线性代数在数学建模中的应用举例

1 线性代数在数学建模中的应用举例 1 基因基因间间 距离距离 的表示的表示 在 ABO 血型的人们中 对各种群体的基因的频率进行了研究 如果我们 把四种等位基因 A1 A2 B O 区别开 有人报道了如下的相对频率 见表 1 1 表 1 1 基因的相对频率 爱斯基摩人 f1i班图人 f2i英国人 f3i朝鲜人 f4i A10 29140 10340 20900 2208 A20 00000 08660 06960 0000 B0 03160 12000 06120 2069 O0 67700 69000 66020 5723 合计1 0001 0001 0001 000 问题 一个群体与另一群体的接近程度如何 换句话说 就是要一个表示 基因的 距离 的合宜的量度 解 有人提出一种利用向量代数的方法 首先 我们用单位向量来表示每 一个群体 为此目的 我们取每一种频率的平方根 记 由于对这四种 kiki fx 群体的每一种有 所以我们得到 这意味着下列四个向量的每1 4 1 i ki f 4 1 2 1 i ki x 个都是单位向量 记 44 43 42 41 4 34 33 32 31 3 24 23 22 21 2 14 13 12 11 1 x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a 2 在四维空间中 这些向量的顶端都位于一个半径为 1 的球面上 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的 距离 似乎是合理 的 如果我们把 a1和 a2之间的夹角记为 那么由于 a1 a2 1 再由内只公式 得 21 cosaa 而 8307 0 3464 0 2943 0 3216 0 8228 0 1778 0 0000 0 5398 0 21 aa 故 9187 0 cos 21 aa 得 2 23 按同样的方式 我们可以得到表 1 2 表 1 2 基因间的 距离 爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人 爱斯基摩人 0 23 2 16 4 16 8 班图人 23 2 0 9 8 20 4 英国人 16 4 9 8 0 19 6 朝鲜人 16 8 20 4 19 6 0 由表 1 2 可见 最小的基因 距离 是班图人和英国人之间的 距离 而 爱斯基摩人和班图人之间的基因 距离 最大 2 Euler 的四面体的四面体问题问题 问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积 这个问题是由 Euler 欧拉 提出的 解 建立如图 2 1 所示坐标系 设A B C三点的坐标分别为 a1 b1 c1 a2 b2 c2 和 a3 b3 c3 并设四面体 O ABC 的六条棱长分别为由立 rqpnml 体几何知道 该四面体的体积 V 等于以向量组成右手系时 以它们 OCOBOA 3 为棱的平行六面体的体积 V6的 而 1 6 333 222 111 6 cba cba cba OCOBOAV 于是得 6 333 222 111 cba cba cba V 将上式平方 得 36 2 3 2 3 2 3323232323131 323232 2 2 2 2 2 212121 313131212121 2 1 2 1 2 1 333 222 111 333 222 111 2 2 cbaccbbaaccbbaa ccbbaacbaccbbaa ccbbaaccbbaacba cba cba cba cba cba cba V 根据向量的数量积的坐标表示 有 2 3 2 3 2 3323232 2 2 2 2 2 2313131 212121 2 1 2 1 2 1 cbaOCOCccbbaaOCOB cbaOBOBccbbaaOCOA ccbbaaOBOAcbaOAOA 于是 2 1 36 2 OCOCOCOBOCOA OCOBOBOBOBOA OCOAOBOAOAOA V 由余弦定理 可行 2 cos 222 nqp qpOBOA 同理 2 2 222222 lrq OCOB mrp OCOA 将以上各式代入 2 1 式 得 4 2 2 22 22 22 36 2 222222 222 2 222 222222 2 2 r lrpmrp lrp p nqp mrpnqp p V 这就是 Euler 的四面体体积公式 例 一块形状为四面体的花岗岩巨石 量得六条棱长分别为 l 10m m 15m n 12m p 14m q 13m r 11m 则 95 2 222 46 2 222 5 110 2 222 lrpmrpnqp 代入 2 1 式 得 75 1369829 1219546 95169 5 110 46 5 110196 236 V 于是 195 82639 380502 23 mV 即花岗岩巨石的体积约为 195m3 古埃及的金字塔形状为四面体 因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔 的体积 3 动动物数量的按年物数量的按年龄龄段段预测问题预测问题 问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为 15 岁 将其分成三个 年龄组 第一组 0 5 岁 第二组 6 10 岁 第三组 11 15 岁 动物从第二 年龄组起开始繁殖后代 经过长期统计 第二组和第三组的繁殖率分别为 4 和 3 第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为 和 1 2 1 4 假设农场现有三个年龄段的动物各 100 头 问 15 年后农场三个年龄段的动物各 有多少头 问题分析与建模 因年龄分组为 5 岁一段 故将时间周期也取为 5 年 15 年 后就经过了 3 个时间周期 设表示第 k 个时间周期的第 i 组年龄阶段动物的 k i x 5 数量 k 1 2 3 i 1 2 3 因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期 上一年龄组存活下来动物的数量 所以有 3 2 1 4 1 2 1 1 2 3 1 1 2 kxxxx kkkk 又因为某一时间周期 第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组 出生的动物的数量 所以有 3 2 1 34 1 3 1 2 1 kxxx kkk 于是我们得到递推关系式 4 1 2 1 34 1 2 3 1 12 1 3 1 2 1 kk kk kkk xx xx xxx 用矩阵表示 3 2 1 0 4 1 0 00 2 1 340 1 3 1 2 1 1 3 2 1 k x x x x x x k k k k k k 则 3 2 1 1 kLxx kk 其中 1000 1000 1000 0 4 1 0 00 2 1 340 0 xL 则有 3 2 1 3 2 1 k x x x x k k k k 6 250 500 7000 1000 1000 1000 0 4 1 0 00 2 1 340 0 1 Lxx 125 3500 2750 250 500 7000 0 4 1 0 00 2 1 340 1 2 Lxx 875 1375 14375 125 3500 2750 0 4 1 0 00 2 1 340 2 3 Lxx 结果分析 15 年后 农场饲养的动物总数将达到 16625 头 其中 0 5 岁的 有 14375 头 占 86 47 6 10 岁的有 1375 头 占 8 27 11 15 岁的有 875 头 占 5 226 15 年间 动物总增长 16625 3000 13625 头 总增长率为 13625 3000 454 16 注 要知道很多年以后的情况 可通过研究式中当趋于 0 1 xLLxx kkk 无穷大时的极限状况得到 关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限 比如 5 年 分 成若干年龄组 同时假设各年龄段的田 女人口分布相同 这样就可以通过只 考虑女性人口来简化模型 人口发展随时间变化 一个时间周期的幅度使之对应 于基本年龄组间距 如先例的 5 年 令是在时间周期 k 时第 i 个年龄组的 k i x 女性 人口 i 1 2 n 用 1 表示最低年龄组 用 n 表示最高年龄组 这意味 着不考虑更大年龄组人口的变化 假如排除死亡的情形 那么在一个周期内第 i 个年龄组的成员将全部转移到 i 1 个年龄组 但是 实际上必须考虑到死亡率 因此这一转移过程可由一存活 系数所衰减 于是 这一转移过程可由下述议程简单地描述 1 2 1 1 1 nixbx k ii k i 7 其中是在第 i 个年龄组在一个周期的存活率 因子可由统计资料确定 i b i b 惟一不能由上述议程确定的年龄组是其中的成员是在后面的周期内出生的 他们 1 k x 是后面的周期内成员的后代 因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及 其人数 于是有方程 3 1 1 1 22 1 11 1 k nn kkk xaxaxax 这里是第 i 个年龄组的出生率 它是由每时间周期内 第 i 个年 2 1 niai 龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的 通常可由统计资料来确定 于是我们得到了单性别分组的人口模型 用矩阵表示便是 0000 0000 0000 1 1 3 1 2 1 1 1 2 1 1321 3 2 1 k n k k k n nn k n k k k x x x x b b b aaaaa x x x x 或者简写成 3 2 1 kk Lxx 矩阵 0000 0000 0000 1 2 1 1321 n nn b b b aaaaa L 称为 Leslie 矩阵 由 3 2 式递推可得 0 1 xLLxx kkk 这就是 Leslie 模型 4 企企业业投入投入产产生分析模型生分析模型 问题 某地区有三个重要产业 一个煤矿 一个发电厂和一条地方铁路 开 采一元钱的煤 煤矿要支付 0 25 元的电费及 0 25 元的运输费 生产一元钱的电 8 力 发电厂要支付 0 65 元的煤费 0 05 元的电费及 0 05 元的运输费 创收一元 钱的运输费 铁路要支付 0 55 元的煤费及 0 10 元的电费 在某一周内 煤矿接到 外地金额为 50000 元的定货 发电厂接到外地金额为 25000 元的定货 外界对 地方铁路没有需求 问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需 求 数学模型 设 x1为煤矿本周内的总产值 x2为电厂本周的总产值 x3为铁 路本周内的总产值 则 4 1 0 005 0 25 0 25000 10 0 05 0 25 0 50000 55 0 65 0 0 3213 3212 3211 xxxx xxxx xxxx 即 0 25000 50000 005 0 25 0 10 0 05 0 25 0 55 0 65 0 0 3 2 1 3 2 1 x x x x x x 即 0 25000 50000 005 0 25 0 10 0 05 0 25 0 55 0 65 0 0 3 2 1 YA x x x X 矩阵 A 称为直接消耗矩阵 X 称为产出向量 Y 称为需求向量 则方程组 4 1 为 YAXX 即 4 2 YXAE 其中矩阵 E 为单位矩阵 E A 称为列昂杰夫矩阵 列昂杰夫矩阵为非奇 异矩阵 投入产出分析表 设D 1 1 1 C 00 00 00 3 2 1 1 x x x ACEAEB 矩阵 B 称为完全消耗矩阵 它与矩阵 A 一起在各个部门之间的投入产生中起平 衡作用 矩阵 C 可以称为投入产出矩阵 它的元素表示煤矿 电厂 铁路之间的 9 投入产出关系 向量 D 称为总投入向量 它的元素是矩阵 C 的对应列元素之和 分别表示煤矿 电厂 铁路得到的总投入 由矩阵 C 向量 Y X 和 D 可得投入产出分析表 4 1 表 4 1 投入产出分析表 单位 元 煤矿电厂铁路外界需求总产出 煤矿 11 c 12 c 13 c 1 y 1 x 电厂 21 c 22 c 23 c 2 y 2 x 铁路 31 c 32 c 33 c 3 y 3 x 总投入 1 d 2 d 3 d 计算求解 按 4 2 式解方程组可得产出向量 X 于是可计算矩阵 C 和向 量 D 计算结果如表 4 2 表 4 2 投入产出计算结果 单位 元 煤矿电厂铁路外界需求总产出 煤矿036505 9615581 5150000102087 48 电厂25521 872808 152833 002500056163 02 铁路25521 872808 150028330 02 总投入51043 7442122 2718414 52 5 交通流量的交通流量的计计算模型算模型 问题 图 5 1 给出了某城市部分单行街道的交通流量 每小时过车数 10 假设 1 全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量 2 全部流 入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量 试建立数学模型确定该交通网络 未知部分的具体流量 建模与计算 由网络流量假设 所给问题满足如下线方程组 1000 600 200 400 1000 800 800 200 500 300 638 10 910 9 87 51 21 67 54 432 xxx x xx x xx xx xx xx xx xxx 系数矩阵为 0010100100 1000000000 1100000000 0100000000 0011000000 0000010001 0000000011 0001100000 0000011000 0000001110 A 增广矩阵阶梯形最简形式为 11 00000000000 00000000000 6001000000000 4000100000000 10000011000000 8000010100000 5000000011000 2000000000100 00000010010 8000000010001 B 其对应的齐次方程组为 0 0 0 0 0 0 0 0 10 9 87 86 54 3 52 51 x x xx xx xx x xx xx 取 x5 x8 为自由取值未知量 分别赋两组值为 1 0 0 1 得齐次方 程组基础解系中两个解向量 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 2 其对应的非齐次方程组为 600 400 1000 800 500 200 0 800 10 9 87 86 54 3 52 51 x x xx xx xx x xx xx 赋值给自由未知量 x5 x8 为 0 0 得非齐次方程组的特解 12 600 400 0 1000 800 0 500 200 0 800 x 于是方程组的通解其中 k1 k2为任意常数 x 的每一个分量即为 2211 xkkx 交通网络未知部分的具体流量 它有无穷多解 6 小行星的小行星的轨轨道模型道模型 问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道 他在轨道平面内 建立以太阳为原点的直角坐标系 在两坐标轴上取天文测量单位 一天文单位 为地球到太阳的平均距离 1 4959787 1011m 在 5 个不同的时间对小行星作 了 5 次观察 测得轨道上 5 个点的坐标数据如表 6 1 表 6 1 坐标数据 x1x2x3x4x5 X 坐标5 7646 2866 7597 1687 408 y1y2y3y4y5 Y 坐标0 6481 2021 8232 5263 360 由 Kepler 开普勒 第一定律知 小行星轨道为一椭圆 现需要建立椭圆的 方程以供研究 注 椭圆的一般方程可表示为 01222 54 2 32 2 1 yaxayaxyaxa 问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时 他的依据是轨 道上五个点的坐标数据 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 由 Kepler 第一定律知 小行星轨道为一椭圆 而椭圆属于二次曲线 二次曲 线的一般方程为 为了确定方程中的五个待定01222 54 2 32 2 1 yaxayaxyaxa 系数 将五个点的坐标分别代入上面的方程 得 1 222 1222 1222 1222 1222 5554 2 53552 2 51 4544 2 43442 2 41 3534 2 33332 2 31 2524 2 23222 2 21 1514 2 13112 2 11 yaxayayxaxa yaxayayxaxa yaxayayxaxa yaxayayxaxa yaxayayxaxa 13 这是一个包含五个未知数的线性方程组 写成矩阵 1 1 1 1 1 222 222 222 222 222 5 4 3 2 1 55 2 555 2 5 44 2 444 2 4 33 2 333 2 3 22 2 222 2 2 11 2 111 2 1 a a a a a yxyyxx yxyyxx yxyyxx yxyyxx yxyyxx 求解这一线性方程组 所得的是一个二次曲线方程 为了知道小行星轨道的 一些参数 还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式 1 2 2 2 2 b Y a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点 这时可以根据椭圆的长半轴和a 短半轴计算出小行星的近日点和远日点距离 以及椭圆周长 bL 根据二次曲线理论 可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下 0 2 2 2 1 C D YX 所以 椭圆长半轴 椭圆短半轴 椭圆半焦矩 C D a 1 C D b 2 22 bac 计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵 7200 6 9600 142896 112656 509504 55 0520 5 3360 143807 6 2127 363802 51 6460 3 5180 133233 3 6433 246841 45 4040 2 5720 124448 1 1115 155138 39 292 1 528 114199 0 4701 7 2237 33 A 使用计算机可求得 2165 0 6351 1 6942 0 3440 0 6143 0 54321 aaaaa 从而 6942 0 3440 0 3440 0 6143 0 32 21 aa aa C 的特征值CC 3081 0 0005 1 3080 0 21 14 12165 0 6351 1 2165 0 6942 0 3440 0 6351 1 3440 0 6143 0 1 54 532 321 aa aaa aaa D 8203 1 D 于是 椭圆长半轴 短半轴 半焦距 小行星近日1834 19 a9045 5 b2521 18 c 点距和远日点距为 4355 37 039313 caHcah 最后 椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分 可以考虑用数值积分解决问题 其近似 值 为 84 7887 7 人口迁移的人口迁移的动态动态分析分析 问题 对城乡人口流动作年度调查 发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势 每年农村居民的 2 5 移居城镇 而城镇居民的 1 迁出 现在总人口的 60 位于城 镇 假如城乡总人口保持不变 并且人口流动的这种趋势继续下去 那么一年以后 住在城镇人口所占比例是多少 两年以后呢 十年以后呢 最终呢 解 设开始时 令乡村人口为城镇人口为一年以后有 0 y 0 z 乡村人口 100 1 1000 975 100 yzy 城镇人口 100 99 1000 25 100 zzy 或写成矩阵形式 0 0 1 1 100 99 1000 25 100 1 1000 975 z y z y 两年以后 有 100 99 1000 25 100 1 1000 975 100 99 1000 25 100 1 1000 975 0 0 2 1 1 2 2 z y z y z y 十年以后 有 15 100 99 1000 25 100 1 1000 975 0 0 10 10 10 z y z y 事实上 它给出了一个差分方程 我们现在来解这个差分方程 首先 kk Auu 1 100 99 1000 25 100 1 1000 975 A 年之后的分布 将对角化 kA 7 5 7 5 7 2 7 5 10 0 200 193 11 5 2 1 0 0 0 0 z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解 而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极 限状态 7 5 7 2 00 zy z y 总人口仍是 与开始时一样 但在此极限中人口的在城镇 而在乡村 无论初始分 00 zy 7 5 7 2 布是什么样 这总是成立的 值得注意这个稳定状态正是的属于特征值 1 的特征向量 上述A 例子有一些很好的性质 人口总数保持不变 而且乡村和城镇的人口数决不能为负 前一性质 反映在下面事实中 矩阵每一列加起来为 1 每个人都被计算在内 而没有人被重复或丢失 后 一性质则反映在下面事实中 矩阵没有负元素 同样地和也是非负的 从而和和 0 y 0 z 1 y 21 y z 等等也是这样 2 z 8 常染色体常染色体遗传遗传模型模型 为了揭示生命的奥秘 遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣 动植物在产生 下一代的过程中 总是将自己的特征遗传给下一代 从而完成一种 生命的延续 在常染色体遗传中 后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因 形成自己的 基因对 人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的 其特征遗传由两个基因和控Aa 制 基因对是和的人 眼睛是棕色 基因对是的人 眼睛为蓝色 由于和都表AAAaaaAAAa 16 示了同一外部特征 或认为基因支配 也可认为基因对于基因来说是隐性的 或称AaaA 为显性基因 为隐性基因 Aa 下面我们选取一个常染色体遗传 植物后代问题进行讨论 某植物园中植物的