2007级高等数学(下)及其参考答案

共 7 页第 1 页 2007 级高等数学 下 课程试题 A 卷 分数评卷人 一 计算下列各题 每题 5 分 共 30 分 1 设求 cossin x zeyxy 1 0 x y dz 解 故 coscos x z eyyxy x sincos x z eyxxy y zz dzdxdy xy coscossincos xx eyyxydxeyxxydy 1 0 x y dzedxdy 2 设其中具有二阶连续偏导数 求 zf x xy f 2 z x y 解 12 z fyf x 2 1212 yyy z fyffyf x y 1222212222 fxfy fxxffxyf 3 若由方程 1 确定 zz x y 2sin2323xyzxyz 计算 zz xy 解 方程 1 两边同时关于求导 得 x 2cos23 1313 zz xyz xx 解之 得 2 12cos23 36cos23 xyz z xxyz 共 7 页第 2 页 同理 3 24cos23 36cos23 xyz z yxyz 由 2 3 两式易得1 zz xy 4 计算积分 311 0 y x Idxxedy 解 交换积分次序 得 333 2 111 2 00000 1 22 yy yyy x Idyxedxedyey dy 3311 3 00 1111 1 666 yy edye e 另解 由分部积分公式 3 2 11 0 2 y x x Ixedy d 333 22 1111 3 000 1 226 yxx x xx edyedxedx 31 0 111 1 66 x e e 5 计算其中为下半圆周 22 1 L Ixyds L 2 9 yx 解 将的边界条件代入 得 L 22 19130 LL Ixydsds 6 将函数 0 0 2 0 x f x x 解 0 0 0 11 022 af x dxdxdx 0 0 11 cos0 cos2 cos n af xnxdxnxdxnxdx 0 2 sin0 nx n 1 2 nn 共 7 页第 3 页 0 0 11 sin0 sin2 sin n bf xnxdxnxdxnxdx 0 222 cos1cos11 n nxn nnn 1 2 nn 故 1 2 111 sin 0 n n f xnxxx n 且 分数评卷人 二 计算下列积分 每小题 8 分 共 40 分 1 计算三重积分 其中为旋转抛物面与平面 22 Ixydv 22 2zxy 所围成的空间区域 2z 8z 解一 2 248228 22 02002 2 48288336 r Idr r drdzdr r drdz 解二 22 248222 22 0000 22 102416 336 33 rr Idr r drdzdr r drdz 解三 22 8822 223 2200 2 336 z xyz Idzxyddzdr dr 解四 2 248248 22 00202 2 336 r Idr r drdzdr r drdz 解五 822222 33 000000 336 zz Idzdr drdzdr dr 2 计算其中是由 沿半圆周 2 cos1sin yy AB Iexdxxex dy AB 0 1A 到 2 1xy 0 1 B 解 1 1 2 ABAB L D Ixddy AA 2 11 10 10 21 3 y dyxdx 共 7 页第 4 页 3 计算 其中为曲线方向为从轴 33 Iz dxxz dyy dz A 22 1 2 xy z oz 正向往负向看去沿逆时针方向 解 不难得到的参数方程为 cos 0 2 sin 2 xt tyt z 所以 22 32 00 2sin2cos cos0cos Itttdttdt 4 计算 为圆锥面上介于平面之间的部分 2 S Iz dS S 22 zxy 0 2zz 解 将投影在面上 其投影区域为 Sxoy 22 2 xy Dxy 由圆锥面 得 22 zxy 22 2 2 2222 112 zzxy dSdxdydxdydxdy xy xyxy 故 22 2223 00 228 2 xy SD z dSxydxdydr dr 5 是上半球面的上 33223 S Ix dydzy dzdxxyzdxdy S 22 1zxy 侧 解 取 下侧 并记围成的空间区域为 22 1 0 1Szxy 1 SS 则由高斯公式 1 33223 222 3 S xyxyz Idvxyzdv xyz 球坐标系下 21 22 2 000 6 3sin 5 ddd 共 7 页第 5 页 又 1 3322322 xy SD x dydzy dzdxxyzdxdyxydxdy 21 2 00 2 dr rdr 故 1 6617 55210 S I 分数评卷人 三 应用与证明题 每小题 10 分 共 30 分 1 证明函数在原点处偏导数存在 2 22 0 0 0 0 0 xy x y xyf x y x y 0 0O 但在原点处不可微 0 0O 解 一 因为 所以 0 00 lim 0 0 0 0 lim 00 xx fxf xx 00 0 f x 同理 0 00 y f 二 考察极限 2 3 00 22 02 0 0 0 0 limlim xy x y zfxfy xy xy 因为与有关 2 2 33 0 222 22 lim 1 x yx xy k k xy k 故不存在 因此处在原点处 0 0 0 0 0 lim xy zfxfy f x y 0 0O 不可微 2 设曲线积分与路径无关 其中具有连 2 1 P x P Ixef xydxf x dy f x 续的一阶导数 且求以及当分别为时的值 00 f f x 12 P P 0 0 1 1I 共 7 页第 6 页 解 一 因为积分与路径无关 故 2 1 P x P Ixef xydxf x dy 即 1 x xef xy f x yx x fxf xxe 方程 1 为一阶线性微分方程 由公式 2 1 1 2 dx xdxx x f xexe edxCeC 因为所以即 00 f 0 C 2 2 x x f xe 二 选取沿先沿轴 后平行于轴的折线段路径积分xy 111 000 01 2 e Idxf x dyf xf 3 设有一个小山 取它的地面所在的平面为坐标面 其底部所占的区域为xoy 小山的高度函数为 22 75Dx yxyxy 22 75 h x yxyxy 1 设为区域上一点 若将在该点处的梯度的模记为 000 MxyD h x y 试写出的表达式 00 g xy 00 g xy 2 若欲利用此小山开展攀岩比赛 为此需要寻找一上山坡度最大的点作为 攀登的起点 即要在的边界线上找出使 1 中的达D 22 75xyxy g x y 到最大值的点 试确定攀登起点的位置 共 7 页第 7 页 解 一 故 2 2 hh gradh x yxyyx xy 22 00000000 22 g xygradh xyxyyx 22 0000 558xyx y 二 利用拉格朗日乘数法 令 222 75L x ygx yxy