 axaxx 或 2 当 即 时 不等式的解集为 2 aa 10 a axaxx 或 2 3 当 即或 1 时 不等式的解集为 2 aa 0 a axRxx 且 说明 说明 对参数进行的讨论 是根据解题的需要而自然引出的 并非一开始就对参数加以分类 讨论 比 如本题 为求不等式的解 需先求出方程的根 因此不等式的解就是小于小根或大于大ax 1 2 2 ax xx 根 但与两根的大小不能确定 因此需要讨论 三种情况 a 2 a 2 aa 2 aa 2 aa 例例 9 9 不等式的解集为 求与的值 02 2 bxax 21 xxab 分析 分析 此题为一元二次不等式逆向思维题 要使解集为 不等式需满足 21 xx02 2 bxax 条件 的两根为 0 a0 02 2 bxax1 1 x2 2 x 解法一 解法一 设的两根为 由韦达定理得 02 2 bxax 1 x 2 x 由题意 a xx a b xx 2 21 21 21 2 21 a a b 此时满足 1 a1 b0 a0 2 4 2 ab 解法二 解法二 构造解集为的一元二次不等式 21 xx 即 此不等式与原不等式应为同解不等式 故需满足 0 2 1 xx02 2 xx02 2 bxax 2 2 11 ba 1 a1 b 例例 1010 解关于的不等式 x01 1 2 xaax 分析 分析 本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法 因为含有字母系数 所以还考查分类思想 解 解 分以下情况讨论 精品文档 9欢迎下载 1 当时 原不等式变为 0 a01 x1 x 2 当时 原不等式变为 0 a0 1 1 xax 当时 式变为 不等式的解为或 0 a0 1 1 x a x1 x a x 1 当时 式变为 0 a0 1 1 x a x 当时 此时 的解为 当时 此时 的解为 a a a 1 1 1 10 a1 1 aa x 1 1 1 a1 1 a 1 1 x a 说明 说明 解本题要注意分类讨论思想的运用 关键是要找到分类的标准 就本题来说有三级分类 1 1 10 0 0 0 0 a a a a a a a Ra 分类应做到使所给参数的集合的并集为全集 交集为空集 要做到不重不漏 另外 解本题还要注意a 在讨论时 解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解 0 a01 1 2 xaax 例例 1111 解不等式 xxx 8103 2 分析 分析 无理不等式转化为有理不等式 要注意平方的条件和根式有意义的条件 一般情况下 可转化为或 而等价于 xgxf xgxf xgxf xgxf 或 0 0 xg xf 2 0 0 xgxf xg xf 解 解 原不等式等价于下面两个不等式组 0103 08 2 xx x 22 2 8 103 0103 08 xxx xx x 由 得 25 8 xx x 或 8 x 由 得 13 74 25 8 x xx x 或8 13 74 x 精品文档 10欢迎下载 所以原不等式的解集为 即为 88 13 74 xxx或 13 74 xx 说明 说明 本题也可以转化为型的不等式求解 注意 xgxf 2 0 0 xgxf xg xf xgxf 例例 12 12 已知关于的不等式的解集是 求实数之值 x 2 0 xmxn 51 xx m n 解 不等式的解集是 2 0 xmxn 51 xx 是的两个实数根 12 5 1xx