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第四章频率特性分析 第一节频率特性概述第二节频率特性的图示方法第三节频域特性的特征量第四节最小相位系统与非最小相位系统第五节利用MATLAB分析频率特性第六节设计示例 1 概述作为一种图解分析系统的方法 频率特性曲线常采用两种表示形式 即极坐标图 对数坐标图 第二节频率特性的图示方法 2 系统频率特性可表示为用一向量表示某一频率下的向量的长度 向量极坐标角为 的正方向取为逆时针方向 极坐标的顶点在坐标原点 如图4 1所示 图4 1极坐标图 一 极坐标图 乃奎斯特图或乃氏图或Nyquist图 3 图4 1极坐标图 频率特性G j 是输入频率 的复变函数 是一种变换 当频率 由0 时 G j 变化的曲线 即向量端点轨迹就称为极坐标图 极坐标图在时 在实轴上的投影为实频特性 在虚轴上的投影为虚频特性 4 控制系统由若干典型环节组成 常见的典型环节有比例环节K 积分环节 惯性环节 一阶微分环节1 s 微分环节s 振荡环节 滞后环节等 下面分别讨论典型环节的频率特性 1 典型环节的Nyquist图 5 6 图4 2 3积分环节的极坐标图 7 图4 16纯微分环节的极坐标图 8 9 图4 2 5惯性环节极坐标图 10 11 12 13 14 15 图4 7振荡环节极坐标图 16 17 18 19 20 21 22 23 24 开环极坐标图曲线的起点 25 开环极坐标图曲线的终点图 26 二 对数坐标图 Bode图 Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两张图组成 对数幅频特性是频率特性的对数值L 20lgA dB 与频率 的关系曲线 对数相频特性是频率特性的相角 度 与频率 的关系曲线 27 图4 2Bode图坐标系 对数幅频特性的纵轴为L 20lgA 采用线性分度 A 每增加10倍 L 增加20dB 横坐标采用对数分度 即横轴上的 取对数后为等分点 对数相频特性横轴采用对数分度 纵轴为线性分度 单位为度 28 伯德图的横坐标和纵坐标 29 由上图可见 伯德图是画在纵轴为等分坐标 横轴为对数坐标的特殊坐标纸上的 这种坐标纸称 半对数坐标纸 横轴对数坐标的每一个等分称为一级 图4 7横轴有三个相等的等分 因此称为三级 半对数坐标纸 图4 7三级 半对数坐标纸 30 在使用对数坐标时要特别注意以下两点 1 它是不均匀坐标 是由疏到密周期性变化排列的 2 对数坐标的每一级代表10倍频程 即每一个等分的级的频率差10倍 若第一个 1 处为0 1 则以后的 1 处便分别为1 10 100 1000等等 31 Bode图在控制工程设计和综合中 具有以下优点 1 横坐标按频率 取对数分度 低频部分分辨率高 而高频部分分辨粗略 与对实际控制系统 一般为低频系统 的频率分辨要求吻合 2 幅频特性取分贝数 20Lg G s 后 使各因子间的乘除运算变为加减运算 在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加 大大简化了作图过程 使系统设计和分析变得容易 32 Bode图在控制工程设计和综合中 具有以下优点 3 可采用由直线段构成的渐近特性 或稍加修正 代替精确Bode图 使绘图十分简便 4 在控制系统的设计和调试中 开环放大系数K是最常变化的参数 而K的变化不影响对数幅频特性的形状 只会使幅频特性曲线作上下平移 33 1 典型环节的Bode图 34 图4 14积分环节的Bode图 35 图4 17纯微分环节的Bode图 36 37 低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线 高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为 20分贝 十倍频程 20dB Dec 即频率每增加10倍 幅值就下降20dB 的直线 1 T时 前述两条直线相交 1 T称为转折频率 38 39 惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线 两直线相交 交点处频率 称为转折频率 两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线 故又称为对数幅频特性渐近线 用渐近线代替对数幅频特性曲线 最大误差发生在转折频率处 图5 10惯性环节的Bode图 40 误差为dB 在高于转折频率一个倍频处 即的误差为dB 图4 5惯性环节的误差曲线 误差曲线如左图所示 41 42 43 44 45 46 图4 8二阶振荡环节的Bode图 47 48 用渐近线代替实际对数幅频特性也会带来误差 常按的大小来修正渐近线 二阶振荡环节的误差修正曲线如图4 9所示 图4 9二阶振荡环节的误差修正曲线 49 50 图4 24二阶微分环节的Bode图 51 52 53 54 概述对n个环节串联的系统 其开环传递函数为其频率特性 4 36 2 绘制系统Bode图的步骤与实例 55 系统开环的对数幅频特性 开环相频特性 由此看出 系统的开环对数幅频特性L 等于各个串联环节对数幅频特性之和 系统的开环相频特性等于各个环节相频特性之和 56 绘制系统开环对数幅频特性曲线的一般步骤 控制系统一般由多个环节组成 在绘制系统Bode图时 应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式 再逐步绘制 常用方法有三种 一 环节曲线叠加法绘图步骤概括如下 1 将系统开环频率特性写为各个典型环节乘积形式 确定各环节的转折频率 如果有的话 2 将各环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别画于半对数坐标纸上 3 将各环节幅频特性曲线进行叠加 在各转折点处各环节幅值数相加 求得开环对数幅频特性曲线 57 4 将各环节相频特性曲线进行叠加 选取若干个 值 将各环节在此 处的相频数值叠加 求得开环对数相频特性曲线 5 如需要精确对数幅频特性 则可在各转折频率处加以修正 58 例4 1 设系统开环传递函数如下 试绘制其开环对数频率特性图 解 1 系统开环频率特性可写成 2 将五个环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别绘于图4 27中 59 3 将L1 L5 叠加 求得开环对数幅频特性曲线L 4 将 1 5 叠加 得开环对数相频特性曲线 最后得到该系统的对数频率特性如图4 27所示 图4 27例4 4系统的开环对数频率特性 60 例4 2 系统开环传递函数试绘制开环对数频率特性 解系统开环频率特性为系统由5个典型环节串联组成 61 比例环节dB积分环节对数幅频特性渐近线在时穿越0dB线 其斜率为 20dB dec 62 惯性环节转折频率 对数幅频特性渐近线曲线在转折频率前为0dB线 转折频率后为一条斜率为 20dB dec的直线 对称于点 63 惯性环节转折频率 对数幅频特性渐近线类似于 相频特性类似于 64 比例微分环节转折频率 对数幅频特性渐近线在之前为0分贝线 在之后为一条斜率为20dB dec的直线 相频特性在转折频率处为45 低频段为0 高频段为90 且曲线对称于点 65 将以上个环节的对数幅频特性渐近线和相频特性曲线绘制出 在同一频率下相加即得到系统的开环对数幅频特性渐近线及相频特性 如图4 25所示 图4 25例4 2的Bode图 66 67 68 二 顺序斜率叠加法本方法不必将各个典型环节的L 绘出 而使用从低频到高频逐次变换斜率的方法绘出L 曲线 曲线可用前述办法或后面介绍的计算法绘制 绘制步骤概括如下 1 将系统传递函数G s 写成若干个标准形式的典型环节 即惯性 一阶微分 二阶振荡和二阶微分环节的传递函数中常数项均为1 串联相乘的形式 2 求各环节的转折频率 如果有的话 并由小到大将其顺序标在Bode图的 轴上 69 3 5 在各转折频率附近利用误差曲线进行修正 得精确曲线 系统的对数相频特性可以由各环节相频特性叠加的方法绘制 4 70 例4 3 系统开环传递函数为试绘制系统的对数幅频特性 解系统的开环频率特性系统由5个典型环节组成 转折频率 且时L 20lgK 20dB过 1 L 20dB作一条斜率为 20dB dec直线作为低频段直线 71 过第一个转折频率后 特性斜率按环节性质变化 对数幅频特性渐近线 如图5 20所示 在各转折频率附近按误差曲线加以修正 得对数幅频特性的精确曲线 如图4 26虚线所示 图4 26例4 3对数频率特性 72 例4 4 设系统开环传递函数为试绘制开环系统对数频率特性曲线 解 1 先将传递函数化成Bode图的标准式 则原系统开环传递函数变为 2 将各环节的转角频率由低到高依次标于 轴上 如图4 24所示 73 3 绘制低频渐近线 由于是I型系统 1处的幅值为20lgK 17 5 dB 以此点为基准绘制系统低频部分渐近线 是一条斜率为 20dB dec的直线 4 由低频到高频顺序绘出对数幅频特性渐近线 在低频渐近线的基础上 每遇到一个环节的转折频率 根据该环节的性质作一次斜率变化 直至最后一个环节完成为止 5 必要时对渐近线进行修正 画出精确的对数幅频特性 图4 28例4 5系统的开环对数频率特性 74 75 三 计算法根据系统开环频率特性G j H j 写出相应的对数幅频和相频特性表达式L 和 依次代入若干个 值 一般从最低转折频率的1 10开始到最高转折频率的10倍取值 分别计算不同 的L 和 值 逐点描绘 即可绘制出系统的对数频率特性曲线 该方法常用于计算和绘制 曲线 76 3 由Bode图确定系统的传递函数由Bode图确定系统传递函数 与绘制系统Bode图相反 即由实验测得的Bode图 经过分析和测算 确定系统所包含的各个典型环节 从而建立起被测系统数学模型 由频率特性测试仪记录的数据 可以绘制最小相位系统的开环对数频率特性 对该频率特性进行处理 即可确定系统的对数幅频特性曲线 1 频率响应实验 77 2 传递函数确定 1 对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理 即用斜率为 20dB dec整数倍的直线段来近似测量到的曲线 2 当某 处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时 此 即为某个环节的转折频率 当斜率变化 20dB dec时 可知 处有一个一阶微分环节Ts 1 若斜率变化 40dB dec时 则 处有一个二阶微分环节 s2 2n 2 s n 1 若斜率变化 20dB dec时 则 处有一个惯性环节1 Ts 1 若斜率变化 40dB dec时 则 处有一个二阶振荡环节1 s2 2n 2 s n 1 78 3 系统最低频率段的斜率由开环积分环节个数决定 低频段斜率为 20 dB dec 则系统开环传递有 个积分环节 系统为 型系统 4 开环增益K的确定 由 1作垂线 此线与低频段 或其延长线 的交点的分贝值 20lgK dB 由此求出K值 79 lgw b为直线斜率 单位为dB dec 求K时须注意 80 几种常见系统Bode图 81 例最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示 试确定系统传递函数 82 例最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示 试确定系统传递函数 解由图知此为分段线性曲线 在各交接频率处 渐近特性斜率发生变化 由斜率的变化情况可确定各转折频率处的典型环节类型 0 1处 斜率变化 20dB dec 为一阶微分环节 1处 斜率变化 20dB dec 为惯性环节 2处 斜率变化 20dB dec 为惯性环节 3处 斜率变化 20dB dec 为惯性环节 4处 斜率变化 20dB dec