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二次函数的图像及性质 复习回顾二次函数的定义 定义 一般地 形如y ax bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 其中x是自变量 a为二次项系数 ax2叫做二次项 b为一次项系数 bx叫做一次项 c为常数项 注意 二次函数的一般形式 y ax2 bx c 其中a b c是常数 a 0 二次函数的特殊形式 当b 0时 y ax2 c当c 0时 y ax2 bx当b 0 c 0时 y ax2 知识回顾讲授新课 1 一次函数的图像有何特征 一次函数的图像是一条 当时 y随x的增大而增大 当时 y随x的增大而减小 2 反比例函数的图像有何特征 反比例函数的图像是 共有支 且关于对称 当时 图像在象限 在每个象限内y随x的增大而减小 当时 图像在象限 在每个象限内y随x的增大而 直线 双曲线 两 原点 增大 一 三 二 四 k 0 k 0 k 0 k 0 3 画函数图像的基本步骤是 列表 描点 连线 知识回顾 二次函数的图像和性质 y ax2的函数图像y ax2 k的函数图像y a x h 2的函数图像y a x h 2 k的函数图像y ax2 bx c的函数图像 二次函数的图像和性质 y ax2的函数图像y ax2 k的函数图像y a x h 2的函数图像y a x h 2 k的函数图像y ax2 bx c的函数图像 画形如y ax2的函数图像 1 画函数y x2的图像 观察y x2的表达式 选择适当x值 并计算相应的y值 完成下表 0 0 描点 连线 y x2 二次函数y x2的图象形如物体抛射时所经过的路线 我们把它叫做抛物线 二次函数y x2的图象是一条曲线 它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线 只是这条曲线开口向上 这条曲线叫做抛物线y x2 二次函数的图象都是抛物线 一般地 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象叫做抛物线y ax2 bx c 思考 这个二次函数图象有什么特征 1 形状是开口向上的抛物线 2 图象关于y轴对称 3 有最低点 没有最高点 y轴是抛物线y x2的对称轴 抛物线y x2与它的对称轴的交点 0 0 叫做抛物线y x2的顶点 它是抛物线y x2的最低点 实际上 每条抛物线都有对称轴 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点 顶点是抛物线的最低点或最高点 思考 这个二次函数图象有什么特征 1 形状是开口向上的抛物线 2 图象关于y轴对称 3 有最低点 没有最高点 例1在同一直角坐标系中 画出函数的图象 解 分别填表 再画出它们的图象 如图 函数的图象与函数y x2的图象相比 有什么共同点和不同点 相同点 开口都向上 顶点是原点而且是抛物线的最低点 对称轴是y轴 不同点 a要越大 抛物线的开口越小 你画出的图象与图中相同吗 8 4 5 2 0 5 0 8 4 5 2 0 5 8 4 5 2 0 5 0 8 4 5 2 0 5 对比抛物线 y x2和y x2 它们关于x轴对称吗 一般地 抛物线y ax2和y ax2呢 一般地 抛物线y ax2的对称轴是 顶点是 当a 0时 抛物线的开口 顶点是抛物线的最 点 a越大 抛物线的开口越 当a 0时 抛物线的开口 顶点是抛物线的最 点 a越大 抛物线的开口越 向下 高 大 练习 函数的图象是 顶点坐标是 对称轴是 开口方向是 y轴 原点 向上 低 小 3 试说出函数y ax2 a是常数 a 0 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 并填写下表 向上 向下 y轴 y轴 0 0 0 0 a 越大开口越小 a 越小开口越大 反馈测试 抛物线y 4x2中的开口方向是 顶点坐标是 对称轴是 抛物线y x2的开口方向是 顶点坐标是 对称轴是 3 二次函数y ax2与y 2x2 开口大小 形状一样 开口方向相反 则a 二次函数的图像和性质 y ax2的函数图像y ax2 k的函数图像y a x h 2的函数图像y a x h 2 k的函数图像y ax2 bx c的函数图像 4 二次函数y 2x2 1的图象与二次函数y 2x2的图象开口方向 对称轴和顶点坐标是否相同 它们有什么关系 我们应该采取什么方法来研究这个问题 画出函数y 2x2和函数y 2x2 1的图象 并加以比较 1 二次函数y 2x 1的图象与二次函数y 2x 的图象有什么关系 0 1 0 1 问题1 当自变量x取同一数值时 这两个函数的函数值之间有什么关系 反映在图象上 相应的两个点之间的位置又有什么关系 2 函数y 2x2 1的图象可以看成是将函数y 2x2的图象向上平移一个单位得到的 1 函数y 2x2 1与y 2x2的图象开口方向 对称轴相同 但顶点坐标不同 函数y 2x2的图象的顶点坐标是 0 0 而函数y 2x2 1的图象的顶点坐标是 0 1 函数y 2x2 1和y 2x2的图象有什么联系 你能由函数y 2x2的性质 得到函数y 2x2 1的一些性质吗 完成填空 当x 时 函数值y随x的增大而减小 当x 时 函数值y随x的增大而增大 当x 时 函数取得最 值 最 值y 以上就是函数y 2x2 1的性质 0 0 0 小 小 1 y 在同一直角坐标系中画出函数的图像 a 0 0 2 0 2 试说出函数y ax2 k a k是常数 a 0 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 并填写下表 向上 向下 y轴 y轴 0 k 0 k a 越大开口越小 反之开口越大 练习1 把抛物线向下平移2个单位 可以得到抛物线 再向上平移3个单位 可以得到抛物线 2 对于函数y x2 1 当x时 函数值y随x的增大而增大 当x时 函数值y随x的增大而减小 当x时 函数取得最值 为 0 0 0 大 1 3 函数y 3x2 5与y 3x2的图象的不同之处是 A 对称轴B 开口方向C 顶点D 形状4 已知抛物线y 2x2 1上有两点 x1 y1 x2 y2 且x1 x2 0 则y1y2 填 或 5 已知抛物线 把它向下平移 得到的抛物线与x轴交于A B两点 与y轴交于C点 若 ABC是直角三角形 那么原抛物线应向下平移几个单位 C 二次函数y ax2 k的性质 开口向上 开口向下 a的绝对值越大 开口越小 关于y轴对称 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减 k 0 k 0 k 0 k 0 0 k 二次函数的图像和性质 y ax2的函数图像y ax2 k的函数图像y a x h 2的函数图像y a x h 2 k的函数图像y ax2 bx c的函数图像 探究 解 列表 画出二次函数 的图像 并考虑它们的开口方向 对称轴和顶点 2 0 0 5 2 0 5 8 4 5 8 2 0 5 0 4 5 2 0 5 x 1 讨论 抛物线与的开口方向 对称轴 顶点 抛物线与抛物线有什么关系 讨论 向左平移1个单位 归纳 向右平移1个单位 练习 在同一坐标系中作出下列二次函数 观察三条抛物线的相互关系 并分别指出它们的开口方向 对称轴及顶点 顶点 0 0 顶点 2 0 直线x 2 直线x 2 向右平移2个单位 向左平移2个单位 顶点 2 0 对称轴 y轴即直线 x 0 练习 在同一坐标系中作出下列二次函数 观察三条抛物线的相互关系 并分别指出它们的开口方向 对称轴及顶点 向右平移2个单位 向右平移2个单位 向左平移2个单位 向左平移2个单位 一般地 抛物线y a x h 2有如下特点 1 对称轴是x h 2 顶点是 h 0 3 抛物线y a x h 2可以由抛物线y ax2向左或向右平移 h 得到 h 0 向右平移 h 0 向左平移 归纳 二次函数y a x 2的性质 开口向上 开口向下 a的绝对值越大 开口越小 直线 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减 h 0 h 0 h 0 h 0 0 练习 y 2 x 3 2 1 说出抛物线的开口方向 对称轴 顶点 最大值或最小值各是什么及增减性如何 y 2 x 3 2 y 2 x 2 2 y 3 x 1 2 2 若将抛物线y 2 x 2 2的图象的顶点移到原点 则下列平移方法正确的是 A 向上平移2个单位B 向下平移2个单位C 向左平移2个单位D 向右平移2个单位 C 3 抛物线y 4 x 3 2的开口方向 对称轴是 顶点坐标是 抛物线是最点 当x 时 y有最值 其值为 抛物线与x轴交点坐标 与y轴交点坐标 向上 直线x 3 3 0 低 3 小 0 3 0 0 36 小结 3 抛物线y ax2 k有如下特点 当a 0时 开口向上 当a 0时 开口向上 2 对称轴是y轴 3 顶点是 0 k 抛物线y a x h 2有如下特点 1 当a 0时 开口向上 当a 0时 开口向上 2 对称轴是x h 3 顶点是 h 0 2 抛物线y ax2 k可以由抛物线y ax2向上或向下平移 k 得到 抛物线y a x h 2可以由抛物线y ax2向左或向右平移 h 得到 k 0 向上平移 k 0向下平移 h 0 向右平移 h 0向左平移 1 抛物线y ax2 k 抛物线y a x h 2和抛物线y ax2的形状完全相同 开口方向一致 1 当a 0时 开口向上 当a 0时 开口向下 如何平移 二次函数的图像和性质 y ax2的函数图像y ax2 k的函数图像y a x h 2的函数图像y a x h 2 k的函数图像y ax2 bx c的函数图像 在同一坐标系中作出二次函数y 3x2和y 3 x 1 2的图象 观察图象 回答问题 1 函数y 3 x 1 2的图象与y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 2 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x的增大而减少 在同一坐标系中 作出二次函数y 3x y 3 x 1 2和y 3 x 1 2 2的图象 根据图象回答问题 三个图象有什么关系 它们的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 对称轴仍是平行于y轴的直线x 1 增减性与y 3x2类似 顶点是 1 2 二次函数y 3 x 1 2 2的图象可以看作是抛物线y 3x2先沿着x轴向右平移1个单位 再沿直线x 1向上平移2个单位后得到的 开口向上 当X 1时有最小值 且最小值 2 先猜一猜 再做一做 在同一坐标系中作二次函数y 3 x 1 2 2 会是什么样 X 1 对称轴仍是平行于y轴的直线 x 1 增减性与y 3x2类似 顶点是 1 2 二次函数y 3 x 1 2 2的图象可以看作是抛物线y 3x2先沿着x轴向右平移1个单位 再沿直线x 1向下平移2个单位后得到的 二次函数y 3 x 1 2 2的图象与抛物线y 3x2和y 3 x 1 2有何关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 开口向上 当x 1时y有最小值 且最小值 2 二次函数y 3 x 1 2 2和y 3 x 1 2 y 3x 的图象有什么关系 它们的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 再作图看一看 X 1 在同一坐标系中 作出二次函数y 3 x 1 2 2 y 3 x 1 2 2 y 3x 和y 3 x 1 2的图象 根据图像回答问题 对称轴仍是平行于y轴的直线 x 1 增减性与y 3x2类似 顶点分别是 1 2 和 1 2 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象可以看作是抛物线y 3x2先沿着x轴向右平移1个单位 再沿直线x 1向上 或向下 平移2个单位后得到的 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象和抛物线y 3x y 3 x 1 2有什么关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 开口向下 当x 1时y有最大值 且最大值 2 或最大值 2 想一想 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象和抛物线y 3x y 3 x 1 2 y X 1 对称轴仍是平行于y轴的直线 x 1 增减性与y 3x2类似 顶点分别是 1 2 和 1 2 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象可以看作是抛物线y 3x2先沿着x轴向左平移1个单位 再沿直线x 1向上 或向下 平移2个单位后得到的 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象和抛物线y 3x y 3 x 1 2有什么关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 开口向下 当x 1时y有最大值 且最大值 2 或最大值 2 先想一想 再总结二次函数y a x h 2 k的图象和性质 x 1 一般地 由y ax 的图象便可得到二次函数y a x h k的图象 y a x h k a 0 的图象可以看成y ax 的图象先沿x轴整体左 右 平移 h 个单位 当h 0时 向右平移 当h0时 向上平移 当k 0时 向下平移 得到的 因此 二次函数y a x h k的图象是一条抛物线 它的开口方向 对称轴和顶点坐标与a h k的值有关 归纳 用平移观点看函数 抛物线与抛物线形状相同 位置不同 二次函数特点 归纳 1 图象是一条抛物线 对称轴为直线x h 顶点为 h k 2 当a 0时 开口向上 当x h时 y取最小值为k 在对称轴的左侧 y随x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随x的增大而增大 3 当a 0时 开口向下 当x h时 y取最大值为k 在对称轴的左侧 y随x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随x的增大而减小 二次函数y a x h 2 k的图象和性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y a x h 2 k a 0 y a x h 2 k a 0 h k h k 直线x h 直线x h 由h和k的符号确定 由h和k的符号确定 向上 向下 当x h时 最小值为k 当x h时 最大值为k 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 根据图形填表 1 指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值 对于二次函数y 3 x 1 2 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 二次函数y 3 x 1 2 4呢 2 1 二次函数y 3 x 1 2的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 2 二次函数y 3 x 2 2 4的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 2 不同点 只是位置不同 1 顶点不同 分别是 h k 和 0 0 2 对称轴不同 分别是直线x h和y轴 3 最值不同 分别是k和0 3 联系 y a x h k a 0 的图象可以看成y ax 的图象先沿x轴整体左 右 平移 h 个单位 当h 0时 向右平移 当h0时向上平移 当k 0时 向下平移 得到的 1 相同点 1 形状相同 图像都是抛物线 开口方向相同 2 都是轴对称图形 3 都有最 大或小 值 4 a 0时 开口向上 在对称轴左侧 y都随x的增大而减小 在对称轴右侧 y都随x的增大而增大 a 0时 开口向下 在对称轴左侧 y都随x的增大而增大 在对称轴右侧 y都随x的增大而减小 二次函数y a x h k与y ax 的关系 1 指出下列函数图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 必要时作出草图进行验证 2 填写下表 二次函数的图像和性质 y ax2的函数图像y ax2 k的函数图像y a x h 2的函数图像y a x h 2 k的函数图像y ax2 bx c的函数图像 探究 如何画出的图象呢 我们知道 像y a x h 2 k这样的函数 容易确定相应抛物线的顶点为 h k 二次函数也能化成这样的形式吗 配方 y x 6 3 2 1 2 你知道是怎样配方的吗 1 提 提出二次项系数 2 配 括号内配成完全平方 3 化 化成顶点式 求次函数y ax bx c的对称轴和顶点坐标 函数y ax bx c的顶点是 配方 提取二次项系数 配方 加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 整理 前三项化为平方形式 后两项合并同类项 化简 去掉中括号 这个结果通常称为求顶点坐标公式 函数y ax bx c的对称轴 顶点坐标是什么 1 说出下列函数的开口方向 对称轴 顶点坐标 函数y ax bx c的对称轴 顶点坐标是什么 y 2x2 5x 3 y x 3 x 2 y x2 4x 9 求下列二次函数图像的开口 顶点 对称轴 请画出草图 小试牛刀 3 9 6 1 例2 已知函数y ax2 bx c的图象如下图所示 x 为该图象的对称轴 根据图象信息你能得到关于系数a b c的一些什么结论 y 1 x 1 抛物线y 2x2 8x 11的顶点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2 不论k取任何实数 抛物线y a x k 2 k a 0 的顶点都在 A 直线y x上B 直线y x上C x轴上D y轴上3 若二次函数y ax2 4x a 1的最小值是2 则a的值是 A4B 1C 3D 4或 1 C B A 4 若二次函数y ax2 bx c的图象如下 与x轴的一个交点为 1 0 则下列各式中不成立的是 A b2 4ac 0B 0 5 若把