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函函数数值值域域求求法法十十一一种种 1 直直接接观观察察法法 对对于于一一些些比比较较简简单单的的函函数数 其其值值域域可可通通过过观观察察得得到到 例例1 求求函函数数x 1 y 的的值值域域 解解 0 x 0 x 1 显显然然函函数数的的值值域域是是 0 0 例例2 求求函函数数 x3y 的的值值域域 解解 0 x 3x3 0 x 故故函函数数的的值值域域是是 3 2 配配方方法法 配配方方法法是是求求二二次次函函数数值值域域最最基基本本的的方方法法之之一一 例例3 求求函函数数 2 1 x 5x2xy 2 的的值值域域 解解 将将函函数数配配方方得得 4 1x y 2 2 1 x 由由二二次次函函数数的的性性质质可可知知 当当x 1时时 4ymin 当当1x 时时 8ymax 故 故函函数数的的值值域域是是 4 8 3 判判别别式式法法 例例4 求求函函数数 2 2 x1 xx1 y 的的值值域域 解解 原原函函数数化化为为关关于于x的的一一元元二二次次方方程程 0 x 1y x 1y 2 1 当 当 1y 时时 Rx 0 1y 1y 4 1 2 解解得得 2 3 y 2 1 2 当当y 1时时 0 x 而而 2 3 2 1 1 故故函函数数的的值值域域为为 2 3 2 1 例例5 求求函函数数 x2 xxy 的的值值域域 亦亦可可用用求求导导 解解 两两边边平平方方整整理理得得 0yx 1y 2x2 22 1 Rx 0y8 1y 4 2 解解得得 21y21 但但此此时时的的函函数数的的定定义义域域由由 0 x2 x 得得 2x0 由由 0 仅仅保保证证关关于于x的的方方程程 0yx 1y 2x2 22 在在实实数数集集R有有实实根根 而而不不能能确确保保其其 实实根根在在区区间间 0 2 上上 即即不不能能确确保保方方程程 1 有有实实根根 由由 0 求求出出的的 范范围围可可能能比比y的的实实际际范范围围大大 故故不不能能确确定定此此函函数数的的值值域域为为 2 3 2 1 可可以以采采取取如如下下方方法法进进一一步步确确定定原原函函数数的的值值域域 2x0 0 x2 xxy 21y 0ymin 代代入入方方程程 1 解解得得 即即当当时时 原原函函 1 2 1 0 2 2 x 1 2 1 0 2 2 x 数数的的值值域域为为 21 0 注注 由由判判别别式式法法来来判判断断函函数数的的值值域域时时 若若原原函函数数的的定定义义域域不不是是实实数数 集集时时 应应综综合合函函数数的的定定义义域域 将将扩扩大大的的部部分分剔剔除除 4 反反函函数数法法 直直接接求求函函数数的的值值域域困困难难时时 可可以以通通过过求求其其原原函函数数的的定定义义域域来来确确定定 原原函函数数的的值值域域 例例6 求求函函数数y 6x5 4x3 值值域域 解解 由由原原函函数数式式可可得得 3y5 y64 x 则则其其反反函函数数为为 其其定定义义域域为为 5 3 x 故故所所求求函函数数的的值值域域为为 46 53 x y x 3 5 y 5 函函数数有有界界性性法法 直直接接求求函函数数的的值值域域困困难难时时 可可以以利利用用已已学学过过函函数数的的有有界界性性 反反客客 为为主主来来确确定定函函数数的的值值域域 例例7 求求函函数数1e 1e y x x 的的值值域域 解解 由由原原函函数数式式可可得得 1y 1y e x 0e x 0 1y 1y 解解得得 1y1 故故所所求求函函数数的的值值域域为为 1 1 例例8 求求函函数数3xsin xcos y 的的值值域域 也也可可用用数数型型结结合合 解解 由由原原函函数数式式可可得得 y3xcosxsiny 可可化化为为 即即 y3 x sin1y 2 1y y3 x sin 2 Rx 1 1 x xsin 即即 1 1y y3 1 2 解解得得 4 2 y 4 2 故故函函数数的的值值域域为为 4 2 4 2 6 函函数数单单调调性性法法 例例9 求求函函数数 10 x2 1xlog2y 3 5x 的的值值域域 解解 令令 1xlogy 2y 32 5x 1 则则21 y y 在在 2 10 上上都都是是增增函函数数所所以以 21 yyy 在在 2 10 上上是是增增函函数数 当当x 2时时 8 1 12log2y 3 3 min 当当x 10时时 339log2y 3 5 max 故故所所求求函函数数的的值值域域为为 33 8 1 例例10 求求函函数数 1x1xy 的的值值域域 解解 原原函函数数可可化化为为 1x1x 2 y 令令 1xy 1 xy 21 显显然然21 y y 在在 1 上上为为 无无上上界界的的增增函函数数 所所以以 1 yy 2 y 在在 1 上上也也为为无无上上界界的的增增函函数数 所所以以当当x 1时时 21 yyy 有有最最小小值值 2 原原函函数数有有最最大大 值值 2 2 2 显显然然 0y 故故原原函函数数的的值值域域为为 2 0 7 换换元元法法 通通过过简简单单的的换换元元把把一一个个函函数数变变为为简简单单函函数数 其其题题型型特特征征是是函函数数解解 析析式式含含有有根根式式或或三三角角函函数数公公式式模模型型 换换元元法法是是数数学学方方法法中中几几种种最最主主要要 方方法法之之一一 在在求求函函数数的的值值域域中中同同样样发发挥挥作作用用 例例11 求求函函数数 1xxy 的的值值域域 解解 令令 t1x 0t 则则 1tx 2 4 3 2 1 t 1tty 22 又又 0t 由由二二次次函函数数的的性性质质 可可知知 当当 0t 时时 1ymin 当当 0t 时时 y 故故函函数数的的值值域域为为 1 例例13 求求函函数数1x2x xx y 24 3 的的值值域域 较较难难可可用用求求导导法法 解解 原原函函数数可可变变形形为为 2 2 2 x1 x1 x1 x2 2 1 y 可可令令x tan 则则有有 2 2 2 2 cos x1 x1 2sin x1 x2 4sin 4 1 2cos2sin 2 1 y 当当82 k 时时 4 1 ymax 当当82 k 时时 4 1 ymin 而而此此时时 tan 有有意意义义 故故所所求求函函数数的的值值域域为为 4 1 4 1 8 数数形形结结合合法法 其其题题型型是是函函数数解解析析式式具具有有明明显显的的某某种种几几何何意意义义 如如两两点点的的距距离离公公 式式直直线线斜斜率率等等等等 这这类类题题目目若若运运用用数数形形结结合合法法 往往往往会会更更加加简简单单 一一 目目了了然然 赏赏心心悦悦目目 例例14 求求函函数数 22 8x 2 x y 的的值值域域 解解 原原函函数数可可化化简简得得 8x 2x y 上上式式可可以以看看成成数数轴轴上上点点P x 到到定定点点A 2 8 B 间间的的距距离离之之 和和 由由上上图图可可知知 当当点点P在在线线段段AB上上时时 10 AB 8x 2x y 当当点点P在在线线段段AB的的延延长长线线或或反反向向延延长长线线上上时时 10 AB 8x 2x y 故故所所求求函函数数的的值值域域为为 10 例例15 求求函函数数 5x4x13x6xy 22 的的值值域域 解解 原原函函数数可可变变形形为为 2222 10 2x 20 3x y 上上式式可可看看成成x轴轴上上的的点点 0 x P 到到两两定定点点 1 2 B 2 3 A 的的距距离离之之和和 由由图图可可知知当当点点P为为线线段段与与x轴轴的的交交点点时时 43 12 23 AB y 22 min 故故所所求求函函数数的的值值域域为为 43 例例17 求求函函数数 5x4x13x6xy 22 的的值值域域 解解 将将函函数数变变形形为为 2222 10 2x 20 3x y 上上式式可可看看成成定定点点A 3 2 到到点点P x 0 的的距距离离与与定定点点 1 2 B 到到 点点 0 x P 的的距距离离之之差差 即即 BP AP y 由由图图可可知知 1 当当点点P在在x轴轴上上且且不不是是直直线线AB与与x轴轴的的交交点点时时 如如点点 P 则则构构成成 ABP 根根据据三三角角形形两两边边之之差差小小于于第第三三边边 有有 26 12 23 AB BP AP 22 即即 26y26 2 当当点点P恰恰好好为为直直线线AB与与x轴轴的的交交点点时时 有有 26 AB BP AP 综综上上所所述述 可可知知函函数数的的值值域域为为 26 26 9 不不等等式式法法 利利用用基基本本不不等等式式 abc3cba ab2ba 3 Rc b a 求求函函数数的的最最值值 其其题题型型特特征征解解析析式式是是和和式式时时要要求求积积 为为定定值值 解解析析式式是是积积时时要要求求和和为为定定值值 不不过过有有时时需需要要用用到到拆拆项项 添添项项 和和两两边边平平方方等等技技巧巧 10 一一一一映映射射法法 原原理理 因因为为 0c dcx bax y 在在定定义义域域上上x与与y是是一一一一对对应应的的 故故两两个个变变量量中中 若若知知道道一一个个变变量量范范围围 就就可可以以求求另另一一个个变变量量范范围围 例例21 求求函函数数1x2 x31 y 的的值值域域 解解 定定义义域域为为 2 1 x 2 1 x x或 由由1x2 x31 y 得得 3y2 y1 x 故故 2 1 3y2 y1 x 或或 2 1 3y2 y1 x 解解得得 2 3 y 2 3 y 或 故故函函数数的的值值域域为为 2 3 2 3 11 多多种种方方法法综综合合运运用用 例例22 求求函函数数3x 2x y 的的值值域域 解解 令令 0t 2xt 则则 1t3x 2 1 当当 0t 时时 2 1 t 1 t 1 1t t y 2 当当且且仅仅当当t 1 即即 1x 时时取取等等号号 所所以以2 1 y0 2 当当t 0时时 y 0 综综上上所所述述 函函数数的的值值域域为为 2 1 0 注注 先先换换元元 后后用用不不等等式式法法 例例23 求求函函数数 42 432 xx21 xxx2x1 y 的的值值域域 求求导导法法比比较较烦烦 解解 42 3 42 42 xx21 xx xx21 xx21 y 2 2 2 2 x1 x x1 x1 令令 2 tanx 则则 2 2 2 2 cos x1 x1 sin 2 1 x1 x 2 1sin 2 1 sinsin 2 1 cosy 22 16 17 4 1 sin 2 当当4 1 sin 时时 16 17 ymax 当当 1sin 时时 2ymin 此此时时2 tan 都都存存在在