高中理科数学公式大全(完整版)

精品文档 1欢迎下载 高中数学公式大全 最新整理版 高中数学公式大全 最新整理版 01 01 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 1 1 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 2 德摩根公式德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 3 3 包含关系包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 4 容斥原理容斥原理 card ABcardAcardBcard AB 5 5 集合 集合的子集个数共有的子集个数共有 个 真个 真 12 n a aa 2n 子集有子集有 1 1 个 非空子集有个 非空子集有 1 1 个 非空的真子个 非空的真子2n2n 集有集有 2 2 个个 2n 6 6 二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 1 1 一般式一般式 2 0 f xaxbxc a 2 2 顶点式顶点式 2 0 f xa xhk a 3 3 零点式零点式 12 0 f xa xxxxa 7 7 一元二次方程的实根分布一元二次方程的实根分布 依据 若依据 若 则方程 则方程在在 0f m f n 0 xf 区间区间内至少有一个实根内至少有一个实根 m n 设设 则 则qpxxxf 2 1 1 方程方程在区间在区间内有根的充要条件内有根的充要条件0 xf m 为为或或 0 mf 2 40 2 pq p m 2 2 方程 方程在区间在区间内有根的充要条件为内有根的充要条件为0 xf m n 或或或或或或 0f m f n 2 0 0 40 2 f m f n pq p mn 0 0 nf mf 0 0 mf nf 3 3 方程 方程在区间在区间内有根的充要条件内有根的充要条件0 xf n 为为或或 0f m 2 40 2 pq p m 8 8 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依 据据 1 1 在给定区间在给定区间的子区间的子区间 形如 形如 L 不同 上含参数的二次不等式不同 上含参数的二次不等式 为参数为参数 恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 0f x t t min 0 f x txL 2 2 在给定区间在给定区间的子区间上含参数的二次的子区间上含参数的二次 不等式不等式 为参数为参数 恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 0f x t t 0 man f x txL 3 3 恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是0 24 cbxaxxf 或或 0 0 0 a b c 2 0 40 a bac 9 9 真值表真值表 非 非 或 或 且 且 真真真真假假真真真真 真真假假假假真真假假 假假真真真真真真假假 假假假假真真假假假假 10 10 四种命题的相互关系四种命题的相互关系 原命题 与逆命题互逆 与否命题互否 与逆否原命题 与逆命题互逆 与否命题互否 与逆否 命题互为逆否 命题互为逆否 逆命题 与原命题互逆 与逆否命题互否 与否逆命题 与原命题互逆 与逆否命题互否 与否 命题互为逆否 命题互为逆否 否命题 与原命题互否 与逆命题互为逆否 与否命题 与原命题互否 与逆命题互为逆否 与 逆否命题互逆 逆否命题互逆 逆否命题 与逆命题互否 与否命题互逆 与原逆否命题 与逆命题互否 与否命题互逆 与原 命题互为逆否 命题互为逆否 15 15 充要条件充要条件 1 1 充分条件 若 充分条件 若 则 则是是充分条件充分条件 pq pq 2 2 必要条件 若 必要条件 若 则 则是是必要条件必要条件 qp pq 3 3 充要条件 若 充要条件 若 且 且 则 则是是pq qp p 充要条件充要条件 q 注 如果甲是乙的充分条件 则乙是甲的必要条注 如果甲是乙的充分条件 则乙是甲的必要条 件 反之亦然件 反之亦然 02 02 函数函数 11 11 函数的单调性函数的单调性 1 1 设设那么那么 2121 xxbaxx 1212 0 xxf xf x 上是增函数 上是增函数 baxf xx xfxf 0 21 21 在 1212 0 xxf xf x 上是减函数上是减函数 baxf xx xfxf 0 21 21 在 2 2 设函数设函数在某个区间内可导 如果在某个区间内可导 如果 xfy 则 则为增函数 如果为增函数 如果 则 则0 x f xf0 x f 为减函数为减函数 xf 12 12 如果函数如果函数和和都是减函数都是减函数 则在公共则在公共 xf xg 精品文档 2欢迎下载 定义域内定义域内 和函数和函数也是减函数也是减函数 如果函数如果函数 xgxf 和和在其对应的定义域上都是减函数在其对应的定义域上都是减函数 则则 ufy xgu 复合函数复合函数是增函数是增函数 xgfy 1313 奇偶函数的图象特征 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y y 轴对称轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 如果一个函数的图象关于那么这个函数是奇函数 如果一个函数的图象关于 y y 轴对称 那么这个函数是偶函数 轴对称 那么这个函数是偶函数 14 14 若函数若函数是偶函数 则是偶函数 则 xfy 若函数 若函数是偶函是偶函 axfaxf axfy 数 则数 则 axfaxf 15 15 对于函数对于函数 xfy Rx 恒成立恒成立 则函数则函数的对称轴是的对称轴是 xbfaxf xf 函数函数 2 ba x 两个函数两个函数与与 的图的图 axfy xbfy 象关于直线象关于直线对称对称 2 ba x 1616 若若 则函数则函数的图象关的图象关 axfxf xfy 于点于点对称对称 0 2 a 若若 则函数则函数为周期为周期 axfxf xfy 为为的周期函数的周期函数 a2 17 17 函数函数的图象的对称性的图象的对称性 yf x 1 1 函数函数的图象关于直线的图象关于直线对称对称 yf x xa f axf ax 2 faxf x 2 2 函数函数的图象关于直线的图象关于直线对称对称 yf x 2 ab x f amxf bmx f abmxf mx 18 18 两个函数图象的对称性两个函数图象的对称性 1 1 函数函数与函数与函数的图象关于的图象关于 yf x yfx 直线直线 即即轴轴 对称对称 0 x y 2 2 函数函数与函数与函数的的 yf mxa yf bmx 图象关于直线图象关于直线对称对称 2 ab x m 3 3 函数函数和和的图象关于直线的图象关于直线 xfy 1 xfy y xy x 对称对称 19 19 若将函数若将函数的图象右移的图象右移 上移 上移个单个单 xfy ab 位 得到函数位 得到函数的图象 若将曲线的图象 若将曲线baxfy 的图象右移的图象右移 上移 上移个单位 得到曲线个单位 得到曲线0 yxfab 的图象的图象 0 byaxf 2020 互为反函数的两个函数的关系 互为反函数的两个函数的关系 abfbaf 1 21 21 若函数若函数存在反函数存在反函数 则其反函数则其反函数 bkxfy 为为 并不是并不是 而函而函 1 1 bxf k y 1 bkxfy 数数是是的反函数的反函数 1 bkxfy 1 bxf k y 22 22 几个常见的函数方程几个常见的函数方程 1 1 正比例函数正比例函数 f xcx 1 f xyf xf yfc 2 2 指数函数指数函数 x f xa 1 0f xyf x f yfa 3 3 对数函数对数函数 logaf xx 1 0 1 f xyf xf yf aaa 4 4 幂函数幂函数 f xx 1 f xyf x f yf 5 5 余弦函数余弦函数 正弦函数正弦函数 cosf xx sing xx f xyf x f yg x g y 0 0 1 lim1 x g x f x 23 23 几个函数方程的周期几个函数方程的周期 约定约定 a 0 a 0 1 1 则 则的周期的周期 T aT a axfxf xf 2 2 0 axfxf 或或 0 1 xf xf axf 或或 1 f xa f x 0 f x 或或 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x 则则的周期的周期 T 2aT 2a xf 3 3 则 则的的 0 1 1 xf axf xf xf 周期周期 T 3aT 3a 4 4 且且 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 则 则 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa 的周期的周期 T 4aT 4a xf 5 5 2 3 4 f xf xaf xa f xaf xa 则则的的 2 3 4 f x f xa f xa f xa f xa xf 周期周期 T 5aT 5a 6 6 则 则的周期的周期 axfxfaxf xf T 6a T 6a 24 24 分数指数幂分数指数幂 1 1 且 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 精品文档 3欢迎下载 2 2 且 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 2525 根式的性质 根式的性质 1 1 n n aa 2 2 当 当为奇数时 为奇数时 n nn aa 当当为偶数时 为偶数时 n 0 0 nn a a aa a a 2626 有理指数幂的运算性质 有理指数幂的运算性质 1 1 0 rsr s aaaar sQ 2 2 0 rsrs aaar sQ 3 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 注 若若 a a 0 0 p p 是一个无理数 则是一个无理数 则 a ap p表示一个确表示一个确 定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数 指数幂都适用指数幂都适用 27 27 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 28 28 对数的换底公式对数的换底公式 且且 且且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论推论 且且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 且且 0m n 1m 1n 0N 2929 对数的四则运算法则 对数的四则运算法则 若若 a a 0 0 a 1a 1 M M 0 0 N N 0 0 则 则 1 1 log loglog aaa MNMN 2 2 logloglog aaa M MN N 3 3 loglog n aa MnM nR 03 03 数数 列列 30 30 平均增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N 平均增长率为 平均增长率为 则 则p 对于时间对于时间的总产值的总产值 有 有 xy 1 xyNp 31 31 数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 数列数列的前的前 n n 项的和为项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 32 32 等差数列的通项公式等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 33 33 等比数列的通项公式等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 34 34 等比差数列等比差数列 n a 的通项公式为的通项公式为 11 0 nn aqad ab q 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 04 04 三角函数三角函数 3535 常见三角不等式 常见三角不等式 1 1 若 若 则 则 0 2 x sintanxxx 2 2 若若 则 则 0 2 x 1sincos2xx 3 3 sin cos 1xx 36 36 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 37 37 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看 象限 象限 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 精品文档 4欢迎下载 38 38 和角与差角公式和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 平方正平方正 22 sin sin sinsin 弦公式弦公式 22 cos cos cossin 辅助角辅助角sincosab 22 sin ab 所在象限由点所在象限由点的象限决定的象限决定 a btan b a 39 39 二倍角公式二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 40 40 三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数 x Rx R 及函数及函数sin yx x R x R A A 为常数 且为常数 且cos yx A A 0 0 0 0 的周期的周期 2 T 函数函数 A A tan yx 2 xkkZ 为常数 且为常数 且 A A 0 0 0 0 的周期的周期 T 41 41 正弦定理正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 42 42 余弦定理余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 43 43 面积定理面积定理 1 1 分分 111 222 abc Sahbhch abc hhh 别表示别表示 a a b b c c 边上的高 边上的高 2 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 44 44 三角形内角和定理三角形内角和定理 在在 ABC ABC 中 有中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 45 45 实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律 设设 为实数 那么为实数 那么 1 1 结合律 结合律 a a a a 2 2 第一分配律 第一分配律 a a a a a a 3 3 第二分配律 第二分配律 a b a b a b a b 46 46 向量的数量积的运算律 向量的数量积的运算律 1 1 a a b b b b a a 交换律 交换律 2 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 3 a a b b c c a a c c b c b c 47 47 平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 e e1 1 e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量 那是同一平面内的两个不共线向量 那 么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 1 1 2 2 使得 使得 a a 1 1e e1 1 2 2e e2 2 不共线的向量不共线的向量 e e1 1 e e2 2叫做表示这一平面内所有向量叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底 的一组基底 4848 向量平行的坐标表示 向量平行的坐标表示 设设 a a b b 且 且 b b0 0 则 则 a a b bb b0 0 11 x y 22 xy A 1221 0 x yx y 49 49 a a与与 b b 的数量积的数量积 或内积或内积 a a b b a a b cos b cos 50 50 a ba b 的几何意义的几何意义 数量积数量积 a ba b 等于等于 a a 的长度的长度 a a 与与 b b 在在 a a 的方向上的方向上 的投影的投影 b cos b cos 的乘积 的乘积 51 51 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 1 1 设设 a a b b 则 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 2 2 设设 a a b b 则 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 3 3 设设 A A B B 则则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 4 设设 a a 则 则a a x yR xy 5 5 设设 a a b b 则 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 x xy y 52 52 两向量的夹角公式两向量的夹角公式 a a b b 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 x y 22 xy 53 53 平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB A A B B 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 54 54 向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设设 a a b b 且 且 b b0 0 则 则 11 x y 22 xy A bA bb ab a 1221 0 x yx y a ab ab a0 0 a a b 0 b 0 1212 0 x xy y 55 55 线段的定比分公式线段的定比分公式 设设 是线段是线段的的 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 精品文档 5欢迎下载 分点分点 是实数 且是实数 且 则 则 12 PPPP 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 56 56 三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABC ABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为 11 A x y 则则 ABC ABC 的重心的坐标是的重心的坐标是 22 B x y 33 C x y 123123 33 xxxyyy G 57 57 点的平移公式点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP 注注 图形图形 F F 上的任意一点上的任意一点 P xP x y y 在平移后图形在平移后图形 上的对应点为上的对应点为 且 且的坐标为的坐标为 F P x y PP h k 58 58 按向量平移按向量平移 的几个结论的几个结论 1 1 点 点按向量按向量 a a 平移后得到点平移后得到点 P x y h k P xh yk 2 2 函数函数的图象的图象按向量按向量 a a 平移平移 yf x C h k 后得到图象后得到图象 则则的函数解析式为的函数解析式为 C C yf xhk 3 3 图象图象按向量按向量 a a 平移后得到图象平移后得到图象 C h kC 若若的解析式的解析式 则则的函数解析式为的函数解析式为C yf x C yf xhk 4 4 曲线曲线 按向量按向量 a a 平移后得平移后得C 0f x y h k 到图象到图象 则则的方程为的方程为 C C 0f xh yk 5 5 向量向量 m m 按向量按向量 a a 平移后得到的平移后得到的 x y h k 向量仍然为向量仍然为 m m x y 59 59 三角形五三角形五 心心 向量形式的充要条件向量形式的充要条件 设设为为所在平面上一点 角所在平面上一点 角所对边所对边OABC A B C 长分别为长分别为 则 则 a b c 1 1 为为的外心的外心 OABC 222 OAOBOC 2 2 为为的重心的重心 OABC 0OAOBOC 3 3 为为的垂心的垂心OABC OA OBOB OCOC OA 4 4 为为的内心的内心OABC 0aOAbOBcOC 5 5 为为的的的旁心的旁心OABC A aOAbOBcOC 06 06 不不 等等 式式 60 60 常用不等式 常用不等式 1 1 当且仅当当且仅当 a a b b a bR 22 2abab 时取时取 号号 2 2 当且仅当当且仅当 a a b b a bR 2 ab ab 时取时取 号号 3 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 4 柯西不等式 柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 5 bababa 61 61 极值定理极值定理 已知已知都是正数 则有都是正数 则有yx 1 1 若积 若积是定值是定值 则当 则当时和时和有有xypyx yx 最小值最小值 p2 2 2 若和 若和是定值是定值 则当 则当时积时积有有yx syx xy 最大值最大值 2 4 1 s 推广推广 已知已知 则有 则有Ryx xyyxyx2 22 1 1 若积 若积是定值是定值 则当则当最大时最大时 xy yx 最大 最大 yx 当当最小时最小时 最小最小 yx yx 2 2 若和 若和是定值是定值 则当则当最大时最大时 yx yx 最小 最小 xy 当当最小时最小时 最大最大 yx xy 62 62 含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当当 a a 0 0 时 有时 有 2 2 xaxaaxa 或或 22 xaxaxa xa 63 63 无理不等式无理不等式 1 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 2 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 3 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 64 64 指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式 1 1 当当时时 1a f xg x aaf xg x 精品文档 6欢迎下载 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 2 当当时时 01a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 07 07 直线和圆的方程直线和圆的方程 65 65 斜率公式斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 66 66 直线的五种方程直线的五种方程 1 1 点斜式 点斜式 直线直线 过点过点 11 yyk xx l 且斜率为 且斜率为 111 P x yk 2 2 斜截式 斜截式 b b 为直线为直线 在在 y y 轴上的截轴上的截ykxb l 距距 3 3 两点式 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 4 截距式截距式 分别为直线的横 分别为直线的横 1 xy ab ab 纵截距 纵截距 0ab 5 5 一般式 一般式 其中其中 A A B B 不同时不同时0AxByC 为为 0 0 67 67 两条直线的平行和垂直两条直线的平行和垂直 1 1 若若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 2 若若 1111 0lA xB yC 且且 A A1 1 A A2 2 B B1 1 B B2 2都不为零都不为零 2222 0lA xB yC 111 12 222 ABC ll ABC 121212 0llA AB B 68 68 夹角公式夹角公式 1 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lA xB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线直线时 直线时 直线l l1 1与与l l2 2的夹角是的夹角是 12 ll 2 69 69 到到的角公式的角公式 1 l 2 l 1 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lA xB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线直线时 直线时 直线l l1 1到到l l2 2的角是的角是 12 ll 2 7070 四种常用直线系方程 四种常用直线系方程 1 1 定点直线系方程 经过定点定点直线系方程 经过定点的直线的直线 000 P xy 系方程为系方程为 除直线除直线 其中其中是是 00 yyk xx 0 xx k 待定的系数待定的系数 经过定点经过定点的直线系方程为的直线系方程为 000 P xy 其中其中是待定的系数 是待定的系数 00 0A xxB yy A B 2 2 共点直线系方程 经过两直线共点直线系方程 经过两直线 的交点的交点 1111 0lA xB yC 2222 0lA xB yC 的直线系方程为的直线系方程为 除除 其 其 111222 0AxB yCA xB yC 2 l 中中 是待定的系数 是待定的系数 3 3 平行直线系方程 直线平行直线系方程 直线中当斜中当斜ykxb 率率 k k 一定而一定而 b b 变动时 表示平行直线系方程 与直变动时 表示平行直线系方程 与直 线线平行的直线系方程是平行的直线系方程是0AxByC 是参变量 是参变量 0AxBy 0 4 4 垂直直线系方程 与直线垂直直线系方程 与直线 A 0 A 0 B 0 B 0 垂直的直线系方程垂直的直线系方程0AxByC 是是 是参变量 是参变量 0BxAy 71 71 点到直线的距离点到直线的距离 点点 直线直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl 0AxByC 72 72 圆的四种方程圆的四种方程 1 1 圆的标准方程 圆的标准方程 222 xaybr 2 2 圆的一般方程 圆的一般方程 22 0 xyDxEyF 0 0 22 4DEF 3 3 圆的参数方程 圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 4 圆的直径式方程 圆的直径式方程 圆的直径的端圆的直径的端 1212 0 xxxxyyyy 点是点是 11 A x y 22 B xy 精品文档 7欢迎下载 73 73 圆系方程圆系方程 1 1 过点过点 的圆系方程是的圆系方程是 11 A x y 22 B xy 1212112112 0 xxxxyyyyxxyyyyxx 其其 1212 0 xxxxyyyyaxbyc 中中是直线是直线的方程的方程 是待定的系是待定的系0axbyc AB 数 数 2 2 过直线过直线 与圆与圆 l0AxByC C 的交点的圆系方程是的交点的圆系方程是 22 0 xyDxEyF 是待是待 22 0 xyDxEyFAxByC 定的系数 定的系数 3 3 过圆过圆 与圆与圆 1 C 22 111 0 xyD xE yF 的交点的圆系方程是的交点的圆系方程是 2 C 22 222 0 xyD xE yF 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 是待定的系数 是待定的系数 74 74 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点点与圆与圆的位置的位置 00 P xy 222 rbyax 关系有三种关系有三种 若若 则 则 22 00 daxby 点点在圆外在圆外 点点在圆上在圆上 dr Pdr P 点点在圆内在圆内 dr P 75 75 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线直线与圆与圆0 CByAx 的位置关系有三种的位置关系有三种 222 rbyax 0 交交rd 0 交交rd 0 交交rd 其中其中 22 BA CBbAa d 76 76 两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为 O O1 1 O O2 2 半径分别为 半径分别为 r r1 1 r r2 2 dOO 21 交交交交交交4 21 rrd 交交交交交交3 21 rrd 交交交交交交2 2121 rrdrr 交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd 77 77 圆的切线方程圆的切线方程 1 1 已知圆已知圆 22 0 xyDxEyF 若已知切点若已知切点在圆上 则切线只有一在圆上 则切线只有一 00 xy 条 其方程是条 其方程是 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 当当圆外时圆外时 00 xy 表示表示 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 过两个切点的切点弦方程 过两个切点的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为过圆外一点的切线方程可设为 再利用相切条件求 再利用相切条件求 k k 这时必 这时必 00 yyk xx 有两条切线 注意不要漏掉平行于有两条切线 注意不要漏掉平行于 y y 轴的切线 轴的切线 斜率为斜率为 k k 的切线方程可设为的切线方程可设为 再 再ykxb 利用相切条件求利用相切条件求 b b 必有两条切线 必有两条切线 2 2 已知圆已知圆 222 xyr 过圆上的过圆上的点的切线方程为点的切线方程为 000 P xy 2 00 x xy yr 斜率为斜率为的圆的切线方程为的圆的切线方程为k 2 1ykxrk 08 08 圆锥曲线方程圆锥曲线方程 78 78 椭圆椭圆的参数方程是的参数方程是 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 79 79 椭圆椭圆焦半径公式焦半径公式 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 8080 椭圆的的内外部 椭圆的的内外部 1 1 点 点在椭圆在椭圆 00 P xy 的内部的内部 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 2 点 点在椭圆在椭圆 00 P xy 的外部的外部 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 81 81 椭圆的切线方程椭圆的切线方程 1 1 椭圆椭圆上一点上一点 22 22 1 0 xy ab ab 处的切线方程是处的切线方程是 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 2 过椭圆 过椭圆外一点外一点 22 22 1 0 xy ab ab 所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 3 椭圆 椭圆与直线与直线 22 22 1 0 xy ab ab 相切的条件是相切的条件是 0AxByC 22222 A aB bc 精品文档 8欢迎下载 96 96 双曲线双曲线的焦半径公式的焦半径公式 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 1 a PFe x c 2 2 a PFex c 82 82 双曲线的内外部双曲线的内外部 1 1 点点在双曲线在双曲线 00 P xy 的内部的内部 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 2 点点在双曲线在双曲线 00 P xy 的外部的外部 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 83 83 双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 1 若双曲线方程为 若双曲线方程为渐近线方程 渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 2 若渐近线方程为若渐近线方程为双双x a b y 0 b y a x 曲线可设为曲线可设为 2 2 2 2 b y a x 3 3 若双曲线与若双曲线与有公共渐近线 可设有公共渐近线 可设1 2 2 2 2 b y a x 为为 焦点在 焦点在 x x 轴上 轴上 焦 焦 2 2 2 2 b y a x 0 0 点在点在 y y 轴上 轴上 84 84 双曲线的切线方程双曲线的切线方程 1 1 双曲线双曲线上一点上一点 22 22 1 0 0 xy ab ab 处的切线方程是处的切线方程是 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 2 过双曲线 过双曲线外一点外一点 22 22 1 0 0 xy ab ab 所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 3 双曲线 双曲线与直线与直线 22 22 1 0 0 xy ab ab 相切的条件是相切的条件是 0AxByC 22222 A aB bc 100 100 抛物线抛物线的焦半径公式的焦半径公式pxy2 2 抛物线抛物线焦半径焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 85 85 抛物线抛物线上的动点可设为上的动点可设为 P Ppxy2 2 或或 P P 其中 其中 2 2 y p y 交 2 2 2 ptptP x y 2 2ypx 86 86 二次函数二次函数 的图象的图象 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 是抛物线 是抛物线 1 1 顶点坐标为 顶点坐标为 2 2 2 4 24 bacb aa 焦点的坐标为焦点的坐标为 3 3 准线方程是 准线方程是 2 41 24 bacb aa 2 41 4 acb y a 87 87 抛物线的内外部抛物线的内外部 1 1 点点在抛物线在抛物线的内部的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点点在抛物线在抛物线的外部的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 2 点点在抛物线在抛物线的内的内 00 P xy 2 2 0 ypx p 部部 2 2 0 ypx p 点点在抛物线在抛物线的外部的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 3 3 点点在抛物线在抛物线的内部的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点点在抛物线在抛物线的外部的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 4 4 点点在抛物线在抛物线的内的内 00 P xy 2 2 0 xpy p 部部 2 2 0 xpy p 点点在抛物线在抛物线的外部的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 88 88 抛物线的切线方程抛物线的切线方程 1 1 抛物线抛物线上一点上一点处的切线方处的切线方pxy2 2 00 P xy 程是程是 00 y yp xx 2 2 过抛物线 过抛物线外一点外一点所引两所引两pxy2 2 00 P xy 条切线的切点弦方程是条切线的切点弦方程是 00 y yp xx 3 3 抛物线 抛物线与直线与直线 2 2 0 ypx p 相切的条件是相切的条件是 0AxByC 2 2pBAC 89 89 两个常见的曲线系方程两个常见的曲线系方程 1 1 过曲线过曲线 的交点的曲的交点的曲 1 0f x y 2 0fx y 线系方程是线系方程是 为参数为参数 12 0f x yfx y 2 2 共焦点的有心圆锥曲线系方程共焦点的有心圆锥曲线系方程 精品文档 9欢迎下载 其中其中 当当 22 22 1 xy akbk 22 max ka b 时时 表示椭圆表示椭圆 当当 22 min ka b 时时 表示双曲线表示双曲线 2222 min max a bka b 90 90 直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或或 22 1212 ABxxyy 2222 211212 1 1tan 1tABkxxxxyyco 弦端点 弦端点 A A 由方程 由方程 2211 yxByx 0 y x F bkxy 消去消去 y y 得到得到 为直线为直线的的0 2 cbxax0 AB 倾斜角 倾斜角 为直线的斜率 为直线的斜率 k 91 91 圆锥曲线的两类对称问题圆锥曲线的两类对称问题 1 1 曲线 曲线关于点关于点成中心对成中心对 0F x y 00 P xy 称的曲线是称的曲线是 00 2 2 0Fx xyy 2 2 曲线 曲线关于直线关于直线 0F x y 成轴对称的曲线是成轴对称的曲线是0AxByC 2222 2 2 0 A AxByCB AxByC F xy ABAB 92 92 四线四线 一方程一方程 对于一般的二次曲线对于一般的二次曲线 用 用代代 22 0AxBxyCyDxEyF 0 x x 2 x 用用代代 用 用代代 用 用代代 用 用 0 y y 2 y 00 2 x yxy xy 0 2 xx x 代代即得方程即得方程 0 2 yy y 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF 曲线的切线 切点弦 中点弦 弦中点方程均是此 曲线的切线 切点弦 中点弦 弦中点方程均是此 方程得到方程得到 09 09 立体几何立体几何 9393 证明直线与直线的平行的思考途径 证明直线与直线的平行的思考途径 1 1 转化为判定共面二直线无交点 转化为判定共面二直线无交点 2 2 转化为二直线同与第三条直线平行 转化为二直线同与第三条直线平行 3 3 转化为线面平行 转化为线面平行 4 4 转化为线面垂直 转化为线面垂直 5 5 转化为面面平行 转化为面面平行 9494 证明直线与平面的平行的思考途径 证明直线与平面的平行的思考途径 1 1 转化为直线与平面无公共点 转化为直线与平面无公共点 2 2 转化为线线平行 转化为线线平行 3 3 转化为面面平行 转化为面面平行 9595 证明平面与平面平行的思考途径 证明平面与平面平行的思考途径 1 1 转化为判定二平面无公共点 转化为判定二平面无公共点 2 2 转化为线面平行 转化为线面平行 3 3 转化为线面垂直 转化为线面垂直 9696 证明直线与直线的垂直的思考途径 证明直线与直线的垂直的思考途径 1 1 转化为相交垂直 转化为相交垂直 2 2 转化为线面垂直 转化为线面垂直 3 3 转化为线与另一线的射影垂直 转化为线与另一线的射影垂直 4 4 转化为线与形成射影的斜线垂直 转化为线与形成射影的斜线垂直 9797 证明直线与平面垂直的思考途径 证明直线与平面垂直的思考途径 1 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 3 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 转化为该直线垂直于另一个平行平面 5 5 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 9898 证明平面与平面的垂直的思考途径 证明平面与平面的垂直的思考途径 1 1 转化为判断二面角是直二面角 转化为判断二面角是直二面角 2 2 转化为线面垂直 转化为线面垂直 99 99 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 1 1 加法交换律 加法交换律 a a b bb b a a 2 2 加法结合律 加法结合律 a a b b c ac a b b c c 3 3 数乘分配律 数乘分配律 a a b ab a b b 100 100 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推平面向量加法的平行四边形法则向空间的推 广广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为 始点的对角线所表示的向量始点的对角线所表示的向量 101 101 共线向量定理共线向量定理 对空间任意两个向量对空间任意两个向量 a a b b 0b b 0 a ba b存在存在 实数实数 使使 a ba b 三点共线三点共线PAB APAB APtAB 1 OPt OAtOB 共线且共线且不共线不共线 AB CD AB CD ABCD 且且不共线不共线 ABtCD ABCD 102 102 共面向量定理共面向量定理 向量向量 p p 与两个不共线的向量与两个不共线的向量 a a b b 共面的共面的存在存在 实数对实数对 使使 x ypaxby 推论推论 空间一点空间一点 P P 位于平面位于平面 MABMAB 内的内的存在有序存在有序 实数对实数对 使使 x yMPxMAyMB 或对空间任一定点或对空间任一定点 O O 有序实数对 有序实数对 使 使 x y OPOMxMAyMB 103 103 对空间任一点对空间任一点和不共线的三点和不共线的三点 A A B B C C 满 满O 足足 则当 则当OPxOAyOBzOC xyzk 时 对于空间任一点时 对于空间任一点 总有 总有 P P A A B B C C 四点四点1k O 共面 当共面 当时 若时 若平面平面 ABCABC 则 则 P P A A B B C C 四四1k O 点共面 若点共面 若平面平面 ABCABC 则 则 P P A A B B C C 四点不共四点不共O 面 面 四点共面四点共面与与 共共 C AB D AD AB AC 面面 ADxAByAC 平面平面 ABCABC 1 ODxy OAxOByOC O 104 104 空间向量基本定理空间向量基本定理 如果三个向量如果三个向量 a a b b c c 不共面 那么对空间任一不共面 那么对空间任一 向量向量 p p 存在一个唯一的有序实数组 存在一个唯一的有序实数组 x x y y z z 使 使 p p xaxa ybyb zczc 推论推论 设设 O O A A B B C C 是不共面的四点 则对空间是不共面的四点 则对空间 精品文档 10欢迎下载 任一点任一点 P P 都存在唯一的三个有序实数 都存在唯一的三个有序实数 x x y y z z 使 使 OPxOAyOBzOC 105 105 向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算 设设a a b b 则则 123 a a a 123 b b b 1 1 a a b b 112233 ab ab ab 2 2 a a b b 112233 ab ab ab 3 3 a a R R 123 aaa 4 4 a a b b 1 1223 3 aba ba b 106 106 设设 A A B B 则 则 111 x y z 222 xyz ABOBOA 212121 xx yy zz 107107 空间的线线平行或垂直 空间的线线平行或垂直 设设 则 则 111 ax y z r 222 bxyz r a b rr P 0 ab b rr rr 12 12 12 xx yy zz ab rr 0a b r r 12121 2 0 x xy yz z 109 109 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 若若 A A B B 则 则 111 x y z 222 xyz A B d ABAB AB 222 212121 xxyyzz 110 110 点点到直线到直线 距离距离Ql 点点在直线在直线 上 上 22 1 ha ba b a Pl 直线直线 的方向向量的方向向量 a a 向量 向量 b b lPA PQ 111 1