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第五章分析力学 平衡力学体系的虚功原理以能量为基础的拉格郎日方程哈密顿原理及其应用 5 0分析力学发展简史 5 0发展简史 在以前四章中 牛顿运动定律为解决所有问题的出发点 物体的受力分析是解决问题的必备过程 对于较为复杂的体系 用牛顿定律求解 会有相当大的困难 未知的约束反力 大量的二阶微分方程 1788年 拉格郎日 分析力学 s个独立变量描述力学体系的运动 二阶微分方程 1834年 哈密顿 Hamilton 哈密顿正则方程 2s个独立变量描述力学体系的运动 s个坐标 s个动量 一阶微分方程 1843年 哈密顿 Hamilton 哈密顿原理 莫培督 Maupertuis 欧拉 Euler 泊松 Poisson 高斯 Gauss 雅可毕 Jacobi 5 1约束与广义坐标一 约束的概念 5 1约束与广义坐标 一 约束的概念和分类 体系 一群质点 其中每个质点的运动都与其它质点的位置和运动相关 这个集合成为力学体系 质点组 N个质点 个坐标数目 约束 限制质点自由运动的条件 如平面 轨道等 数学上 表示为一个关于位置 速度 时间的方程 k个约束方程 剩个自由坐标 例子 N个质点被限制在一个平面内运动 那么该平面是一个约束 约束方程就是该平面的方程 自由坐标数目 3N 3N k 3N N 2N个 一条空间曲线 需要几个方程描述 一个空间曲面呢 约束的分类 约束的分类 有时 微分约束可以通过积分变为完整约束 而不能通过积分而改变的微分约束叫不完整约束 不完整系 约束中包括不完整约束的力学体系 二 广义坐标 二 广义坐标 N个质点 k个约束 剩下独立变量数目 自由度 s 3n k 另外选用s个独立参数q1 q2 qn来描述力学体系 广义坐标 相互独立的s个坐标q1 q2 qn 不一定是长度 可以是角度等其他物理量 5 2虚功原理一 实位移与虚位移 5 2虚功原理 一 实位移与虚位移 1 实位移 质点由于运动实际上所发生的位移 以dr表示 2 虚位移 不是由于时间变化而引起 仅仅是根据质点位置和约束条件而可能发生的位移 以dr表示 平面约束 没有约束 二 理想约束 3 特点 实位移具有唯一性 而虚位移则不唯一 甚至无限多 在稳定约束的情况下 实位移是虚位移的一种情况 在非稳定约束下 虚位移并不包含实位移 二 理想约束 1 虚功 作用在质点上的力 含约束反力 F在任意虚位移dr中所做的功 叫做虚功 2 理想约束 作用在一力学体系上的诸约束反力在任意虚位移dr中所做的虚功之和为0 光滑曲线 光滑面刚性杆 光滑铰链等 虚位移不包含实位移的情况 此时 约束反力始终垂直于约束线或面 三 虚功原理 力学体系处于平衡时 三 虚功原理 不可解约束的情况 一个力学体系 具有n个质点 k个约束方程 Fi 主动力的合力Ri 约束力的合力 让每个质点在平衡位置作一次虚位移 相应的虚功为 对所有质点求和 平衡条件 力学体系的各主动力的虚功之和为零 虚功原理 广义力 虚功原理 无约束时 有约束时 dri之间并不互相独立 将dri变成互相独立的变量 对n个质点 k个约束 独立变量s 3n k 广义力 例题 例题 两条均匀杆 用铰链首尾相接 然后把一端通过铰链固定在墙上 在杆的自由端施以力F 试计算杆的张角 解 根据虚功原理 主要考虑主动力和主动力作用点的虚位移 主动力 P1 P2 F 相应的作用点 x1 y1 x2 y2 x3 y3 总的虚功 问题 x1 x2 y3相互独立吗 不 续 自由度数目 4 2 2 选a b为独立变量 写出x1 x2 y3与独立变量的关系 于是 例题 解题步骤 1 找出体系中所有的主动力 在固定点建立坐标系 2 根据受力点的坐标 写出主动力的虚功 3 找出能够描述体系位置的独立变量 4 将坐标虚位移通过约束方程变为广义坐标的虚位移 5 令广义力为零 求得平衡的条件 例题 一均质棒斜靠在半径为r的半球形碗中 碗内长度为c 证明棒全长为4 c2 2r2 c 解 主动力 mg 作用力点 P x y 虚功 描述木棒位置的独立变量 q 约束方程 结论 5 3拉格郎日方程一 基本形式的拉格朗日方程 5 3拉格郎日方程 一 基本形式的拉格郎日方程 出发点 对每个质点运用牛顿运动定律 化动为静 动力学问题静力学问题 两边标乘dri 然后对所有质点求和 理想约束 现在的目的 将坐标的虚位移变为独立广义坐标的虚位移 推导 1 2 因为 拉格郎日方程 质点总动能 由Pa Qa 有 基本形式的拉格郎日方程 基本概念 广义坐标 qa 广义速度 广义力 Qa 广义动量 主动力做虚功 二 保守系的拉格郎日方程 二 保守系的拉格郎日方程 广义力 一共N个质点 第i个质点与第j个质点的作用力为Fij 若其为保守力 则对应一个势能函数 Vij xi yi zi xj yj zj 体系总势能 相应第i个质点 从V的表达式看出 V只是坐标的函数 续 三 循环积分 三 循环积分 在拉氏方程中 若L不包含qb 那么 循环坐标 qb 0 四 能量积分五 拉格郎日方程的应用 四 能量积分 自学 在稳定约束的条件下 可以由拉氏方程得到 五 拉格郎日方程的应用 条件 理想约束或没有约束缺点 无法计算约束反力 1 根据基本形式的拉氏方程写出动力学方程 基本过程 I 找出描述体系的广义坐标 II 写出相对于静止坐标系的动能 III 应用基本形式的拉格郎日方程 例1 例1 一坐标系O xyz绕静止坐标系O xhz的z轴以恒定角速度w旋转 质点P受力F的作用 计算P点在转动坐标系中的动力学方程 解 设P在转动坐标系中的坐标为 x y z 那么P的绝对速度 例2 例2 试写出球坐标系中的动力学方程 解 在质点P对应处 i j k方向的速度为 因此质点P动能为 广义坐标 r q j 续 即 例3 例3 如图所示 由两个滑轮和三个砝码组成滑轮组 略去摩擦及滑轮重量 求每个砝码的加速度 2 根据保守力系的拉氏方程求解运动规律 解 1 确定体系自由度 选取广义坐标 三个砝码的位置并不是相互独立的 选取如图所示的两个独立坐标 q1和q2 2 写出力学体系的动能和势能 砝码m1 动能 势能 砝码m2 续 砝码m3 3 写出拉格郎日函数 C 所有不包含变量的常数项之和 4 将L代入拉格郎日方程 求解方程 续 结果 三个砝码的加速度 5 5哈密顿正则方程一 勒让德变换 5 5哈密顿正则方程 一 勒让德变换 LegendreTransform 拉氏函数 本质上 拉格郎日方程是一个二阶微分方程 变换的目的 将方程由二阶变为一阶 将广义动量视为一个独立变量 代入拉氏函数 L就是qa和pa的函数 续 这组2s维的动力学方程并不对称 s维 s维 勒让德变换就是将一组独立变量变换为另外一组独立变量的变换 举例 如何得到形式对称的勒让得变换 一函数f f x y z 自变量为x y z 其全微分 利用 此即相当于一组新变量 u v z和一个新函数 f ux vy 续 含义 将一组变量的部分变为另外一组同等数量的变量后 为了保持全微分的对称形式 需定义另外一个函数 新函数的形式 二 正则方程 二 正则方程 Canonicalequations 将勒让德变换应用到拉氏函数中 定义新函数 哈密顿函数 续 于是得到一组方程 哈密顿正则方程 正则变量 正则方程则给出了正则变量随时间变化的情况 2s维相空间 在H的定义中包含项 该变量通过求解方程组而替换掉 三 能量积分与循环积分1 稳定约束 H不显含时间 三 能量积分与循环积分 1 稳定约束与T L H是否显含t的关系 对于n个质点 那么可用3n个变量描述 若约束稳定 不显含时间 那么k个约束表示为 由此可以确定出可以自由变动的3n k个不显含时间的广义坐标 体系总动能 质点随时间的变化由广义坐标随时间的变化给出 2 能量积分 对于稳定的力学体系 势能也不是时间的显函数 因此 L T V也不是时间t的显函数 相应地 pa 及与之相关的H也不是时间t的显函数 即对于稳定约束 2 能量积分 1 H的物理含义 即在稳定约束的情况下 H为体系的总能量 续 3 循环积分 2 能量积分 在稳定约束的情况下 H只是qa pa的函数 于是 即 T V 常量 3 循环积分 qa 广义坐标 pa 广义动量 若H不显含qa 那么dpa dt 0 即 pa为守恒量 例题1 例题 设电荷为 e的电子 在电荷为Ze的核力场中运动 Z为原子序数 试用正则方程研究电子的运动 解 用正则方程研究的关键点 写出哈密顿量H 选择广义坐标为 r q j 写出动能 写出势能 拉格郎日函数 续 计算与广义坐标相应的广义动量 写出哈密顿量 在约束与时间无关时 也可直接应用H T V 在应用正则方程前 应将广义速度变换为广义动量 续 根据正则方程 可以得到 讨论 此即关于r和q的运动方程 若初始时刻体系限制在j 0的体系内 那么以后体系始终在此平面内 例题2 例 质量为M的小环 套在半径为a光滑圆圈上 并可沿着圆圈滑动 如圆圈在水平面内以匀角速度w绕圆圈上某点O转动 试求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程 解 用正则方程求解的中心工作 找到哈密顿函数H 1 找出描述小环的广义坐标 q 2 写出质点的拉氏函数L 相对速度 牵连速度 3 找出pq与的关系 续 4 写出哈密顿函数 5 利用正则方程 写出运动规律 用正则方程求解问题 确定体系自由度数 选定广义坐标 写出体系的动能和势能 得到拉氏函数 通过拉氏函数得到广义动量与广义速度的关系 写出哈密顿函数 将广义速度全部转换为广义动量 写出正则方程 计算广义动量对时间的微商及偏微分 将广义动量转换为广义速度 得到动力学方程 5 6泊松括号与泊松定理一 泊松括号1 定义 5 6泊松括号与泊松定理 一 泊松括号 Poissonbracket 理论物理 特别是量子力学中要用到的符号 一个力学量j是正则变量pa qa a 1 2 s 及时间t的函数 那么 定义 泊松括号 1 定义 2 性质 2 与守恒量的关系 正则方程的简单形式 对于一个力学体系 若一个力学量j与时间无关 那么它是很有价值的一个力学量 称为运动积分 其与哈密顿量的关系 证明 QM 3 推广 3 泊松括号的推广 通过类比 可以推广泊松括号 基本性质 将j或y或q换成H 同样适用 广义坐标与广义动量 QM 例题 例题 如果j是坐标和动量的任意标量函数 即其中a b c为常数 证明 解 先分析清楚选用什么坐标系 直角坐标系x y z 写出j和Jz的具体形式 于是 0 二 泊松定理 二 泊松定理 Poissontheorem 定理目的 从两个守恒量得到第三个守恒量 假定下列两个量守恒 根据 泊松定理 即 若两个量为守恒量 那么它们的泊松括号也为守恒量 续 例题 理想情况 但实际上 在很多情况下 只能给出原有积分的线性组合或恒等式 例 一组质点在内保守力的作用下运动 如果x y方向的两分动量矩为常数 那么z方向的动量矩也是常数 证明之 证明 根据动量矩定义 有 根据泊松定理 下面计算 续 由于Jx Jy是常数 根据泊松定理 Jz也是常数 5 7哈密顿原理一 变分运算的几个法则1 变分的引入 5 7哈密顿原理 一 变分运算的几个法则 1 变分的引入 历史上的三个经典问题 最速降线问题 T T y x 即 在过A B两点的一切函数中 选取一个函数 使得质点从A到B所花时间最小 这里 时间是函数y x 的函数 即泛函 求时间T的最小值 就是求T的变化为0 即dT 0 短程线问题 L L y x 设j x y z 0为一已知曲面 计算曲面上A B之间距离最短的曲线 显然 A B间的距离是曲线的函数 即是y x 的函数 短程线问题 在数学上表示为dL 0 续 等周问题 S S r q 用给定长度的一线段 围出面积最大的一个区域 此时 面积是曲线r r q 的函数 即泛函 泛函 对每一函数y x 集合l中都有一个数值与之对应 那么l叫做依赖于函数y x 的泛函 记为l l y x 例 一个函数j p q t 做一微小变化 得到y p q t 那么它们之间的差被称为函数j p q t 的变分 变分 将函数y x 做微小变化 从而引起泛函l y x 的微小变化 记为dy dl 函数 对与每一个数值x 都有一个数值y与之对应 那么y叫做x的函数 记为y y x 微分 将x做一微小变化 那么函数y x 做相应微小变化 这一微小变化称为微分 记为dx dy 2 变分与微分的比较3 变分的基本性质 3 变分的基本性质 2 变分与微分的比较 函数与泛函 相同点 结果都对应着一个数 不同点 自变量类型不同函数自变量为数值 泛函的自变量为函数 变分与微分变分为一函数 而微分为一数值 微分 变分 4 变分与微分的交换性 4 变分与微分的交换性 如图示 一函数f x 作变分后得到函数f df 因此 由图可得 B 与B的微分的差就是df的变分 即 微分与变分的次序可以交换 注意 等时变分 dt 0 不等时变分 dt 0 二 哈密顿原理1 体系状态的描述 二 哈密顿原理 假设 n个质点组成的力学体系受到k个几何约束 其自由度s 3n k 即 时间确定之后 整个力学体系就确定了 把每个自由度看成是一维空间 那么s个自由度构成s维空间 力学体系的某个状态就是s维空间中的一个点 随着时间的连续变化 力学体系在s维空间中形成一条曲线 1 体系状态的描述 2 哈密顿原理 体系从A点运动到B点 哪条路径是真实的 2 哈密顿原理 限保守力系 保守力系拉氏方程 对第a个自变量qa做变分 dqa 乘到拉氏方程两边 续 如何理解dL 因为 深入理解 哈密顿原理 深入理解 力学体系的状态 s维空间中的一个点 假定体系通过A点和B点 那么AB两点之间不同的曲线意味着不同的变化规律 沿曲线C1 沿曲线C2 不同的曲线对应着不同的S值 即 对应一个真实的路径 对应的变分等于零 续 真实轨道具有的性质 dS 0 结论 从哈密顿原理就可以得到真实的轨道 即若轨道C 将其轨道作变分后得到的主函数都变大 或变小 那么轨道C就是一条真实的轨道 例题1 评价 哈密顿原理是一个非常基本的原理 与牛顿运动定律等价 从该原理可以推得拉氏方程等其他原理 定律 甚至是牛顿运动定律 例 试由哈密顿原理导出正则方程 解 哈密顿原理以拉氏函数L为基础 正则方程则以哈密顿函数H为基础 二者关系是 哈密顿原理 续 由于dpa与dqa任意 而且相互独立 因此 等时变分 例题2 例 半径为a光滑圆形钢丝 以匀速度w绕竖直直径转动 圆圈上套着一质量为m的小环 起始时 小环自圆圈的最高点无初速地沿着圆圈下滑 试用哈密顿原理求小环的运动微分方程 问题 哈密顿原理的关键是什么 解 2 写出拉氏函数L T V 1 选用广义坐标 q 哈密顿原理 下面的目的是将上式中的变成 续 由于q的任意性 根据前面得到的拉氏函数 自由度为1时的拉氏方程 全章复习 第五章复习 1 一 几个重要的约束 1 稳定约束与不稳定约束2 几何约束与微分约束3 完整系与非完整系 二 几个重要概念 1 实位移 由于时间的改变而引起的位移 2 虚位移 假象的根据位置和约束而可能发生的位移 4 广义坐标 用于确定体系状态的 独立变化的参数 5 自由度 独立变化的广义坐标的个数 一个体系的自由度是固定的 但广义坐标的选取却不唯一 对非完整系 独立变化的坐标数目可能小于3n k 因此本章理论都只适用于完整系 2 三 虚功原理 1 虚功 力 包括主动力和约束反力 在任意虚位移下所作的功 2 理想约束 所有约束反力所做的虚功之和为零 虚功原理 在理想约束的条件下 不能含摩擦力等 力学体系平衡 主动力虚功之和为零 光滑面 铰链 不可伸长 压缩等物 求解要点 建坐标系 写出虚功原理 找出独立广义坐标 3 四 拉格朗日方程 实质 关于广义坐标的一组微分方程 目的 求解广义坐标随时间的变化规律 等同于F ma 出发点 力学体系的总动能 基本形式的拉氏方程 保守力系的拉氏方程 关键 找出广义坐标 写出拉氏函数 4 重要概念 5 五 哈密顿正则方程 哈密顿函数 对于稳定约束 H T V 体系总能量 注意 哈密顿函数中的广义速度需要被替换为广义动量 正则方程 若H不含广义坐标qa 那么相应的广义动量为守恒量 6 六 泊松括号与泊松定理 定义泊松括号 j y均为qa pa t的函数 而且 泊松定理 从两个守恒量得到第三个守恒量 如果j y均为守恒