学习数学的八种思想与八种能力

学习数学的十种思想与八种能力 小引 了解正态分布原理后 我们有充分的理由相信人与人智力上的区别并不明显 在正态总 体中 智力正常者占绝大数 智力超长与智力欠缺的人是极少数的 所以 直接来看 我们每个 人都有成为下一个高斯的潜力 都潜藏着伽罗华的才情 也许你注意到 很多数学方面有天赋的 学生或那些闪耀天空的数学伟人他们都有一个共同的特点 那就是他们的思想方法都高人一等 他们的思维方式都超人一流 那么 作为普通人的你 也许有必要在思想上有所突破 作为天资 纵横的杰出一辈 也许有必要在能力上继续积淀 浅谈十种思想 数形结合 数形结合 我国著名数学家华罗庚先生曾经写过这样的诗句 数形本是相依倚 焉能分作两边 飞 数缺形时少直观 形缺数时少难入微 数形结合百般好 割裂分家万事休 切莫忘 几何代 数统一体 永远联系莫分离 我们看到华罗庚先生对于数形结合思想给予了极大的肯定 学习 生活中我们也不断体会着数形结合带来的不可言喻的妙处 数形结合就像一架桥梁飞跨几何代数 化抽象为具体 使具体更加细腻 数形结合是数学解题中常用的思想方法 数形结合的思想可以 使某些抽象的数学问题直观化 生动化 能够变抽象思维为形象思维 有助于把握数学问题的本 质 另外 由于使用了数形结合的方法 很多问题便迎刃而解 且解法简捷 所谓数形结合 就 是根据数与形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 实现数形结合 常与以下内容有关 1 实数与数轴上的点的对应关系 2 函数与图象的对应关系 3 曲 线与方程的对应关系 4 以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念 如复数 三角函数等 5 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义 纵观多年来的高考试题 巧妙运用数形 结合的思想方法解决一些抽象的数学问题 可起到事半功倍的效果 数形结合的重点是研究 以 形助数 数形结合的思想方法应用广泛 常见的如在解方程和解不等式问题中 在求函数的值 域 最值问题中 在求复数和三角函数解题中 运用数形结思想 不仅直观易发现解题途径 而 且能避免复杂的计算与推理 大大简化了解题过程 这在解选择题 填空题中更显其优越 要注 意培养这种思想意识 要争取胸中有图见数想图 以开拓自己的思维视野 分类讨论 分类讨论 这是考纲中重点要求的一种学生必须掌握的思想 掌握它可以说是学生乃至数学爱好 者与数学工作者的本分 而它的重点在于何时分类与如何分类 它要求分类做到不重不漏 恰到 好处 在解题过程中 分类前常常伴随对题干本身的挖掘与变化 分类后又会有遇到一些新的问 题 所以在扎实基本功的前提下 树立分类讨论思想极具必要性 极限思维 极限思维 这种思维的养成需要某种程度上的偏执 加上一点不群的怪诞想法 极限是对万物规 律的本源的探求 是一种随着个人意愿的无限放大 紧接着量变必然催生质的飞跃 极限思维在 研究物理过程和动平衡问题时长驱直入 例如伽利略在研究自由落体运动时大胆的将斜面外推之 90 度从而揭示了真理 爱因斯坦正是在极端环境下窥探到牛顿经典力学的谬误 从而创立了相对 论 极限思维注重极端效果和结论 运用时要分清情况否则容易忽略中间内容的变化 例如求特 定抛物线在一段定义域上的值域时 是不得不考虑对称轴的 然而如果没有极高的哲学修养 运用 这种思维会徒劳无功 爱因斯坦在晚年企图构造统一场论 牛顿晚年欲证明上帝第一推动力的存 在 结果就是终其一生无所收获 极限思维也是一种有逻辑的系统性的思维延伸 不断追问为什 么 这样有两个后果 一是误入歧途 一是直达峰顶 这时哲学的力量就显现了 后者有着更多 的对生活规律和自然现象的认识 极限思维能在已知的方向上不断突进 挖掘事物的共性和特性 比如说 了解一个国家的地理 如果不知道这个国家的疆域四至 那么永远都不会有一个全面的 认识 极限就是从中心拓展到边界 这样我们会在知识之外审视它们 构筑出浑然一体的知识系 这样即使常年不从事科学研究 知识技术仍不会失掉 化归转化 化归转化 以开篇正态分布为例 解决正态分布概率题时有时我们也会转化成图像面积问题 利 用对称性来解决 这样一道问题就被转化成了另一种问题 化归思想就是化未知为已知 化繁为 简 化难为易 把问题肢解 如将分式方程化为整式方程 将代数问题化为几何问题 将四边形 问题转化为三角形问题等 实现这种转化的方法有 待定系数法 配方法 整体代入法以及化动 为静 由抽象到具体等转化思想 以下一道例题足以说明化归思想解题的威力 例题 鸡兔同笼 笼中有头 50 有足 140 问鸡 兔各有几只 分析 化归的实质是不断变更问题 这里可以先对已知成分进行变形 每只鸡有 2 只脚 每只兔 有 4 只脚 这是问题中不言而喻的已知成分 现在对问题中的已知成分进行变形 一声令下 要求每只鸡悬起一只脚 呈金鸡独立状 又要求每只兔悬起两只前脚 呈玉兔拜月状 那么 笼 中仍有头 50 而脚只剩下 70 只了 并且 这时鸡的头数与足数相等 而兔的足数与兔的头数不 等 有一头兔 就多出一只脚 现在有头 50 有足 70 这就说明有兔 20 头 有鸡 30 头 对称思想 对称思想 对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一 是其运动变化和发展的规律之一 站在对称思想的哲学高度来研究 具体事物的对称性如狭义的形数对称 抽象事物的对称性如广 义的对等性对称和数学思想方法的对称性如反对等性对称 有利于认识 分析相关问题 达到遵 循对称规律 简化问题 缩短解决问题的进程 自然给予我们的理论只是一部分 万物规律的 4 分之 3 都是在一群有着卓越才能的开拓性学者在对称观点的指导下发现的 而且这个比例还在增 加 对称观点的重要不下于极限思维 两者又可以很好地结合 其实极限与对称可以在一定高度 上契合 比如一维对称 二维组合对称 分组对称 无序对称 随机对称 对称守恒等等都是极 限的对称 因为极限使真理更全面 多角度地为人所认知 注意 对称不是平均 而是地位平等 比如关于 a b c 的轮换对称式中 a b c 就是对称的 老子的学说中有着浓厚的哲学辩证意味 高下相倾 远近相随 音声相和等等 对称是人生的大智慧的重要组成 整体化 整体化 对庞杂的算式进行化简 是比较令人头痛的问题 常常当我们百思不得其解的时候翻看 答案 会发出感叹 原来这不就是我们曾学过的部分吗 只不过本来知识中的变量是一个字母 在实战中变成了一个巨大的分式等等 再有就是排列组合的问题中整体化的思想也随处可见 整 体化就是整体考虑问题或局部捆绑 这中思想建立与充分了解题意和观察提干的基础上 这里我 们以整体代换为例 整体代换是运用整体思想处理问题的一种方法 其基本思想是把问题中的某 些对象作为一个整体考虑 从而发现问题的内在联系 找到求解的思路 运用整体思想解题的关 键是 整体 的选择与确定 以定求动 以定求动 重点就是分清哪些成分是已知的 可控的 不变的 找到它们与问题的联系把它们作 为已知去探求那些变化的 不可分析的量 运动观点 运动观点 多角度看问题 机动灵活地追踪提干的线索 养成一种 动 起来的思维 动则变 变则通 通则达 达则明 代入与复代入 代入与复代入 大家会常常忽略这个手段 这却恰恰是一个条件宝藏 以解析几何为例 复代入 就是分解解析式的部分多项式 研究明晰后作为工具以定求动 正难则反 正难则反 关键是什么程度算难 不要做那个止步于黄金咫尺之外寻宝人 浅析八种能力 读题 读题 翻译条件 形成情景 融会贯通 才能真正施展拳脚揭开题目的面纱 计算 计算 要控制思维的速度 不要过快 其实快也是一种慢 而且并不是健康的习惯 常常是算多 了就会出错 就像跳绳 但是这种能力是可以不断强化和训练的 联想 联想 一般的学生会尽量专心地听课 记录 他们的思维缺少弹性 以后的生活中一旦遇到出乎 意料的挫败 就会陷入绝望 而优秀的学生总是突出的 总是爱开小差 因为他们的思维不受约 束 也没有什么能约束得了 常常是他们自己都控制不了 这样他们也许会失去知识的片段 但 是他们缺体会了联想的美妙感受 他们思接千里 神游八极 思潮如涌 浮想联翩 这种 联想 总是自然而然的 思维用处之大在解决数学问题时就可见一斑 例如数形结合就是一种联想 多 个复合函数的积的奇偶性取决于奇函数个数的奇偶性 这不由得使人联想到有理数成法运算结果 的符号决定于负数个数的奇偶 物理的整体法和隔离法等等都是联想 如果自然而然的能想到这 样去分析 那么思维程度在同龄人中是相当高的 在对称思维的指导下的联想有着无穷的魅力 一道 很难的理科问题 答案总是巧妙得很 令人感到被思维的力量紧紧包裹 满是惬意 数学中正难 则反的思维 反证法 逆推法 假设法等等 就是由于通常思维的局限 迫使人们从反面来研究 同一法 面积桥 投影法这些精巧的方法 也都孕育于对称的联想 空间想象能力 空间想象能力 它要求你能够根据图形想象出所描述物体的直观形象 能正确地分析出基本元素 极其相关关系 在掌握之后 学会创造 学会剖析并形象地揭示图形本质 抽象概括能力 抽象概括能力 一句话就是抓住本质 概括结论 并将之应用于后续步骤 推理论证能力 推理论证能力 教材大纲中所要求的内容仅作为基础 以数学归纳法为例 要想再有所提高需再 深入研究 数据处理能力 数据处理能力 本能力分为两部分 一是数感 能敏锐的发现数据的联系 二是能分析数据并得 出结论 后者需要一定知识储备 创新应用意识 创新应用意识 对数学问题的 观察 猜测 抽象 概括 证明 是发现问题和解决问题的重要 途径 对数学知识的迁移 组合 融会的程度越高 显示出的创新意识越强 关于创造 现今的 科学家已经能够用粒子的碰撞来制造新元素 这正是对称思维的力量 元素周期表上仍有空缺 这是一种残缺 那么用对称的思维来考察 就会理所当然的认为必定有新元素的存在 牛顿看到 苹果落下来 他想到的是与通常想法对称的 结果他成为了近代自然科学的奠基人 世界空