常德市一中2017届高三第五次月水平检测理科数学试卷(含答案)

常德市一中常德市一中 2017 届高三第五次月水平检测数学 理科 届高三第五次月水平检测数学 理科 满分 150 分 时量 120 分钟 命题人 詹长刚 1 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 每小题有且只有一个正确选项 分 每小题有且只有一个正确选项 1 已知 是虚数单位 若 则的虚部为 i 12 zii z A B C 1 D 2 1 2 2 已知命题 则的否定形式为 sinpxxx Rp A B 000 sinxxx R 000 sinxxx R C D sinxxx R sinxxx R 3 已知和 若 则 xa1 22 xbab x A 6 B 4 C 2 D 0 4 等比数列的各项为正数 且 n a 56473132310 18 loglogloga aa aaaa 则 A 2 B 8 C 10 D 12 3 log 5 5 执行如图所示的程序框图 若输入 则输出 S 10 n A B C D 5 11 10 11 36 55 72 55 6 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 x y 2 1 xy4 x A B C D 2ln22ln2 2ln4 2ln24 7 已知函数 当时 的概率为 sin3cosf xxx 0 x 1f x A B C D 1 3 1 4 1 5 1 2 8 函数且 的图象恒过定点 若点在直线上 log 3 1 0 a yxa 1 a AA10mxny 其中 则的最小值为 0 0 nm 11 mn A B 223 24 C D 324 34 9 某四棱锥的三视图如图所示 则最长的一条侧棱的长度是 A B C D 2 5294 213 10 已知 满足若的最大值不超过 4 则实数的取值范围是 xy 2 1 0 10 x xym xy 2zxy m A B C D 3 3 0 3 3 0 3 3 11 设双曲线 的上 下焦点分别为 过点的直线与双曲线交于 22 22 1 yx ab 0a 0b 1 F 2 F 1 F 两点 且 则此双曲线的离心率为 PQ 11 2QFPFa 12 0PF PF A 3 B C D 5 5 2 10 2 12 已知是定义在上的函数 其导函数为 若 则不 f xR fx 1f xfx 0 2016f 等式 其中为自然对数的底数 的解集为 20151 x f xe e A B 00 2015 C D 0 02015 2 选择题 本大题共选择题 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 已知的展开式中 的系数为 15 则 用数字填写答案 10 xa 7 x a 14 已知 平面 若 则四面体的外接球C90 A A CA C1 A A C A 顶点都在球面上 的表面积为 15 现有 4 名教师参加说课比赛 共有 4 个备选课题 若每位选手从中有放回地随机选出一个课题进行 说课 其中恰有一个课题没有被这 4 位选中的情况有 种 用数字作答 D AB C 16 凸四边形满足 ABCDADAB 2 BCDC 则四边形的面积的最大值为 ABCD 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 个小题 满分个小题 满分 70 分 第分 第 22 23 为选做题 考生需填涂选作标记 在第为选做题 考生需填涂选作标记 在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按第一题计分 题中任选一题作答 如果多做 则按第一题计分 17 本小题满分 12 分 各项均不相等的等差数列前五项和 且 成等比数列 n a 5 20S 1 a 3 a 7 a 1 求数列的通项公式 2 若为数列的前项和 求 n a n T 1 1 nn a a n n T 18 本小题满分 12 分 中国好声音 是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型TheVoiceofChina 励志专业音乐评论节目 于 2012 年 7 月 13 日在浙江卫视播出 每期节目有四位导师参加 导师背对歌手 当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身 则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导 训练 已知某期 中国好声音 中 6 位选手唱完后 四位导师为其转身的情况如下表所示 导师转身人数 人 4321 获得相应导师转身的选手人数 人 1221 现从这 6 位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况 1 求选出的两人导师为其转身的人数和为 4 的概率 2 记选出的 2 人导师为其转身的人数之和为 求的分布列及数学期望 XX E X 19 如图 在直二面角中 四边形是矩形 EABC ABEF 是以为直角顶点的等腰直2AB 2 3AF ABC A 角三角形 点是线段上的一点 PBF3PF 1 证明 面 BF PAC 2 求二面角的余弦值 ABCP 20 本小题满分 12 分 已知抛物线 C 的标准方程为 M 为抛物线 C 上一动点 0 2 2 ppxy 为其对称轴上一点 直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N 当 A 为抛物线 C 的焦点且 0 0 aaA 直线 MA 与其对称轴垂直时 MON 的面积为 18 1 求抛物线 C 的标准方程 2 记 若 值与 M 点位置无关 则称此时的点 A 为 稳定点 试求出所有 稳定点 11 t AMAN t 若没有 请说明理由 21 已知函数 lnf xxax aR 1 若曲线在点处与直线相切 求的值 yf x 1 1 f32yx a 2 若函数有两个零点 试判断的符号 并证明 2 g xf xkx 1 x 2 x 12 2 xx g 请考生在请考生在 2222 2323 两题中任选一题作答 两题中任选一题作答 注意填涂选作标记注意填涂选作标记 如果多做 则按所做的第一题记分 如果多做 则按所做的第一题记分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线的极坐标方程为OxC 2 sin4cos 1 求曲线的直角坐标方程 C 2 若直线 的参数方程为 为参数 设点 1 1 直线 与曲线相交于l ty tx 5 1 1 5 2 1 tPlCBA 两点 求的值 PBPA 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知 且的最小值为 0 0 ba 11 2 ab ab t 1 求实数 的值 2 解关于的不等式 txtxx 12 12 参考答案 题号 123456789101112 答案 BACCADDABDDC 13 14 15 144 16 2 1 3 2 21 1 即得虚部为 iz 21 2 全称命题的否定为特称命题 3 2 02 2 1 xxxba 4 由题意有 原式 2 7465 3 aaaa103log log log 10 3 5 653109213 aaaaaa 5 程序框图相当于求 110 110 1 14 14 1 12 12 1 110 1 14 1 12 1 222 S 11 5 11 1 1 2 1 11 1 9 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 6 2ln24 2 1 2 4 dx x xS 7 由已知 则 2 0 26 1 3 sin 2 xxxxf 2 1 0 0 2 P 8 由题意得定点12 012 1 2 nmnmA 则 当且仅当时取等号 223 2 3 2211 n m m n n nm m nm nm mn2 9 四条侧棱长分别为 29 13 22 2 10 最大值对应的最优解为 33 4 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2222 m mmmm A 11 若直线交双曲线的两点位于山下两支 则 与题意矛盾 则两点均位于上支 aPFQF2 11 设则 1 xPF axPQaxQFaxQFaxPF22 4 2 2 212 由 解得 又由得 2 2 22 2 QFPQPF ax 2 21 2 2 2 1 FFPFPF 222 4 3 caa 则 2 10 e 12 令 则在上递增 0 1 1 xx e xfxf xg e xf xg xgR 原不等式可化为 即为 解得 2015 1 x e xf 0 gxg 0 xx 13 2 1 15 33 10 aaC 14 外接球球心即为的中点 两个直角三角形的公共斜边的中点 则 PC 34 2 3 2 RSR 亦可放在正方体中观察 找到球心 15 相当于 4 个不同的小球放入 4 个不同的盒子 恰好有一个盒子为空 先打包 再分配 144 3 4 2 4 AC 16 点的轨迹为以为直径的半圆 点的轨迹为以点为焦点的半椭圆 ABDCDB 设 则最大面积必定在点均在的中垂线上时取得 则 1 0 2 xxBDCA BD 令 222 max 112 2 1 2 2 1 xxxxxxxS 2 0 cos x 则 2 1 4 2sin 2 2 2 1 2cos 2 1 2sin 2 1 cos1coscos 22 y 则其最大值为 此时 可以取得 2 21 8 1 0 x 17 解 1 设数列的公差为 则 n ad 即 2 分 又因为 所以 4 分 1 2 111 5 4 520 2 26 ad ada ad 1 2 1 24 2 ad da d 0d 1 2 1 a d 所以 6 分1 n an 2 因为 8 分 1 1111 1212 nn a annnn 12 分 18 解 1 设 6 位选手中 有 4 位导师为其转身 有 3 为导师为其转身 有 2 为导ABCDE 师为其转身 只有 1 位导师为其转身 F 从 6 人中随机抽取两人有种情况 2 分 2 6 15C 其中选出的 2 人导师为其转身人数和为 4 的有种 3 分 211 221 3CC C 故所求概率为 5 分 31 155 P 2 的所有可能取值为 3 4 5 6 7 7 分X 11 21 2 6 2 3 15 C C P X C 1 4 5 P X 11 22 2 6 151 5 153 C C P X C 9 分 112 212 2 6 31 6 155 C CC P X C 11 21 2 6 2 7 15 C C P X C 所以的分布列为X 10 分 X34567 P 2 15 3 15 5 15 3 15 2 15 12 分 23532 345675 1515151515 E X 19 解 1 证明 由题意知 4FB 3 coscos 2 PFABFA 2 分 22 2cos3PAPFFAPF FAPFA AA 222 3912PAPFAF PABF 平面平面 平面平面 ABEF ABCABEF ABCAB 平面 平面 4 分ABAC AC ABCAC ABEF 平面 BF ABEFACBF 平面 6 分PAACA BF PAC 2 由 1 知 两两互相垂直 以为原点 方向为轴的正方向建立如图ABACAFAAB x 所示空间直角坐标系 则 0 0 0 A 2 0 0 B 0 2 0 C 0 0 2 3 F 4BF 3PF 33 0 22 P 8 分 2 2 0 CB 33 2 22 CP 设是平面的法向量 则 nx y z PBC 0 0 n CB n CP A A 取得平面的一个法向量 220 33 20 22 xy xyz 1y PBC 3 1 1 3 n 10 分 又平面的一个法向量 ABC 0 0 1 m 设二面角的平面角为 由题中条件可知 ABCP 0 2 则 3 00 7 3 cos 7 1 1 11 3 n m nm A A A 二面角的余弦值为 12 分ABCP 7 7 20 解 I 由题意 2 11 218 22 22 MON pp SOAMNp 6p 抛物线C的标准方程为 2 12yx II 设 设直线的方程为 联立得 1122 M xyN xy MN xmya 2 12 xmya yx 由对称性 不妨设 2 12120ymya 2 144480 ma 12 12yym 12 12y ya 0m 时 同号 0a 12 120y ya 12 yy 又 22 12 1111 1 1 t AMAN mymy 1 1 1 1 144 144 1 1 1 1 222 2 22 21 2 21 2 2 maa m myy yy m t 不论取何值 均与有关 即时 不是 稳定点 atm0a A 时 异号 又 0a 12 120y ya 12 yy 22 12 1111 1 1 t AMAN mymy 2 212 22 12 1 1 yy t my y 22 1212 222222 12 1 1 411144481 3 1 1 11441 a yyy yma my ymaam 仅当 即时 与无关 此时为 稳定点 1 10 3 a 3a tm 3 0 A 21 解 1 又 所以 3 分 1 a fx x 1 3f 2a 2 函数的定义域是 4 分 g x 0 若 则 令 则 又据题设分析知 0a 22 g xf xkxxkx 0g x 2 0 xkx 0k 又有两个零点 且都大于 0 不成立 5 分 1 0 x 2 1 x k g x0a 据题设知不妨设 6 分 2 1111 2 2222 ln0 ln0 g xxaxkx g xxaxkx 21 0 xx 所以 所以 12121212 lnlnxxaxxk xxxx 12