对数函数及性质案例反思

对对数函数及性数函数及性质质 教学及反思教学及反思 武汉市新洲区城关高中 李军平 430400 一 一 教材分析教材分析 本小节选自 普通高中课程标准数学教科书 数学必修 一 人教版 第 二章基本初等函数 1 2 2 2 对数函数及其性质 第一课时 主要内容是学 习对数函数的定义 图象 性质及初步应用 对数函数是继指数函数之后的又 一个重要初等函数 无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许 多类似之处 与指数函数相比 对数函数所涉及的知识更丰富 方法更灵活 能力要求也更高 学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固 深化和提高 也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础 虽然这个内容十 分熟悉 但新教材相对于以往老教材做了一定的改动 如何设计能够符合新课 标理念的教学 是目前大家十分关注的课题 本人选择这课题力求某些方面有 所突破 二 二 学生学习情况分析学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生 仍保留着初中生许多学习特点 能力发展正处 于形象思维向抽象思维转型阶段 但更注重形象思维 由于函数概念十分抽象 又以对数运算为基础 同时 初中函数教学要求降低 初中生运算能力又不高 这双重问题增加了对数函数教学的难度 教师必须认识到这一点 教学中要根 据学生的已有的认知结构 找准切入点 控制好教学标高 关注知识的生成过 程 三 设计理念三 设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导 以新课标基本理念为依据进行设计的 针对学生的学习背景 对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际 其次 激发学生的学习热情 把学习的主动权交给学生 为他们提供自主探究 合作交流的机会 确实改变学生的学习方式 四 教学目标四 教学目标 1 1 知识与技能知识与技能 对数函数的概念 熟悉对数函数的图象 2 2 过程与方法过程与方法 通过对比指数函数的学习 作出并观察对数函数的图象 发现并归纳对数函数的性质 3 3 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 培养学生数形结合的思想以及分析问题的能力 五 教学重点与难点五 教学重点与难点 重点是理解对数函数的定义 掌握对数函数的图象和性质 难点是底数对对数函数值变化 的影响 六 教学过程六 教学过程 一 一 设置情景设置情景 引入新知引入新知 师 师 同学们我们已经学习了指数 对数 指数函数 大家回顾一下对数的概念和指数函数 的定义 生生 1 1 如果 则叫做以为底的对数 记作 x aN xaNlog 0 1 a xN aa 生生 2 2 函数叫指数函数 其中是自变量 函数的定义域为 值域为 0 1 x yaaa xR 0 师 大家同意这两位同学的学法吗 生 齐答同意 师 很好 把式子改写为对数式 此时是以 0 1 x yaaa log 0 1 a xy aa x 的函数吗 请大家思考y 生 3 不是 我们习惯用表示自变量 用表示函数值 所以不是 xy 生 4 是的 因为每一个值通过对应关系都有惟一的值与它ylog 0 1 a xy aa x 对应 所以是以的函数 xy 师 好 请坐 大家同意哪一种解答 师 我们习惯用表示自变量 用表示函数值 故把改写成xylog 0 1 a xy aa 这就是我们今天研究的对数函数 板书 log 0 1 a yx aa 二 二 探究新知探究新知 一一 对数函数的定义对数函数的定义 师 一般的 我们把函数叫做对数函数 其中为自变量 函数的定log 0 1 a yx aa x 义域为 0 并板书在第一块黑板 师师 定义中的底数为什么规定 定义域为什么是 0 a0 1aa 生 5 是由改写来的 指数式log 0 1 a yx aa log 0 1 a xy aa 中要求且 0 1 x yaaa 0 1aa 0y 师 大家同意吗 生 6 齐答 同意 师 这位同学很不错 不仅理解了对数函数可以有指数函数变化而来 还注意到与指数式 的联系 下面我们看例 1 例例 1 1 求下列函数的定义域 1 2 2 logayx log 4 a yx 师生共同解答 题 1 学生口述 老师板书 题 2 学生口答 解答过程中强化规范 二 对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质 师 请同学们思考并回答下列问题师 请同学们思考并回答下列问题 师 1 当我们知道对数函数的定义之后 紧接着需要探讨什么问题 生 对数函数的图象和性质 师 2 你能类比前面研究指数函数的思路 提出研究对数函数图象和性质的方法 吗 生 先画图象 再根据图象得出性质 师 3 画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类 生 应该需要按和分类1a 01a 师 4 观察图象主要看哪几个特征 生 从图象的形状 位置 升降 定点等角度去识图 师 5 如何作函数的图象 生 列表 描点 连线 师 回顾研究指数函数的图象与性质时我们研究了两个特殊函数 1 2 2 xx yy 通过特殊函数的研究推广到一般 大家记得当时作图是取的哪些点吗 老师用小黑板展示表格 x 2 1012 2xy 1 4 1 2 124 1 2 x y 421 1 2 1 4 现在我们类比指数函数来研究对数函数和的图象 我们能否将值 2 logyx 1 2 logyx x 取 为什么 2 1 0 生 不行 由对数函数的定义域可知应该取正数 师 取哪些值呢 能否利用上面的数据 学生思考 这是本节课的难点 让学生分组讨论 生 将和写成指数式经过比对现在的值就是表 2 logyx 1 2 logyx 1 2 2 yy xx x 格中的函数值 现在的值就是表格中的值 由此可以列表为yyx x 1 4 1 2 124 2 logyx 2 1012 1 2 logyx 210 1 2 师 同学们 他的解答时正确的吗 生 齐答对 师 很好这样能规避复杂的计算 下面请两个同学上黑板作函数和 2 logyx 的图象 其他同学在下面作 老师巡视 1 2 logyx 设计意图 教材上通过特殊点作出对数函数图象 虽然计算不太复杂 但学生很 难想到 并且与指数函数的前后联系不大 不能体现两个函数之间的关系 因此 本节课我紧抠二者的联系 巧妙利用数据 这样处理学生接受起来更容易 自然 也为后面反函数的讲解埋下伏笔 学生上黑板演排 师 大家看看这两位同学作得对吗 你的作对了吗 生 对 师 通过函数图象 你能说出这两个图象有什么关系吗 生 关于关于轴对称 x 师 函数与图象关于轴对称吗 yf x yf x x 师 改变底数作出函数和图象 老师完成 观察函数图象有何特 3 logyx 1 3 logyx 征 性质如何 教师给出指数函数图象与性质挂图引导学生归纳 设计意图 旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象 这 样处理学生虽然会接受了这个事实 但对图象的感觉是肤浅的 这样处理也存在 着函数教学忽视图象 性质的认知过程而注重应用的 功利 思想 因此 本节课 的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程 加深 感性认识 同时 帮助学生确定探究问题 探究方向和探究步骤 确保探究的有 效性 学生分小组讨论 交流 总结对数函数图象特征及性质 学生分小组讨论 交流 总结对数函数图象特征及性质 在学生自主探究 合作交流的的基础上填写如下表格 函 数 y loga x a 1 y loga x 0 a 1 图图 象象 定义域定义域 R R R R 值值 域域 RR 单调性单调性在 0 上是增函数在 0 上是减函数 过定点过定点 1 0 即 x 1 y 0 1 0 即 x 1 y 0 取值范围取值范围 0 x 1 时 y1 时 y 0 0 x0 x 1 时 y 0 设计意图 注重知识的生成是新课改要求之一 即引导学生发现性质 弄清性质 的来龙去脉 是为了更好揭示对数函数的本质属性 改变传统教学中往往让学生 在解题中领悟方式 我先引导学生回顾指数函数的性质 再利用类比的思想 结 合小组合作讨论的形式通过图象主动探索出对数函数的性质 教学实践表明 当 学生对对数函数的图象已有感性认识后 得到这些性质必然水到渠成 师 观察图象你能说出底数对函数图象的有什么影响吗 生 单调性及第一象限从左往右底数由小到大 例例 2 2 比较和的大小 2 log 3 4 2 log 5 1 变式 1 比较和的大小 0 3 log3 4 0 3 log5 1 变式 2 比较和的大小 log 3 4 a log 5 1 a 类比指数函数同类问题独立思考 1 构造怎样的对数函数模型 2 运用怎样 的函数性质 小组交流 1 是增函数 2 是减函数 xy 2 log 3 y loga x 分 和分类讨论1a 1a0 三 课堂练习三 课堂练习 P73 3 2 4 师 思考师 思考如何比较和的大小 能从函数图象入手吗 2 log 3 4 3 log 3 4 生 能 分别做出和的图象和直线 直线与他们交点的纵 2 logyx 3 logyx 3 4x X y 30 log 坐标就是和 很明显有 2 log 3 4 3 log 3 4 2 log 3 4 3 log 3 4 四 归纳小节四 归纳小节 1 对数函数的定义 2 对数函数的图象与性质 五 作业五 作业 1 课本 P74 7 8 创新设计 P59 10 2 整理笔记 比较指数函数与对数函数的图象与性质 七 教学反思七 教学反思 本节课是为迎接我市教科院专家领导来我校视导所准备的交流课 在以往的旧教材中 是先讲反函数 再利用对数函数与指数函数互为反函数的关系 结合反函数的知识和性质 讲解对数函数与性质 而新课本上是按实际例子引出对数函数的概念 但考虑到实际例子 中数据不太好计算及问题背景容易分散学生的注意力 产生前摄抑制等方面情况 结合我 校学生实际水平 我将课本进行改造 在上网查阅有关教学的视频和区教研室领导的指导 及我们备课组全体成员共同研讨下 对教材作了大胆改编 作对数函数图象是本节课的难 点 本节课巧妙利用对数式与指数式的联系 结合指数函数的表格得出对数函数的五点作 出图象 对数函数性质是本节课的重点 通过问题串的设计进行引导探讨的方向 实践证 明是成功的 在教学中我特别注意以下几点 一 始终抓住指数函数与对数函数的联系进行类比学习一 始终抓住指数函数与对数函数的联系进行类比学习 1 类比学习的过程 类比学习的过程 1 在引入时复习对数的概念和指数函数的定义 通 过把式子改写为对数式最后改写成 0 1 x yaaa log 0 1 a xy aa 这一过程中学生不仅知道对数函数可以由指数函数变 log 0 1 a yx aa 化而来 而且对对数函数的定义域 值域 底数的理解清晰 自然 2 在探 讨定义后类比指数函数的研究思路来研究图象和性质 在作图时并没有采用课 本上的点而是继续回顾对数函数的图象描点时的表格 抓住对数式与指数式的 联系 很自然得出图象的五点 简化了计算 也为反函数的讲解作一点铺垫 3 在作出和图象后我迅速给出图象的挂 2 logyx 1 2 logyx 1 2 2 xx yy 图 人教社配图 强化了二者的联系 也指引学生具体看图的方向 学生能迅 速得出图象特征和函数的性质 4 例题 2 例题 3 的讲解过程中学生有指数值 的大小比较作铺垫很容易想到数形结合及分类讨论 2 发挥类比学习的作用 发挥类比学习的作用 1 类比学生知道应该做什么 问题 2 中我们知道对 数函数的定义之后 紧接着需要探讨什么问题 由于学生学习了指数函数 学生 就知道该研究图象和性质 你能类比前面研究指数函数的思路 提出研究对数 函数图象和性质的方法吗 学生通过类比知道先作出函数图象 通过图象观察 这 样学生学习就有了主动性 2 类比使操作简化 讲解作函数和的图象时 通过 2 logyx 1 2 logyx 类比函数的图象列表 将和写成指数式 1 2 2 xx yy 2 logyx 1 2 logyx 经过比对现在的值就是表格中的函数值 现在的值就是表 1 2 2 yy xx x yy 格中的函数值 操作起来非常简单 不需要繁琐的计算 使学生快速列表描点作 x 图 3 类比建立了对数函数和指数函数的联系 开始复习了对数和指数函数 当然 这种复习与本节课的学习有必然的联系 否则 这种复习就没有意义了 我认 为这样处理能很好的建立了二者的联系 而且在教学中始终抓住二者的联系也为 今后反函数的教学埋下伏笔 3 类比方法运用需要注意以下事项 类比方法运用需要注意以下事项 1 类比之前是需要有准备的 这节课 先复习了对数的定义和指数函数为后面的教学作了充分准备 2 类比时的问 题很重要 本节课我的问题设计是围绕对数函数与指数函数的联系展开 在指数函 数的学习时作了准备 从而很多问题学生能够很快回答 3 类比中的回顾也 很重要 本节课我适时回顾指数函数的对应知识给学生极好的引导 4 类比中 的总结也需要我们重视 通过前面的学习得出图象讨论性质时 我给出 图象的挂图 这一点的好处是学生可以快速得出图象特征和性质 1 2 2 xx yy 而且再次加强了二者的联系 如果没有图表的展示 效果会大打折扣 类比这根主 线贯穿教学的始终 有其重要意义 正所谓 教是为了不教 对数函数的学习可 以类比指数函数 那么幂函数中的一些性质也可以类比 今后圆锥曲线中讲清椭 圆后 双曲线 抛物线可以类比椭圆 老师可以少讲甚至不讲等等 二 以问题主线组织教学二 以问题主线组织教学 数学课程标准 强调数学教学应从学生实际出发 创设有助于学生自主学习的问题情境 引导学生通过实践 思考 探索 交流 获得知识 形成技能 发展思维 学会学习 促使学生在教师指导下生动活泼 地 主动地 富有个性的学习 问题是数学的心脏 是创造思维的源泉 在教学中 我们应有意识地创设发现问题的情境 这是发展思维的关键一环 也是培养学 生创新能力的好途径 一方面问题的把握应在学生的能力范畴内 略高于学生现 有的发展水平