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第24章解直角三角形 24 4解直角三角形 2 1 学习目标 1 了解仰角 俯角 方位角的概念 能根据直角三角形的知识解决仰角 俯角 方位角有关的实际问题 2 通过借助辅助线解决实际问题过些 使掌握数形结合 抽象归纳的思想方法 3 感知本节与实际生活的密切联系 认识知识应用于实践的意义 学习重点 解直角三角形在实际生活中的应用 学习难点 将某些实际问题中的数量关系 归结为直角三角形中元素之间的关系 从而解决问题 2 a2 b2 c2 勾股定理 A B 90 直角三角形 3 练习 求下列直角三角形未知元素的值 A B C 30 10 4 创设情境导入新课如图 某飞机于空中A处探测到目标C 此时飞行高度AC 1200米 从飞机上看地平面控制点B的俯角 300 求飞机A到控制点B的距离 精确到1米 在进行测量时 从下向上看 视线与水平线的夹角叫做仰角 从上往下看 视线与水平线的夹角叫做俯角 铅直线 视线 视线 仰角 俯角 解在Rt ABC中 B 答 飞机A到控制点B的距离约2400米 30 5 例 如图 为了测量旗杆的高度BC 在离旗杆10米的A处 用高1 50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角 52 求旗杆BC的高 tan52 1 2799 结果精确到0 1米 创设情境导入新课 10m 52 6 水平线 地面 1 如图 某飞机于空中A处探测到目标C 此时飞行高度AC 1200米 从飞机上看地平面控制点B的俯角 370 求飞机A到控制点B的距离 Sin37 0 6 练习 7 解在Rt ABC中 AC 1200 370由所以 所以飞机A到控制点B的距离约2000米 AB 2000 米 1 如图 某飞机于空中A处探测到目标C 此时飞行高度AC 1200米 从飞机上看地平面控制点B的俯角 370 求飞机A到控制点B的距离 Sin37 0 6 37 1200m 8 1 在山顶上处D有一铁塔 在塔顶B处测得地面上一点A的俯角 60o 在塔底D测得点A的俯角 45o 已知塔高BD 30米 求山高CD A B C D 练习 30 由题 60 45 ABC 30 ADC 45 在Rt ACD中 令DC CA x 解得 x 9 3 小玲家对面新造了一幢图书大厦 小玲在自家窗口测得大厦顶部的仰角和大厦底部的俯角 如图所示 量得两幢楼之间的距离为32m 问大厦有多高 结果精确到1m m 32m 10 解 在 ABC中 ACB 900 CAB 460 在 ADC中 ACD 900 CAD 290 32m AC 32m BD BC CD 33 1 17 7 51 答 大厦高BD约为51m AC 32m 11 探索新知 i h l 1 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角 记作 2 坡度 或坡比 坡度通常写成1 m的形式 如i 1 6 3 坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值 坡面 水平面 12 1 斜坡的坡度是 则坡角 度 2 斜坡的坡角是450 则坡比是 3 斜坡长是12米 坡高6米 则坡比是 30 巩固概念 1 1 13 例2 如图 一段路基的横断面是梯形 高为4 2米 上底宽为12 51米 其坡面角分别是32 和28 求路基下底的宽 tan32 0 6248 tan28 0 5317结果精确到0 1米 E F 4 2米 4 2米 4 2米 作DE AB CF AB垂足分别是E F依题可知 DE CF 4 2EF CD 12 51 解 在Rt ADE中 tan32 AE 6 72 在Rt BCF中 同理可得 BF 7 09 AB AE EF BF 6 72 12 51 7 90 27 1 米 答 路基下底的宽约为27 1米 32 28 14 水库大坝的横断面是梯形 坝顶宽6m 坝高23m 斜坡AB的坡度i 1 3 斜坡CD的坡度i 1 2 5 求 1 坝底AD与斜坡AB的长度 精确到0 1m 2 斜坡CD的坡角 精确到 例题讲解 E F 分析 1 由坡度i会想到产生铅垂高度 即分别过点B C作AD的垂线 2 垂线BE CF将梯形分割成Rt ABE Rt CFD和矩形BEFC 则AD AE EF FD EF BC 6m AE DF可结合坡度 通过解Rt ABE和Rt CDF求出 3 斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt ABE和Rt CDF 15 解 1 分别过点B C作BE AD CF AD 垂足分别为点E F 由题意可知 在Rt ABE中 BE CF 23mEF BC 6m 在Rt DCF中 同理可得 69 6 57 5 132 5m 在Rt ABE中 由勾股定理可得 2 斜坡CD的坡度i tan 1 2 5 0 4由计算器可算得 E F 答 坝底宽AD为132 5米 斜坡AB的长约为72 7米 斜坡CD的坡角 约为22 16 一段路基的横断面是梯形 高为4米 上底的宽是12米 路基的坡面与地面的倾角分别是45 和30 求路基下底的宽 精确到0 1 米 变式练习 45 30 4米 12米 A B C E F D 17 解 作DE AB CF AB 垂足分别为E F 由题意可知DE CF 4 米 CD EF 12 米 在Rt ADE中 在Rt BCF中 同理可得因此AB AE EF BF 4 12 6 93 22 93 米 答 路基下底的宽约为22 93米 18 例3如图 一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向 距离灯塔80海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处 这时 海轮所在的B处距离灯塔P有多远 精确到0 01海里 解 如图 在Rt APC中 PC PA cos 90 65 80 cos25 80 0 91 72 8 在Rt BPC中 B 34 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34 方向时 它距离灯塔P大约130 23海里 65 34 P B C A 80 19 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角 叫做方位角 如图 点A在O的北偏东30 点B在点O的南偏西45 西南方向 方位角 20 1 海中有一个小岛A 它的周围8海里内有暗礁 渔船跟踪鱼群由西向东到航行 在B点测得小岛A在北偏东60 方向上 航行12海里到达D点 这时测得小岛A在北偏东30 方向上 如果渔船不改变航线继续向东航行 有没有触礁的危险 B D F 解 由点A作BD的垂线 交BD的延长线于点F 垂足为F AFD 90 由题意图示可知 DAF 30 设DF x AD 2x 则在Rt ADF中 根据勾股定理 在Rt ABF中 解得x 6 10 4 8没有触礁危险 练习 30 60 21 2 一位同学测河宽 如图 在河岸上一点A观测河对岸边的一小树C 测得AC与河岸边的夹角为45 沿河岸边向前走200米到达B点 又观测河对岸边的小树C 测得BC与河岸边的夹角为30 问这位同学能否计算出河宽 若不能 请说明理由 若能 请你计算出河宽 播放 停止 22 解这位同学能计算出河宽 在Rt ACD中 设CD x 由 CAD 450 则CD AD x 在Rt BCD中 AB 200 则BD 200 X 由 CBD 300 则tan300 即解得所以河宽为 23 A B C 450 600 100 2米 D 3 一人在塔底A处测得塔顶C的仰角为450 此人向塔前100米到B处 又测得塔顶的仰角为60度 已知测角器的高度为2米 求塔高 24 小结 1 弄清俯角 仰角 方向角等概念的意义 明确各术语与示意图中的什么元素对应 只有明确这些概念 才能恰当地把实际问题转化为数学问题2 认真分析题意 画图并找出要求的直角三角形 或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题 3 选择合适的边角关系式 使计算尽可能简单 且不易出错 4 按照题中的精确度进行计算 并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位 25 已知斜边求直边 已知直