导数的基本概念及性质应用

ziye 试题库 1 导数的基本概念及性质应用导数的基本概念及性质应用 考点 1 掌握导数的基本概念及运算公式 并能灵活应用公式求解 2 能运用导数求解单调区间及极值 最值 3 理解并掌握极值及单调性的实质 并能灵活应用其性质解题 能力 数形结合 方法 讲练结合 新授课 新授课 一 一 知识点总结 知识点总结 导数的基本概念与运算公式导数的基本概念与运算公式 导数的概念 函数 y 的导数 就是当 0 时 函数的增量 y 与自变量的增量 的比的极限 xf x f x x x y 即 x f 0 x lim x y 0 x lim x f x x xf 说明 分子和分母中间的变量必须保持一致 导函数 函数 y 在区间 a b 内每一点的导数都存在 就说在区间 a b 内可导 其导数也是 a b 内的 xf xf 函数 叫做的导函数 记作或 xf x f x y 函数的导函数在时的函数值 就是在处的导数 xf x f 0 xx 0 x f xf 0 x 导数的几何意义 设函数 y 在点处可导 那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的切线 xf 0 x 00 yxM 斜率 求导数的方法 基本求导公式 0 c 1 Qmmxx mm xxcos sin xxsin cos xx ee aaa xx ln x x 1 ln ax x aln 1 log 导数的四则运算 ziye 试题库 2 vuvu vuvuuv 0 2 v v vuvu v u 复合函数的导数 设在点 x 处可导 y 在点处可导 则复合函数在点 x 处可导 xgu xf xgf xufxfx 导数性质 导数性质 1 函数的单调性 设函数 y 在某个区间内可导 若 0 则为增函数 若 0 则为减函数 xf x f xf x f 求可导函数单调区间的一般步聚和方法 确定函数的定义区间 xf 求 令 0 解此方程 求出它在定义区间内的一切实根 x f x f 把函数的间断点 即的无定义点 的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序 xf xf 排列起来 然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间 xf 确定在各小开区间内的符号 根据的符号判定函数在各个相应小开区间内 x f x f xf 的增减性 说明 说明 原函数单调性与导函数单调性无关 只与导函数正负号有关 2 可导函数的极值 极值的概念 设函数在点附近有定义 且对附近的所有点都有 或 xf 0 x 0 x xf 0 xf 则称为函数的一个极大 小 值点 称为极大 小 值点 xf 0 xf 0 xf 0 x 求可导函数极值的步骤 求导数 x f 求方程 0 的根 x f 检验在方程 0 的根左右的符号 如果在根的左侧附近为正 右侧附近为负 x f x f 那么函数 y 在这个根处取得极大值 如果在根的左侧附近为负 右侧为正 那么函 xf ziye 试题库 3 数 y 在这个根处取得极小值 xf 说明 说明 极值点的导数为 0 导数为 0 的点不一定是极值点 隐含条件 说明某点是极值点 相当于给出了一个 0 的方程 x f 3 函数的最大值与最小值 设 y 是定义在区间 a b 上的函数 y 在 a b 内有导数 求函数 y 在 a b 上 xf xf xf 的最大值与最小值 可分两步进行 求 y 在 a b 内的极值 xf 将 y 在各极值点的极值与 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个 xf af bf 为最小值 若函数 y 在 a b 上单调增加 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函 xf af bf 数 y 在 a b 上单调减少 则为函数的最大值 为函数的最小值 xf af bf 说明 说明 极大值小于等于最大值 极小值大于等于最小值 二 二 例题讲解例题讲解 题型一导数的概念题型一导数的概念 例 1 设 f x 在点 x0处可导 a 为常数 则 等于 x xaxfxaxf x lim 00 0 A f x0 B 2af x0 C af x0 D 0 变式 设在处可导 xf 0 x lim 0 00 x xfxxf x 题型二导数的几何意义 物理意义题型二导数的几何意义 物理意义 例 2 1 求曲线在点 1 1 处的切线方程 1 2 2 x x y 2 运动曲线方程为 求 t 3 时的速度 2 2 2 1 t t t S 分析 分析 根据导数的几何意义及导数的物理意义可知 函数 y f x 在处的导数就是曲线 y f x 在 0 x 点处的切线的斜率 瞬时速度是位移函数 S t 对时间的导数 00 yxp ziye 试题库 4 题型三利用导数求单调区间题型三利用导数求单调区间 例 3 求下列函数单调区间 1 52 2 1 23 xxxxfy 2 x x y 1 2 3 x x k y 2 0 k 4 ln2 2 xy 题型四 利用导数求函数的最 极 值题型四 利用导数求函数的最 极 值 例 4 求函数在闭区间 3 0 上的极值 最大值 最小值13 3 xxxf ziye 试题库 5 题型五 原函数图像与导函数图像题型五 原函数图像与导函数图像 例 5 1 设f x 是函数f x 的导函数 y f x 的图象 如右图所示 则y f x 的图象最有可能的是 A B C D 2 函数的定义域为开区间 导函数在内的图象如图所示 则函 xf ba x f ba 数在开区间内有极小值点 xf ba A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 题型六 利用极值的本质及单调性求解析式题型六 利用极值的本质及单调性求解析式 例 6 已知函数在处取得极值 xbxaxxf3 23 1 x I 讨论和是函数的极大值还是极小值 1 f 1 f xf II 过点作曲线的切线 求此切线方程 16 0 A xfy x y y x y x y x O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 x y O 1 2 a b x y xfy O a b x y xfy O ziye 试题库 6 例 7 已知函数在点处取得极大值 5 其导函数的图象经过点 32 f xaxbxcx 0 x yfx 1 0 2 0 如图所示 求 1 的值 2 a b c 的值 0 x 例 8 已知函数 f x x3 ax2 bx c 当 x 1 时 取得极大值 7 当 x 3 时 取得极小值 求这 个极小值及 a b c 的值 例 9 已知已知的图象经过点的图象经过点 且在 且在处的切线方程是处的切线方程是cbxaxxf 24 0 1 1x 1 求 求的解析式 的解析式 2 求 求的单调递增区间的单调递增区间2yx xfy xfy 题型七 含参数的讨论题型七 含参数的讨论 例 10 1 如果函数 f x x3 ax 的图象上各点处的切线斜率都为正数 则实数 a 的取值范围是 ziye 试题库 7 A 0 B 0 C 3 D 3 2 如果函数 f x x3 ax 的图象上有平行于 x 轴的切线 则实数 a 的取值范围是 例 11 已知函数在区间上都是增函数 在 32 2f xaxxbx 0a b cRa 且 0 0 4 上是减函数 1 求 b 的值 2 求 a 的取值范围 题型八 综合应用题型八 综合应用 例 12 平面向量平面向量 若存在不同时为 若存在不同时为的实数的实数和和 使 使 13 3 1 22 ab 0kt 且且 试确定函数 试确定函数的单调区间的单调区间 2 3 xatb ykatb xy kf t 例题答案 例题答案 例 1 解 ziye 试题库 8 2 lim lim lim lim 0 00 0 00 0 0000 0 00 0 xaf xa xfxaxf a xa xfxaxf a x xaxfxfxfxaxf x xaxfxaxf xaxa x x 故选 C 变式 1 例 2 1 22 2 22 2 1 22 1 22 1 2 x x x xxx y 即曲线在点 1 1 处的切线斜率 k 00 4 22 1 x y 因此曲线在 1 1 处的切线方程为 y 1 1 2 2 x x y 2 2 1 2 2 t t t S t tt t t ttt 4 21 4 1 2 324 2 27 26 1112 27 2 9 1 3 t S 例 3 1 时23 2 xxy 1 23 xx 3 2 x 1 0 y 1 3 2 x0 y 3 2 1 1 3 2 2 2 2 1 x x y 0 0 3 2 2 1 x k y kx k 0 y 0 0 kkx 0 y k k 0 k 0 k 4 定义域为 x x x xy 141 4 2 0 2 1 0 x0 y 2 1 x0 y 例 4 略 注意强调学生的步骤完整性 例 5 1 C 2 A 例 6 分析 1 分析 x 1 处的极值情况 关键是分析 x 1 左右 x 的符号 f ziye 试题库 9 2 要分清点 A 0 16 是否在曲线上 解 1 x 3ax2 2bx 3 依题意 1 1 0 即 f f f 0 323 0323 ba ba 解得 a 1 b 0 f x x3 3x x 3x2 3 3 x 1 x 1 f 令 x 0 得 x 1 x 1 f 若 x 1 1 则 x 0 f 故 f x 在 1 上是增函数 f x 在 1 上是增函数 若 x 1 1 则 x 0 故 f x 在 1 1 上是减函数 f 所以 f 1 2 是极大值 f 1 2 是极小值 2 曲线 y x3 3x 点 A 0 16 不在曲线上 设切点 M x0 y0 则 y0 x03 3x x0 3x02 3 f 切线方程为 y y0 3 x02 1 x x0 代入 A 0 16 得 16 x03 3x0 3 x02 1 0 x0 解得 x0 2 M 2 2 切线方程为 9x y 16 0 评述 过已知点求切线 当点不在曲线上时 求切点的坐标成了解题的关键 例 7 解 函数的增减变化如下表 f x x 1 1 1 2 2 2 fx 0 0 f x 极 大 极 小 1 在 x 1 处由增变减 故为极大值 即 1 f x 1f 0 x 2 由于 2 32fxaxbxc 103202 2012409 15512 fabca fabcb fabcc 例 8 解 f x 3x2 2ax b 据题意 1 3 是方程 3x2 2ax b 0 的两个根 由韦达定理得 ziye 试题库 10 a 3 b 9 f x x3 3x2 9x c f 1 7 c 2 极小值 f 3 33 3 32 9 3 2 25 极小值为 25 a 3 b 9 c 2 例 9 解 解 1 的图象经过点的图象经过点 则 则 cbxaxxf 24 0 1 1c 3 42 1 421 fxaxbx kfab 切点为切点为 则 则的图象经过点的图象经过点 1 1 cbxaxxf 24 1 1 得得 59 1 22 abcab 得 42 59 1 22 f xxx 2 3 3 103 10 1090 0 1010 fxxxxx 或 单调递增区间为单调递增区间为 3 103 10 0 1010 例 10 1 A 2 0 例 11 解 由条件知是函数的极值点 0 x yf x 令 得 2 32fxaxxb 00 f 0b 已求 令 得 由条件知0b 2 32fxaxx 0fx 2 0 3 x a 0 x 为极大值点 则应为极小值点 又知曲线在区间 0 4 上是减函数 2 3 x a 得 2 4 3a 61 0 3 a a 1 0 6 a 例 12 解 由解 由得得 13 3 1 22 ab 0 2 1a bab A 22222 3 0 3 3 0atbkatbkata bk ta bt tb AAA 333 11 430 3 3 44 kttkttf ttt 2 33 0 1 1 44 f tttt 得或 2 33 0 11 44 tt 得 所以增区间为 减区间为 1 1 1 1 3 31 3 2 31 b a ziye 试题库 11 三 三 课堂演练 课堂演练 1 若曲线 y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为 2x y 1 0 则 A f x0 0 B f x0 0B a 0 C a 1D a 3 1 7 与直线 2x 6y 1 0 垂直 且与曲线 y x3 3x2 1 相切的直线方程是 8 已知 a 为实数 4 2 axxxf 求导数 x f 若 求在 2 2 上的最大值和最小值 0 1 f xf 若在 2 和 2 上都是递增的 求 a 的取值范围 xf 1 6AAADAA 7 3x y 2 0 8 解 由原式得 44 23 axaxxxf 4 23 2 axxxf 由 得 此时有 0 1 f 2 1 a43 2 1 4 22 xxxfxxxf ziye 试题库 12 由得或 x 1 0 1 f 3 4 x 又 0 2 0 2 2 9 1 27 50 3 4 ffff 所以 f x 在 2 2 上的最大值为最小值为 2 9 27 50 解法一 的图象为开口向上且过点 0 4 的抛物线 由条件423 2 axxxf 得 0 2 0 2 ff 即 2 a 2 480 840 a a 所以 a 的取值范围为