2.3数学归纳法

数学归纳法数学归纳法 1 1 一 学情分析一 学情分析 数学归纳法被安排在高二下学期 普通高中课程标准实验教科书 选修 2 2 苏教版 第二章第三 节 这个阶段的学生思维趋于成熟 能进行抽象的逻辑思维分析 在知识方面 已经学过高中阶段的大 部分的知识板块 具有一定的知识储备 在能力方面 初高中已经将类比推理渗透到教材的很多章节 学生正在不知不觉地应用着 二 设计思想二 设计思想 本节课主要是利用以前学习过的知识 认识一种思维方法 类比推理 在整个过程中 学生已经 具备独立研究知识的能力 所以在教学中我从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发 唤起学生的 经验 找到知识的生长点 三 课程资源三 课程资源 在中小学数学教学中 对合情推理的能力培养都有一定的要求 而且在整个高中教材中有很多章节 已经渗透了用类比推理的方式生成新的知识 比如必修 2 阅读部分增加了 平面几何与立体几何的类比 必修 5 中 等差与等比数列的类比 等等 四 教学目标四 教学目标 1 理解数学归纳法的概念 掌握数学归纳法的证明步骤 2 通过数学归纳法的学习 体会用不完全归纳法发现规律 用数学归纳法证明规律的途 径 掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法 五 教学重点与难点五 教学重点与难点 教学重点 教学重点 掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法 教学难点 教学难点 能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题 教具准备 教具准备 多媒体 课时安排 课时安排 1 课时 共三课时 六 教学过程 六 教学过程 一 问题情境 数列 an 已知 a1 1 且 n 1 2 3 通过对 n 1 2 3 4 前 4 1 1 n n n a a a 项的观察 我们可以猜想出其通项公式为 这种方法叫 1 n a n 生答 归纳推理 从特殊到一般 归纳法 归纳推理 归纳法 归纳推理 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 问题问题 1 1 这是一盒白色的粉笔 这是一盒白色的粉笔 完全归纳法 完全归纳法 考察全体对象 得到一般结论的推理方法 结论一定可靠 但需逐一核对 实施较难 结论一定可靠 但需逐一核对 实施较难 问题问题 2 2 天下乌鸦一般黑 天下乌鸦一般黑 不完全归纳法 考察部分对象 得到一般结论的推理方法 结论不一定可靠 但有利于发现问题 形成猜想 结论不一定可靠 但有利于发现问题 形成猜想 回到刚刚的问题 刚刚得出的猜想属于 生答 不完全归纳 不一定成立 必须通过严格的证明 怎么证明 思考思考 1 1 与正整数 与正整数 n n 有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢 有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢 思考思考 2 2 如果一个数学命题与正整数 如果一个数学命题与正整数 n n 有关 我们能否找到一种既简单又有效的证明方有关 我们能否找到一种既简单又有效的证明方 法呢 法呢 很多同学小时候都玩过这样的游戏 多米诺骨牌游戏 多米诺骨牌 domino 是一种用木制 骨制或塑料制成的长方形骨牌 玩时将骨牌按 一定间距排列成行 轻轻碰倒第一枚骨牌 其余的骨牌就会产生连锁反应 依次倒下 多米诺是一项集动手 动脑于一体的运动 一幅图案由几百 几千甚至上万张骨牌组成 骨牌需要一张张摆下去 它不仅考验参与 者的体力 耐力和意志力 而且还培养参与者的智力 想象力和创造力 多米诺是种文化 它起源于中国 有着上千年的历史 思考思考 这个游戏中 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么 这个游戏中 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么 只要满足以下两个条件 所有的多米诺骨牌都能倒下 1 2 思考思考 你认为条件 2 的作用是什么 思考思考 如果条件 1 不要 能不能保证全部的骨牌都倒下 2 思考 你认为证明数学的通项公式是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相 1 n a n 似性吗 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗 多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法 1 n a n 1 第一块骨牌倒下 1 当 n 时 猜想成立 2 若第 k 块倒下时 则相邻的 第 k 1 块也倒下 2 若当 n 时 猜想成立 即 则当 n 时 猜想也 成立 即 根据 1 和 2 可知不论有多 少块骨牌 都能全部倒下 根据 1 和 2 可知对任意的 正整数 n 猜想都成立 证明 1 2 假设 那么 1 1 1 1 11 1 k k k a k a ak k 即 n k 1 时猜想也成立 根据 1 和 2 可知对任意的正整数 n 猜想都成立 这样 对于猜想 由已知 n 1 成立 就有 n 2 成立 n 2 成立 就有 n 3 也成立 n 3 成立 就有 n 4 也成立 所以 对任意的正整数 n 猜想都成立 即数列的通项公式是 1 n a n 3 小结 数学归纳法的定义 一般地 证明一个与正整数有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当 n 取第一个值 n0时命题成立 2 归纳递推 假设 n k k n0 k N 时命题成立 证明当 n k 1 时命题也成 立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 用框图表示为 若 n k k n0 时命题成立 证明 n k 1 时命题也成 立 验证 n n0时 命题成立 命题对从 n0从开始 所有的正整数 n 都成 立 归纳奠基 归纳递推 注 这两个步骤缺一不可 只完成步骤 1 而缺少步骤 2 就做出判断可能得出不 正确的结论 因为单靠步骤 1 无法递推下去 即 n 取 n0以后的数时命题是否正确 我 们无法判定 同样 只有步骤 2 而缺少步骤 1 也可能得出不正确的结论 缺少步骤 1 这个基础 假设就失去了成立的前提 步骤 2 也就没有意义了 二 知识应用 例 1 用数学归纳法证明 1 3 5 2n 1 2 n 练习P90 2 结论 第一步是递推的基础 缺少了第一步就失去了保证 不要误认为第一步是一个简结论 第一步是递推的基础 缺少了第一步就失去了保证 不要误认为第一步是一个简 单的验证 可有可无 单的验证 可有可无 P90 3P90 3 结论 在第一步中的初始值不一定从结论 在第一步中的初始值不一定从 1 1 取起取起 证明应根据具体情况而定证明应根据具体情况而定 例 2 用数学归纳法证明 12 22 32 n2 n N 1 21 6 n nn 三 教学评价教学评价 1 用数学归纳法证明 2 21 1 11 1 n n a aaaan a N 在验证n 1成立时 左边计算所得的结果是 2 已知 则等于 111 1231 f n nnn 1 f k 3 用数学归纳法证明 1 2 2 3 3 4 n n 1 1 1 2 3 n nn 七 课堂小结七 课堂小结 数学