阿贝尔和伽罗瓦的比较

精品文档 1欢迎下载 阿贝尔和伽罗瓦的比较 今天我要向大家介绍两位朋友 阿贝尔和伽罗瓦 1 阿贝尔与伽罗瓦的不同点 1 1 两人的个人基本情况比较 1 2 数学研究的成就不同 阿贝尔证明对一般的四次以上的方程没有代数解 伽罗瓦解决了什么样的方程有代数解 即方程有根式 解的充要条件 1 3 运气不同 阿贝尔最终毕竟还是幸运的 他回挪威后一年里 欧洲大陆的数学界渐渐了解了他 继失踪的那篇主要论文 之后 阿贝尔又写过若干篇类似的论文 都在 克雷勒杂 志 上发表了 这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重 要的数学中心 他业已成为众所瞩目的优秀数学家之 一 遗憾的是 他处境闭塞 孤陋寡闻 对此情况竟无所 知 但是伽罗瓦的重大创作在生前始终没有机会发表 1 4 成果的广泛性不同 精品文档 2欢迎下载 阿贝尔在数学上的贡献 主要表现在方程论 无穷级 数和椭圆函数等方面 即除了代数方程论之外 阿贝尔还 从事分析方面的研究 所以说阿贝尔是多产的 但是伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念 并用群 论彻底解决了根式求解代数方程的问题 而且由此发展了 一整套关于群和域的理论 即伽罗瓦的成果重在代数方程 论 1 5 成就的影响不同 阿贝尔的一系列工作为后人留下丰厚的数学遗产 为群论 域论和椭圆函数论的研究开拓了道路 他的数学 思想至今深刻地影响着其他数学分支 C 埃尔米特 Hermite 曾这样评价阿贝尔的功绩 阿贝尔留下的一些思 想 可供数学家们工作 150 年 伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念 并用群论 彻底解决了根式求解代数方程的问题 而且由此发展了一 整套关于群和域的理论 为了纪念他 人们称之为伽罗瓦 理论 正是这套理论创立了抽象代数学 把代数学的研究 推向了一个新的里程 正是这套理论为数学研究工作提供 了新的数学工具 群论 它对数学分析 几何学的发展有 很大影响 并标志着数学发展现代阶段的开始 1 6 心理状况不同 阿贝尔 从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望 精品文档 3欢迎下载 阿贝尔在巴黎空等了将近一年 他寄居的那家房东又特别 吝啬刻薄 每天只供给他两顿饭 却收取昂贵的租金 一 天 他感到身体很不舒畅 经医生检查 诊断为肺病 尽 管他顽强地不相信 但实情是他确已心力交瘁了 阿贝尔 只好拖着病弱的身体 怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别 巴黎回国 伽罗瓦 对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗 瓦 虽然他的论文一再被丢失 得不到应有的支持 但他 并没有灰心 他坚信他的科研成果 不仅一次又一次地想 办法传播出去 还进一步向更广的领域探索 2 阿贝尔与伽罗瓦的相同点与联系 2 1 都遇到了好老师 受到好老师的指导帮助 15 岁 1817 时 他幸运地遇到一位优秀数学教师 B M 霍尔姆博 Holmbo 后者在数学上的最大贡献也 正是发现并培养了这位数学天才 良师耐心细致的教诲 唤起了他学习数学的愿望 使他对数学产生了兴趣 但在第三年 1826 伽罗瓦对修辞学没有下足够的 功夫 因而只得重读一年 在这次挫折之后 他被批准选 学第一门数学课 这门课由 H J 韦尼耶 Vernier 讲授 他唤起了伽罗瓦的数学才能 使他对数学发生了浓厚的兴 精品文档 4欢迎下载 趣 1828 年 10 月 伽罗瓦从初级数学班升到 L P E 里查德 Richard 的数学专业班 里查德是一位 年轻而富有才华的教授 并且具有发掘科学英才的敏锐判 断力和高度责任感 他认为伽罗瓦是最有数学天赋的人物 只宜在数学的尖端领域中工作 2 2 都大量阅读了大师的著作 16 岁那年 他遇了一个能赏识其才能的老师霍姆伯 Holmboe 介绍他阅读牛顿 欧拉 拉格朗日 高斯的著 作 大师们不同凡响的创造性方法和成果 一下子开阔了 阿贝尔的视野 把他的精神提升到一个崭新的境界 他很 快被推进到当时数学研究的前沿阵地 后来他感慨地在笔 记中写下这样的话 要想在数学上取得进展 就应该阅 读大师的而不是他们的门徒的著作 他很快地学完了通常规定的课程 并求教于当时的 数学大师 他如饥似渴地阅读了 A M 勒让德的著作 几何 原理 和 T L 拉格朗日的 代数方程的解法 解析函数 论 微积分学教程 接着他又研究了 L 欧拉 Euler C F 高斯 Gauss 和 A L 柯西 Cauchy 的著作 为自己 打下了坚实的数学基础 由于他刻苦学习 能着重领会和 掌握其中的数学思维方法 因此 这些功课的学习 使他 思路开阔 科学创造的思维能力得到了训练和提高 他的 中学数学专业班的老师里查德说 伽罗瓦只宜在数学的尖 精品文档 5欢迎下载 端领域工作 2 3 都是很早就显示数学方面的才华 幼时 他 阿贝尔 就显露出数学上的才能 在父母的熏陶下 伽罗瓦童年时代就表现出有才能 认真 热心等良好的品格 2 4 同样是坎坷的人生 开始他们的观点都不 为人所理解重视 阿贝尔终于在 1825 年 8 月获得公 费 开始其历时两年的大陆之行 踌躇满志的阿贝尔自费 印刷了证明五次方程不可解的论文 把它作为自己晋谒大 陆大数学家们 特别是高斯的科学护照 他相信高斯将能 认识他工作的价值而超出常规地接见 但看来高斯并未重 视这篇论文 因为人们在高斯死后的遗物中发现阿贝尔寄 给他的小册子还没有裁开 柏林是阿贝尔旅行的第一 站 他在那里滞留了将近一年时间 虽然等候高斯召见的 期望终于落空 这一年却是他一生中最幸运 成果最丰硕 的时期 1826 年 7 月 阿贝尔抵达巴黎 他见到了那里所 有出名的数学家 他们全都彬彬有礼地接待他 然而却没 有一个人愿意仔细倾听他谈论自己的工作 在这些社会名 流的高贵天平上 这个外表腼腆 衣着寒酸 来自僻远落 后国家的年轻人能有多少分量呢 他通过正常渠道将论文 提交法国科学院 科学院秘书傅立叶读了论文的引言 然 后委托勒让得和柯西负责审查 柯西把稿件带回家中 究 精品文档 6欢迎下载 竟放在什么地方 竟记不起来了 直到两年以后阿贝尔已 经去世 失踪的论文原稿才重新找到 而论文的正式发表 则迁延了 12 年之久 从满怀希望到渐生疑虑终至完全失 望 阿贝尔在巴黎空等了将近一年 1829 年 伽罗瓦在他中学最后一年快要结束时 把 关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院 科学院 委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定 人 在 1830 年 1 月 18 日柯西曾计划对伽罗瓦的研究成果 在科学院举行一次全面的意见听取会 他在一封信中写道 今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗瓦的工作 报告 但因病在家 我很遗憾未能出席今天的会议 希 望你安排我参加下次会议 讨论已指明的议题 然而 第 二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时 并未介绍 伽罗瓦的著作 这是一个非常微妙的 事故 1830 年 2 月 伽罗瓦将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了 以 参加科学院的数学大奖评选 希望能够获奖 论文寄给当 时科学院终身秘书傅立叶 但傅立叶在当年 5 月去世了 在他的遗物中未能发现伽罗瓦的手稿 就这样 伽罗瓦递 交的两次数学论文都被遗失了 1831 年 1 月 伽罗瓦在寻 求确定方程的可解性这个问题上 又得到一个结论 他写 成论文提交给法国科学院 这篇论文是伽罗瓦关于群论的 重要著作 当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文 精品文档 7欢迎下载 绞尽脑汁 传说泊阿松将这篇论文看了四个月 最后结论 居然是 完全不能理解 尽管借助于拉格朗日已证明的一 个结果可以表明伽罗瓦所要证明的论断是正确的 但最后 他还是建议科学院否定它 本文为全文原貌 未安装 PDF 浏览器用户请先下载安装 原 版全文 2 5 都犯了同样的错误 就是他最 初都以为自 己解出了一般的五次方程 可是后来发现了错误 但他们都能很快意识到了这一点 并重新研究 接着 他研究一般五次方程问题 开始 他曾错误地认为自己得 到了一个解 霍姆伯建议他寄给丹麦的一位著名数学家审 阅 幸亏审阅者在打算认真检查以前 要求提供进一步的 细节 这使阿贝尔有可能自己来发现并修正错误 这次失 败给了他非常有益的启发 他开始怀疑 一般五次方程究 竟是否可解 问题的转换开拓了新的探索方向 他终于成 功地证明了要像较低次方程那样用根式解一般五次方程是 不可能的 据伽罗瓦说 他在 1828 年犯了和 N H 阿贝尔 Abel 在 8 年前犯的同样错误 以为自己解出了一般的五 次方程 但他很快意识到了这一点 并重新研究方程理论 他坚持不懈 直到成功地用群论阐明了这个带普遍性的问 精品文档 8欢迎下载 题 2 6 都能在不为人重视的情况下 坚信自己努 力让人理解 参看第 4 点的材料 2 7 在新观点的论述中都犯了一个错误 论述 过于简洁 刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长 辈们拒绝 以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意 做了反思 过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因 人们 在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时 应该首先尽 力避免这样做 事实上 当你试图引寻读者远离习以为常 的思路进入较为困惑的领域时 清晰性是绝对必需的 就 像笛卡儿说过的那样 在讨论超前的问题时务必空前地 清晰 1824 年 他证明了五次或五次以上的代数方程没有 一般的用根式求解的公式 该证明写进了 论代数方 程 证明一般五次方程的不可解性 的著名论文中 从 而结束了一般代数方程求根式通解的企图 他深知其结果 的重要性 决定先以小册子形式自费出版它 为了节省经 费 他把小册子压缩到 6 页 叙述很简洁 以致许多学者 难以读懂 数学王子 高斯也不相信一个青年能用这么短 的篇幅 解决连他本人都尚未解决的难题 2 8 重视爱的人 阿贝尔已自知将不久于人世 这时 他唯一牵挂的 精品文档 9欢迎下载 是他女友凯姆普的前途 为此 他写信给最亲近的朋友基 尔豪 Kiel hau 要求基尔豪在他死后娶凯姆普为妻 尽 管基尔豪与凯姆普以前从未觌面 为了让阿贝尔能死而瞑 目 他们照他的遗愿做了 临终的几天 凯姆普坚持只要 自己一个人照看阿贝尔 她要 独占这最后的时刻 1832 年 3 月 16 日伽罗瓦获释后不久 年轻气盛的伽 罗瓦为了一个舞女 卷入了一场他所谓的 爱情与荣誉 的决斗 伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好 自己难以摆脱 死亡的命运 所以连夜给朋友写信 仓促地把自己生平的 数学研究心得扼要写出 并附以论文手稿 2 9 他们都是近世代数的开创者 2 10 寿命很短 贡献很大 3 从我们的这两位数学家的遭遇中 我们可以得到的 启示 3 1 关于生命 身体健康的思考 从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望 阿贝尔在巴 黎空等了将近一年 一天 他感到身体很不舒畅 经医生 检查 诊断为肺病 尽管他顽强地不相信 但实情是他确 已心力交瘁了 阿贝尔只好拖着病弱的身体 怀着一颗饱 尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国 1832 年 3 月 16 日伽 精品文档 10欢迎下载 罗瓦获释后不久 年轻气盛的伽罗瓦为了一个舞女 卷入 了一场他所谓的 爱情与荣誉 的决斗 伽罗瓦非常清楚 对手的枪法很好 自己难以摆脱死亡的命运 所以连夜给 朋友写信 仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出 并附以论文手稿 从这两段话 我们可以关于生命的一点思考 珍惜生 命 关爱自己 工作固然重要 但是身体健康也很重 要 阿贝尔因为工作而 心力交瘁 弄得身体 病弱 我认为这是不对的 身体是自己的 工作再忙也要好好照 顾自己 而伽罗瓦 为了一个舞女 即使知道 自己难以 摆脱死亡的命运 还是 卷入了一场他所谓的 爱情与荣 誉 的决斗 我不知道他是怎样看待生命的 失去了生命 又谈何爱情呢 失去了一份爱 我们有没有必要为此不要 了自己的生命 3 2 多读书 尤其是读大师的著作 从阿贝尔与伽罗瓦的经历中 我们可以看到他们都读 了很多书 尤其是数学大师的著作 所以我想 一个人都 是想在某领域上取得成功必须看很多该领域的书 学习很 多该领域的东西 尤其是读该领域大师的著作 3 3 坚定自己的信念 相信自己的能力 从阿贝尔与伽罗瓦的经历中 我们可以看到他们的观 点开始时都不为人理解 但是他们都坚定自己的信念 相 精品文档 11欢迎下载 信自己的能力 这给我们的启发是在走向成功的道路上 即使别人不相信不理解你时 你都要坚定自己的信念 相 信自己的能力 这样才能成功 3 4 关于教师的影响 教育 课程的思考 从阿贝尔与伽罗瓦的经历中 我们可以看到他们的老 师对他们产生了很大的影响 尤其是在数学学习的兴趣上 的影响很大 这让我想到了 在教育中教师的作用是很大的 教师 应该在儿童教学中担任起启发者 引导者等角色 他一开始就对那些不谈推理方法而只注重形式和技 巧问题的教科书感到厌倦 于是 他毅然抛开教科书 这让我想起了英国的数学教育之柯克克洛夫特 W H Cockcroft 报告中一些内容 即必须针对中学生的各种能力水平设计不同的数学 课程 在每一教学阶段 学生都可以在其能力许可的范围 内扩充与加深自己的数学知识 在中学学习一开始就要特 别注意有天赋的学生的教育 要给他们提供足够的数学内 容 否则这部分学生就会对数学失去兴趣并在以后很难恢 复 报告 还提倡高年级学生阅读数学专业文献 培养 独立研究数学的能力 精品文档 12欢迎下载 考试的结果不应对学生学习数学的信心有所伤害 这就是要求我们的数学要有为不同的学生设计不同的 课程 不能损害学生学习数学的兴趣 还要提倡学生阅读 数学大师的著作 3 5 写书语言的思考 刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝 以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思 过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因 人们在处理像纯 粹代数这样抽象和神秘的事物时 应该首先尽力避免这样 做 事实上 当你试图引寻读者远离习以