圆的基本概念

A O D B C A O 圆的基本概念 1 定义定义 在一个平面内 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周 另一个端点 A 所 形成的图形叫做圆 固定点 O 叫做圆心 线段 OA 叫做半径 圆上各点到定点 圆心 O 的距离都等于定长 半径 r 反之 到定点的距离到定点的距离 等于定长的点都在同一个圆上等于定长的点都在同一个圆上 另一定义 以 O 为圆心的圆 记作 O 读作 圆 O 2 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 3 直径 经过圆心的弦叫直径 注 圆中有无数条直径 4 圆的对称性及特性 1 圆是轴对称图形 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 2 圆也是中心对称图形 它的对称中心就是圆心 3 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度 都能与原来的图形重合 这是圆特有的一个性质 圆 的旋转不变性旋转不变性 5 圆弧 1 圆上任意两点间的部分 也可简称为 弧 以 A B 两点为端点的弧 记作 读作 弧 AB AB 2 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧 其中每一条弧都叫半圆 如弧 AD 3 小于半圆的弧叫做劣弧 如记作 用两个字母 AB 4 大于半圆的弧叫做优弧 如记作 用三个字母 ACB 学习重点学习重点 圆及其有关概念 学习难点学习难点 用集合的观念描述圆 例 1 已知 如图 OA OB OC 是 O 的三条半径 AOC BOC M N 分别为 OA OB 的中点 求证 MC NC 例 2 由于过渡采伐森林和破坏植被 使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵 袭 近来 A 市气象局测得沙尘暴中心在 A 市正东方向 400km 的 B 处 正在向西北方向移动 2 如图 距沙尘暴中心 300km 的范围内将受到影响 问 A 市是否会受到这次沙尘暴的影 响 随堂针对练习随堂针对练习 1 圆上各点到圆心的距离都等于 到圆心的距离等于半径的点都在 2 P 为 O 内与 O 不重合的一点 则下列说法正确的是 A 点 P 到 O 上任一点的距离都小于 O 的半径 B O 上有两点到点 P 的距离等于 O 的半径 C O 上有两点到点 P 的距离最小 D O 上有两点到点 P 的距离最大 3 以已知点 O 为圆心作圆 可以作 A 1 个B 2 个C 3 个D 无数个 4 以已知点 O 为圆心 已知线段 a 为半径作圆 可以作 A 1 个B 2 个C 3 个D 无数个 5 一点和 O 上的最近点距离为 4cm 最远距离为 9cm 则这圆的半径是 cm 6 在 Rt ABC 中 C 90 AB 15cm BC 10cm 以 A 为圆心 12cm 为半径作圆 则点 C 与 A 的位置关系是 7 O 的半径是 3cm P 是 O 内一点 PO 1cm 则点 P 到 O 上各点的最小距离是 8 如图 公路 MN 和公路 PQ 在 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所中学 AP 160m 假设拖拉机行驶时 周围 100m 以内会受到噪声的影响 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到噪声影响 请说明理由 如果受影响 已知拖拉机 的速度为 18km 时 那么学样受影响的时间为多少秒 垂径定理及其推论 1 定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分这条弦所对的两条弧 2 推论 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于这条弦 并且平分这条弦所对的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于这条弦 并且平分这条弦所对的两条弧 推论 2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 垂径定理归纳为 垂径定理归纳为 一条直线 如果具有 经过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦 3 所对的优弧 平分 例题 1 如图 3 5 CD 是 O 的直径 弦 AB CD 于 E 若 CE ED b a 求 1 的长 2 AB 的长 例题 2 如图所示 AB 是 O 的弦 OC AB 于 C 若 AB 2cm OC 1cm 则 O 的半径5 长 为 cm 例题 3 易错题 在直径为 50cm 的圆中 弦 AB 为 40cm 弦 CD 为 48cm 且 AB CD 求 AB 与 CD 之间距离 解 如图所示 过 O 作 OM AB AB CD ON CD 在 Rt BMO 中 BO 25cm 由垂径定理得 BM AB 40 20cm 1 2 1 2 OM 15cm 2222 2520OBBM 同理可求 ON 7cm 2222 2524OCCN 所以 MN OM ON 15 7 8cm 以上解答有无漏解 漏了什么解 请补上 巩固练习巩固练习 基础题 基础题 1 下列命题中 正确的是 A B C D E O 4 A 过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B 过弦的中点的直线必过圆 心 C 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心 D 弦的垂线 平分弦所对的 弧 2 下列命题中错误的有 弦的垂直平分线经过圆心 平分弦的直径垂直于弦 梯形的对角线互相平分 圆 的对称轴是直径 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 在半径为 25cm 的 O 中 弦 AB 40cm 则此弦和所对的弧的中点的距离为 A 10cm B 15m C 40cm D 10cm 或 40cm 4 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 则AC的长为 cm6 cm10 CDAB A 0 5cm B 1cm C 1 5cm D 2cm 5 过 O 内一点 P 的最长的弦长为 13cm 最短的弦长 5cm 则 OP 6 直径是 1000mm 的圆柱形水管面积如图所示 若水面宽mm 则水的最大800 AB 深度CD为 mm 6 题图 7 题图 8 题图 7 如图 是一个水平放置的圆柱形水管的截面 已知水面高 水面宽22 CDcm 那么水管截面圆的半径是 cmAB22 cm 8 如图 弦 直径于 且 求 的半径 cm24 ABABCD Mcm8 CMO 拓展创新拓展创新 8 应用题 如图所示 某地有一座圆弧形的拱桥 桥下水面宽为 7 2m 拱顶高出水面 2 4m 现有一艘宽 3m 船舱顶部为正方形并高出水面 2m 的货船要经过这里 此时货船 能顺利通过这座拱桥吗 请说明理由 5 提高题 提高题 1 如图 AB为 O的一固定直径 它把 O分成上 下两个半圆 自上半圆上一点 C作弦 的平分线交 O于点P 当点C在上半圆 不包括A ABCD OCD B两点 上移动时 点P A 到CD的距离保持不变 B 位置不变 C 等分 D 随C点的移动而移动 2 圆的两条平行弦与圆心的距离分别为 3 和 4 则此二平行弦之间的距离为 3 的直径为 15cm 弦 AB 和 CD 互相平行 两弦之间的距离为O 10 5cm AB 9cm 则 CD 4 如图 矩形边经过 的圆心 分别为 ABCDABOEFAB 与 的交点 若 CDOcmAE3 cmAD4 cmDF5 则 的径等于 O 6 如图 已知 在 中 是直径 是弦 交于 OABCDCDCE ABE 交于 CDDF ABF 求证 BFAE 7 如图 在两个同心圆中 大圆的弦AB 交小圆于C D两点 设大圆和小圆的半径分 别为 求证 相交弦定理 ba 22 baBDAD A C D B O 6 8 已知 如图 以为圆心 OD AB cm 矩形的O 120AOB4 NDEFGH 两顶点 在弦上 在上 且 求的长 EFHGHEEF4 HE 10 如图 是 的直径 是弦 于 求证 ABOCD于CDAE ECDBF F FDEC 课后自测课后自测 1 下列说法正确的有 填序号 直径是弦 弦是直径 半圆是弧 但弧不一定是半圆 长度相等的两条弧是半圆 2 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径 假设钢珠的直径是 12mm 测得钢珠顶端 A O B H E N N D M G F 7 离零件表面的距离为 9mm 如图所示 则小孔的直径 AB 为 3 一个已知 O 点到圆周上的点的最大距离为 5cm 最小距离为 1cm 则此圆的半径为 4 如图所示 O 的半径为 5 弦 AB 长为 8 点 M