高中数学公式大全85072

精品文档 1欢迎下载 高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论 1 元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 3 包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 容斥原理 card ABcardAcardBcard AB card ABCcardAcardBcardCcard AB card ABcard BCcard CAcard ABC 5 集合的子集个数共有 个 真子集有 1 个 非空子集有 12 n a aa 2n2n2n 1 个 非空的真子集有 2 个 2n 6 二次函数的解析式的三种形式 1 一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶点式 2 0 f xa xhk a 3 零点式 12 0 f xa xxxxa 7 解连不等式常有以下转化形式 Nf xM Nf xM 0f xMf xN 22 MNMN f x 0 f xN Mf x 11 f xNMN 8 方程在上有且只有一个实根 与不等价 前者是后0 xf 21 kk0 21 kfkf 者的一个必要而不是充分条件 特别地 方程有且只有一个实根在 0 0 2 acbxax 内 等价于 或且 或且 21 kk0 21 kfkf0 1 kf 22 21 1 kk a b k 0 2 kf 2 21 22 k a bkk 9 闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区 0 2 acbxaxxf qp a b x 2 间的两端点处取得 具体如下 1 当 a 0 时 若 则 qp a b x 2 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a 精品文档 2欢迎下载 qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 当 a0 1 则的周期 T a axfxf xf 2 0 axfxf 或 0 1 xf xf axf 或 1 f xa f x 0 f x 或 则的周期 T 2a 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x xf 3 则的周期 T 3a 0 1 1 xf axf xf xf 精品文档 5欢迎下载 4 且 则 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa 的周期 T 4a xf 5 2 3 4 f xf xaf xa f xaf xa 则的周期 T 5a 2 3 4 f x f xa f xa f xa f xa xf 6 则的周期 T 6a axfxfaxf xf 30 分数指数幂 1 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 2 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 31 根式的性质 1 n n aa 2 当为奇数时 n nn aa 当为偶数时 n 0 0 nn a a aa a a 32 有理指数幂的运算性质 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 ap表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算 性质 对于无理数指数幂都适用 33 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 34 对数的换底公式 且 且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论 且 且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 35 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 36 设函数 记 若的定义域为 0 log 2 acbxaxxf m acb4 2 xf 则 且 若的值域为 则 且 对于的情形 需要R0 a0 xfR0 a0 0 a 单独检验 37 对数换底不等式及其推广 若 则函数 0a 0b 0 x 1 x a log ax ybx 精品文档 6欢迎下载 1 当时 在和上为增函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 2 当 时 在和上为减函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 推论 设 且 则 1nm 0p 0a 1a 1 log log mpm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 38 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N 平均增长率为 则对于时间的总产值 有pxy 1 xyNp 39 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 数列的前 n 项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 40 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 41 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前 n 项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 42 等比差数列 的通项公式为 n a 11 0 nn aqad ab q 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前 n 项和公式为 精品文档 7欢迎下载 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 43 分期付款 按揭贷款 每次还款元 贷款元 次还清 每期利率为 1 1 1 n n abb x b anb 44 常见三角不等式 1 若 则 0 2 x sintanxxx 2 若 则 0 2 x 1sincos2xx 3 sin cos 1xx 45 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 46 正弦 余弦的诱导公式 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 47 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 平方正弦公式 22 sin sin sinsin 22 cos cos cossin 辅助角所在象限由点的象限决定 sincosab 22 sin ab a b tan b a 48 二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 49 三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin sin 33 n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 精品文档 8欢迎下载 3 cos34cos3cos4coscos cos 33 3 2 3tantan tan3tantan tan 1 3tan33 50 三角函数的周期公式 函数 x R 及函数 x R A 为常数 且sin yx cos yx A 0 0 的周期 函数 A 为常数 2 T tan yx 2 xkkZ 且 A 0 0 的周期 T 51 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 52 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 53 面积定理 1 分别表示 a b c 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 54 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 55 简单的三角方程的通解 sin 1 arcsin 1 k xaxka kZa s2arccos 1 co xaxka kZa tanarctan xaxka kZ aR 特别地 有 sinsin 1 k kkZ scos2 cokkZ tantan kkZ 56 最简单的三角不等式及其解集 sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ cos 1 2arccos 2arccos xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxka kkZ 精品文档 9欢迎下载 tan arctan 2 xa aRxkka kZ 57 实数与向量的积的运算律 设 为实数 那么 1 结合律 a a a a 2 第一分配律 a a a a a a 3 第二分配律 a a b b a a b b 58 向量的数量积的运算律 1 a a b b b b a a 交换律 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 a a b b c c a a c c b b c c 59 平面向量基本定理 如果 e e1 1 e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且 只有一对实数 1 2 使得 a a 1e e1 2e e2 不共线的向量 e e1 e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 60 向量平行的坐标表示 设 a a b b 且 b b0 0 则 a a b bb b0 0 11 x y 22 xy A 1221 0 x yx y 53 a a与 b b 的数量积 或内积 a a b b a a b b cos 61 a a b b 的几何意义 数量积 a a b b 等于 a a 的长度 a a 与 b b 在 a a 的方向上的投影 b b cos 的乘积 62 平面向量的坐标运算 1 设 a a b b 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 2 设 a a b b 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 3 设 A B 则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 设 a a 则a a x yR xy 5 设 a a b b 则 a a b b 11 x y 22 xy 1212 x xy y 63 两向量的夹角公式公式 a a b b 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 x y 22 xy 64 平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB A B 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 65 向量的平行与垂直 设 a a b b 且 b b0 0 则 11 x y 22 xy A A b bb b a a 1221 0 x yx y a ab ab a0 0 a a b b 0 1212 0 x xy y 66 线段的定比分公式 设 是线段的分点 是实数 且 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 12 PPPP 则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 精品文档 10欢迎下载 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 67 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 则 ABC 的重心的坐 11 A x y 22 B x y 33 C x y 标是 123123 33 xxxyyy G 68 点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP 注 图形 F 上的任意一点 P x y 在平移后图形上的对应点为 且的 F P x y PP 坐标为 h k 69 按向量平移 的几个结论 1 点按向量 a a 平移后得到点 P x y h k P xh yk 2 函数的图象按向量 a a 平移后得到图象 则的函数解析式 yf x C h k C C 为 yf xhk 3 图象按向量 a a 平移后得到图象 若的解析式 则的函数 C h kCC yf x C 解析式为 yf xhk 4 曲线 按向量 a a 平移后得到图象 则的方程为C 0f x y h k C C 0f xh yk 5 向量 m m 按向量 a a 平移后得到的向量仍然为 m m x y h k x y 70 三角形五 心 向量形式的充要条件 设为所在平面上一点 角所对边长分别为 则OABC A B C a b c 1 为的外心 OABC 222 OAOBOC 2 为的重心 OABC 0OAOBOC 3 为的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 为的内心 OABC 0aOAbOBcOC 5 为的的旁心 OABC A aOAbOBcOC 71 常用不等式 1 当且仅当 a b 时取 号 a bR 22 2abab 2 当且仅当 a b 时取 号 a bR 2 ab ab 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 bababa 72 极值定理 已知都是正数 则有yx 1 若积是定值 则当时和有最小值 xypyx yx p2 2 若和是定值 则当时积有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 推广 已知 则有Ryx xyyxyx2 22 精品文档 11欢迎下载 1 若积是定值 则当最大时 最大 xy yx yx 当最小时 最小 yx yx 2 若和是定值 则当最大时 最小 yx yx xy 当最小时 最大 yx xy 73 一元二次不等式 如果与 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 同号 则其解集在两根之外 如果与异号 则其解集在两根之 2 axbxc a 2 axbxc 间 简言之 同号两根之外 异号两根之间 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 74 含有绝对值的不等式 当 a 0 时 有 2 2 xaxaaxa 或 22 xaxaxa xa 75 无理不等式 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 76 指数不等式与对数不等式 1 当时 1a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 当时 01a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 77 斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 78 直线的五种方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykxb l 精品文档 12欢迎下载 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 截距式 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 0ab 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 79 两条直线的平行和垂直 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若 且 A1 A2 B1 B2都不为零 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 111 12 222 ABC ll ABC 121212 0llA AB B 80 夹角公式 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线时 直线l1与l2的夹角是 12 ll 2 81 到的角公式 1 l 2 l 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线时 直线l1到l2的角是 12 ll 2 82 四种常用直线系方程 1 定点直线系方程 经过定点的直线系方程为 除直线 000 P xy 00 yyk xx 其中是待定的系数 经过定点的直线系方程为 0 xx k 000 P xy 其中是待定的系数 00 0A xxB yy A B 2 共点直线系方程 经过两直线 的交 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 点的直线系方程为 除 其中 是待定的系 111222 0AxB yCA xB yC 2 l 数 3 平行直线系方程 直线中当斜率 k 一定而 b 变动时 表示平行直线ykxb 系方程 与直线平行的直线系方程是 0AxByC 0AxBy 0 是参变量 精品文档 13欢迎下载 4 垂直直线系方程 与直线 A 0 B 0 垂直的直线系方程0AxByC 是 是参变量 0BxAy 83 点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 84 或所表示的平面区域0AxByC 0 设直线 则或所表示的平面区域是 0l AxByC 0AxByC 0 若 当与同号时 表示直线 的上方的区域 当与0B BAxByC lB 异号时 表示直线 的下方的区域 简言之 同号在上 异号在下 AxByC l 若 当与同号时 表示直线 的右方的区域 当与0B AAxByC lA 异号时 表示直线 的左方的区域 简言之 同号在右 异号在左 AxByC l 85 或所表示的平面区域 111222 0AxB yCA xB yC 0 设曲线 则 111222 0CAxB yCA xB yC 1212 0A A B B 或所表示的平面区域是 111222 0AxB yCA xB yC 0 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 86 圆的四种方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 圆的直径式方程 圆的直径的端点是 1212 0 xxxxyyyy 11 A x y 22 B xy 87 圆系方程 1 过点 的圆系方程是 11 A x y 22 B xy 1212112112 0 xxxxyyyyxxyyyyxx 其中是直线 1212 0 xxxxyyyyaxbyc 0axbyc 的方程 是待定的系数 AB 2 过直线 与圆 的交点的圆系方程l0AxByC C 22 0 xyDxEyF 是 是待定的系数 22 0 xyDxEyFAxByC 3 过圆 与圆 的交 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF 点的圆系方程是 是待定的 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 系数 88 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 00 P xy 222 rbyax 若 则 22 00 daxby 点在圆外 点在圆上 点在圆内 dr Pdr Pdr P 89 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 0 交交rd 精品文档 14欢迎下载 0 交交rd 0 交交rd 其中 22 BA CBbAa d 90 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 O2 半径分别为 r1 r2 dOO 21 交交交交交交4 21 rrd 交交交交交交3 21 rrd 交交交交交交2 2121 rrdrr 交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd 91 圆的切线方程 1 已知圆 22 0 xyDxEyF 若已知切点在圆上 则切线只有一条 其方程是 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 当圆外时 表示过两个切点 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为 再利用相切条件求 k 这时 00 yyk xx 必有两条切线 注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为 再利用相切条件求 b 必有两条切线 ykxb 2 已知圆 222 xyr 过圆上的点的切线方程为 000 P xy 2 00 x xy yr 斜率为的圆的切线方程为 k 2 1ykxrk 92 椭圆的参数方程是 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 93 椭圆焦半径公式 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 94 椭圆的的内外部 1 点在椭圆的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在椭圆的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 95 椭圆的切线方程 1 椭圆上一点处的切线方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 精品文档 15欢迎下载 00 22 1 x xy y ab 3 椭圆与直线相切的条件是 22 22 1 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 96 双曲线的焦半径公式 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 1 a PFe x c 2 2 a PFex c 97 双曲线的内外部 1 点在双曲线的内部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在双曲线的外部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 98 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为 焦点在 x1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 轴上 焦点在 y 轴上 0 99 双曲线的切线方程 1 双曲线上一点处的切线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 双曲线与直线相切的条件是 22 22 1 0 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 100 抛物线的焦半径公式pxy2 2 抛物线焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 101 抛物线上的动点可设为 P或 P 其pxy2 2 2 2 y p y 交 2 2 2 ptptP x y 中 2 2ypx 102 二次函数的图象是抛物线 1 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 精品文档 16欢迎下载 顶点坐标为 2 焦点的坐标为 3 准线方程 2 4 24 bacb aa 2 41 24 bacb aa 是 2 41 4 acb y a 103 抛物线的内外部 1 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 3 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 4 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 104 抛物线的切线方程 1 抛物线上一点处的切线方程是 pxy2 2 00 P xy 00 y yp xx 2 过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是 pxy2 2 00 P xy 00 y yp xx 3 抛物线与直线相切的条件是 2 2 0 ypx p 0AxByC 2 2pBAC 105 两个常见的曲线系方程 1 过曲线 的交点的曲线系方程是 1 0f x y 2 0fx y 为参数 12 0f x yfx y 2 共焦点的有心圆锥曲线系方程 其中 当 22 22 1 xy akbk 22 max ka b 时 表示椭圆 当时 表示双曲线 22 min ka b 2222 min max a bka b 106 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 22 1212 ABxxyy 弦端点 A 2222 211212 1 1tan 1tABkxxxxyyco 由方程 消去 y 得到 为直线 2211 yxByx 0 y x F bkxy 0 2 cbxax0 的倾斜角 为直线的斜率 ABk 107 圆锥曲线的两类对称问题 1 曲线关于点成中心对称的曲线是 0F x y 00 P xy 00 2 2 0Fx xyy 2 曲线关于直线成轴对称的曲线是 0F x y 0AxByC 2222 2 2 0 A AxByCB AxByC F xy ABAB 108 四线 一方程 对于一般的二次曲线 用代 用代 22 0AxBxyCyDxEyF 0 x x 2 x 0 y y 用代 用代 用代即得方程 2 y 00 2 x yxy xy 0 2 xx x 0 2 yy y 曲线的切线 切点弦 中 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF 点弦 弦中点方程均是此方程得到 精品文档 17欢迎下载 109 证明直线与直线的平行的思考途径 1 转化为判定共面二直线无交点 2 转化为二直线同与第三条直线平行 3 转化为线面平行 4 转化为线面垂直 5 转化为面面平行 110 证明直线与平面的平行的思考途径 1 转化为直线与平面无公共点 2 转化为线线平行 3 转化为面面平行 111 证明平面与平面平行的思考途径 1 转化为判定二平面无公共点 2 转化为线面平行 3 转化为线面垂直 112 证明直线与直线的垂直的思考途径 1 转化为相交垂直 2 转化为线面垂直 3 转化为线与另一线的射影垂直 4 转化为线与形成射影的斜线垂直 113 证明直线与平面垂直的思考途径 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 5 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 114 证明平面与平面的垂直的思考途径 1 转化为判断二面角是直二面角 2 转化为线面垂直 115 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 1 加法交换律 a a b b b b a a 2 加法结合律 a a b b c c a a b b c c 3 数乘分配律 a a b b a a b b 116 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体 的以公共始点为始点的对角线所表示的向量 117 共线向量定理 对空间任意两个向量 a a b b b b 0 0 a a b b存在实数 使 a a b b 三点共线 PAB APAB APtAB 1 OPt OAtOB 共线且不共线且不共线 AB CD AB CD ABCD ABtCD ABCD 118 共面向量定理 向量 p p 与两个不共线的向量 a a b b 共面的存在实数对 使 x ypaxby 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对 使 x yMPxMAyMB 或对空间任一定点 O 有序实数对 使 x yOPOMxMAyMB 119 对空间任一点和不共线的三点 A B C 满足 OOPxOAyOBzOC 则当时 对于空间任一点 总有 P A B C 四点共面 当xyzk 1k O 时 若平面 ABC 则 P A B C 四点共面 若平面 ABC 则 P A B C 四1k O O 点不共面 精品文档 18欢迎下载 四点共面与 共面 C AB D AD AB AC ADxAByAC 平面 ABC 1 ODxy OAxOByOC O 120 空间向量基本定理 如果三个向量 a a b b c c 不共面 那么对空间任一向量 p p 存在一个唯一的有序实数组 x y z 使 p p xa a yb b zc c 推论 设 O A B C 是不共面的四点 则对空间任一点 P 都存在唯一的三个有序实 数 x y z 使 OPxOAyOBzOC 121 射影公式 已知向量 a a和轴 e e 是 上与 同方向的单位向量 作 A 点在 上的射影 作 BAB llll A 点在 上的射影 则l B a a e e a a e e cosABAB 122 向量的直角坐标运算 设a a b b 则 123 a a a 123 b b b 1 a a b b 112233 ab ab ab 2 a a b b 112233 ab ab ab 3 a a R 123 aaa 4 a a b b 1 1223 3 aba ba b 123 设 A B 则 111 x y z 222 xyz ABOBOA 212121 xx yy zz 124 空间的线线平行或垂直 设 则 111 ax y z r 222 bxyz r a b rr P 0 ab b rr rr 12 12 12 xx yy zz ab rr 0a b r r 12121 2 0 x xy yz z 125 夹角公式 设a a b b 则 123 a a a 123 b b b cos a a b b 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb 推论 此即三维柯西不等式 2222222 1 1223 3123123 aba ba baaabbb 126 四面体的对棱所成的角 四面体中 与所成的角为 则ABCDACBD 2222 cos 2 ABCDBCDA AC BD 127 异面直线所成角 cos cos a b r r 12121 2 222222 111222 x xy yz za b abxyzxyz r r rr 其中 为异面直线所成角 分别表示异面直线的方向向量 090 oo a b a b r r a b 精品文档 19欢迎下载 128 直线与平面所成角AB 为平面的法向量 sin AB m arc AB m m 129 若所在平面若与过若的平面成的角 另两边 与平面ABC AB ACBC 成的角分别是 为的两个内角 则 1 2 AB ABC 22222 12 sinsin sinsin sinAB 特别地 当时 有90ACB 222 12 sinsinsin 130 若所在平面若与过若的平面成的角 另两边 与平面ABC AB ACBC 成的角分别是 为的两个内角 则 1 2 AB ABO 222 2 2 12 tantan sinsin tanAB 特别地 当时 有90AOB 222 12 sinsinsin 131 二面角的平面角l 或 为平面 的法向量 cos m n arc m n cos m n arc m n m n 132 三余弦定理 设 AC 是 内的任一条直线 且 BC AC 垂足为 C 又设 AO 与 AB 所成的角为 AB 1 与 AC 所成的角为 AO 与 AC 所成的角为 则 2 12 coscoscos 133 三射线定理 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 与二面 1 2 角的棱所成的角是 则有 2222 1212 sinsinsinsin2sinsincos 当且仅当时等号成立 1212 180 90 134 空间两点间的距离公式 若 A B 则 111 x y z 222 xyz A B d ABAB AB 222 212121 xxyyzz 135 点到直线 距离Ql 点在直线 上 直线 的方向向量 a a 向量 b b 22 1 ha ba b a PllPA PQ 136 异面直线间的距离 是两异面直线 其公垂向量为 分别是上任一点 CD n d n 12 l ln CD 12 l l 为间的距离 d 12 l l 137 点到平面的距离 B 为平面的法向量 是经过面的一条斜线 AB n d n n AB A 138 异面直线上两点距离公式 222 2cosdhmnmn 精品文档 20欢迎下载 222 2cos dhmnmnEA AF 222 2cosdhmnmn EAAF 两条异面直线 a b 所成的角为 其公垂线段的长度为 h 在直线 a b 上分别取两 AA 点 E F AEm AFn EFd 139 三个向量和的平方公式 222 2 222abcabca bb cc a 222 2 cos 2 cos 2 cos abcaba bbcb ccac a 140 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 夹角分l 123 lll 别为 则有 123 2222 123 llll 222 123 coscoscos1 222 123 sinsinsin2 立体几何中长方体对角线长的公式是其特例 141 面积射影定理 cos S S 平面多边形及其射影的面积分别是 它们所在平面所成锐二面角的为 S S 142 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 侧面积和体积分别是和 它的直截面的周长和lS斜棱柱侧V斜棱柱 面积分别是和 则 1 c 1 S 1 Scl 斜棱柱侧 1 VS l 斜棱柱 143 作截面的依据 三个平面两两相交 有三条交线 则这三条交线交于一点或互相平行 144 棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么所得的截面与底面相似 截面面积与底面面 积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 对应角相等 对应边对应成比例的多边形 是相似多边形 相似多边形面积的比等于对应边的比的平方 相应小棱锥与小棱锥的侧面 积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 145 欧拉定理 欧拉公式 简单多面体的顶点数 V 棱数 E 和面数 F 2VFE 1 各面多边形边数和的一半 特别地 若每个面的边数为的多边形 则面数 FEn 与棱数 E 的关系 1 2 EnF 2 若每个顶点引出的棱数为 则顶点数 V 与棱数 E 的关系 m 1 2 EmV 146 球的半径是 R 则 其体积 3 4 3 VR 其表面积 2 4SR 147 球的组合体 1 球与长方体的组合体 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 2 球与正方体的组合体 正方体的内切球的直径是正方体的棱长 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 精品文档 21欢迎下载 长 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 3 球与正四面体的组合体 棱长为的正四面体的内切球的半径为 外接球的半径为 a 6 12 a 6 4 a 148 柱体 锥体的体积 是柱体的底面积 是柱体的高 1 3 VSh 柱体 Sh 是锥体的底面积 是锥体的高 1 3 VSh 锥体 Sh 149 分类计数原理 加法原理 12n Nmmm 150 分步计数原理 乘法原理 12n Nmmm 151 排列数公式 N N 且 m n A 1 1 mnnn mn n nmmn 注 规定 1 0 152 排列恒等式 1 1 1 mm nn AnmA 2 1 mm nn n AA nm 3 1 1 mm nn AnA 4 1 1 nnn nnn nAAA 5 1 1 mmm nnn AAmA 6 1 2 2 3 3 1 1n nn 153 组合数公式 N N 且 m n C m n m m A Am mnnn 21 1 1 mnm n nmN mn 154 组合数的两个性质 1 m n C mn n C 2 m n C 1 m n C m n C 1 注 规定 1 0 n C 155 组合恒等式 1 1 1 mm nn nm CC m 2 1 mm nn n CC nm 3 1 1 mm nn n CC m 4 n r r n C 0 n 2 5 1 121 r n r n r r r r r r CCCCC 精品文档 22欢迎下载 6 nn n r nnnn CCCCC2 210 7 1420531 2 n nnnnnn CCCCCC 8 1321 232 nn nnnn nnCCCC 9 r nm r n r mn r mn r m CCCCCCC 0110 10 n n n nnnn CCCCC 2 2222120 156 排列数与组合数的关系 mm nn Am C 157 单条件排列 以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列 nm 1 在位 与 不在位 某 特 元必在某位有种 某 特 元不在某位有 补集思想 1 1 m n A 1 1 m n m n AA 着眼位置 着眼元素 种 1 1 1 1 m nn AA 1 1 1 11 m nm m n AAA 2 紧贴与插空 即相邻与不相邻 定位紧贴 个元在固定位的排列有种 nmkk km kn k kA A 浮动紧贴 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有种 注 此类问n k k kn kn AA 1 1 题常用捆绑法 插空 两组元素分别有 k h 个 把它们合在一起来作全排列 k 个的1 hk 一组互不能挨近的所有排列数有种 k h h hA A 1 3 两组元素各相同的插空 个大球个小球排成一列 小球必分开 问有多少种排法 mn 当时 无解 当时 有种排法 1 mn1 mn n m n n n m C A A 1 1 4 两组相同元素的排列 两组元素有 m 个和 n 个 各组元素分别相同的排列数为 n nm C 158 分配问题 1 平均分组有归属问题 将相异的 个物件等分给个人 各得件 其分mnmn 配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn n mn CCCCCN 22 2 平均分组无归属问题 将相异的 个物体等分为无记号或无顺序的堆 其mnm 分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn nm mn m CCCCC N 22 3 非平均分组有归属问题 将相异的个物体分给个人 物 12m P P n n nm 件必须被分完 分别得到 件 且 这个数彼此不相等 1 n 2 n m n 1 n 2 n m nm 则其分配方法数共有 21 2 1 1 m n n n np n p nnn mp mCCCN m m 4 非完全平均分组有归属问题 将相异的个物体分给个人 12m P P n n nm 物件必须被分完 分别得到 件 且 这个数中分别有 1 n 2 n m n 1 n 2 n m nm 精品文档 23欢迎下载 a b c 个相等 则其分配方法数有 2 1 1 cba mCCC N m m n n n np n p 12 m p m n nna b c 5 非平均分组无归属问题 将相异的个物体分为任意的 12m P P n n n 1 n 件无记号的堆 且 这个数彼此不相等 则其分配方法 2 n m nm 1 n 2 n m nm 数有 21m nnn p N 6 非完全平均分组无归属问题 将相异的个物体分为任意的 12m P P n n n 件无记号的堆 且 这个数中分别有 a b c 1 n 2 n m nm 1 n 2 n m nm 个相等 则其分配方法数有 21 cbannn p N m 7 限定分组有归属问题 将相异的 个物体分给甲 乙 p 2m pn nn 1 丙 等个人 物体必须被分完 如果指定甲得件 乙得件 丙得件 时 m 1 n 2 n 3 n 则无论 等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 1 n 2 n m nm 21 2 1 1 m n n n np n p nnn p CCCN m m 159 错位问题 及其推广 贝努利装错笺问题 信封信与个信封全部错位的组合数为nn 1111 1 2 3 4 n f nn n 推广 个元素与个位置 其中至少有个元素错位的不同组合总数为nnm 1234 1 2 3 4 1 1 mmmm ppmm mm f n mnCnCnCnCn CnpCnm 1234 1224 1 1 1 pm pm mmmmmm pm nnnnnn CCCCCC n AAAAAA 160 不定方程的解的个数 2n xxxm 1 1 方程 的正整数解有个 2n xxxm 1 n mN 1 1 m n C 2 方程 的非负整数解有 个 2n xxxm 1 n mN 1 1 n m n C 3 方程 满足条件 的 2n xxxm 1 n mN i xk kN 21in 非负整数解有个 1 1 2 1 m n nk C 4 方程 满足条件 的 2n xxxm 1 n mN i xk kN 21in 正整数解有个 12222321 2 11121221 1 n mnm n knm nknmnk nnnnnn CCCCCCC 161 二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110 二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT 1 210 nr 162 等可能性事件的概率 精品文档 24欢迎下载 m P A n 163 互斥事件 A B 分别发生的概率的和 P A B P A P B 164 个互斥事件分别发生的概率的和n P A1 A2 An P A1 P A2 P An 165 独立事件 A B 同时发生的概率 P A B P A P B 166 n 个独立事件同时发生的概率 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 167 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 1 kkn k nn P kC PP 168 离散型随机变量的分布列的两个性质 1 0 1 2 i Pi 2 12 1PP 169 数学期望 1 122nn Ex Px Px P 170 数学期望的性质 1 E abaEb 2 若 则 B n pEnp 3 若服从几何分布 且 则 1 k Pkg k pqp 1 E p