数学教育改革中几个问题的思考

数学教育改革中几个问题的思考 人民教育出版社中学数学室 章建跃 一 几个基本理论问题一 几个基本理论问题 1 1 关于数学教育目标 关于数学教育目标 当前 数学教育的 三维目标 被广泛传播 一方面 这是新一轮课改提倡的 表明 对数学教育目标的深入思考 另一方面也暴露出研究中的一些问题 从积极的方面看 数学教育目标全面了 不仅有 知识与技能 目标 还有 过程与 方法 情感态度价值观 目标 这是在 数学教育不仅要让学生学到一些数学知识 更重要的是要提高学生的素质 的要求下提出的 但也应当看到 这样大而全的目标 没 有很好地反映数学学科的特点 导致目标对教学的指导力度下降和定向模糊 例如 在一 堂数学课中 规定这样的教学目标都是不够恰当的 培养学生的数学思维能力和科学的思维方式 培养学生勇于探索 创新的个性品质 体验数学的魅力 激发爱国主义热情 等等 因为这样的目标 放之四海而皆准 不能反映本节课的内涵 有形式主义之嫌 另 外还应注意到 三维目标 的科学性值得进一步探讨 当代认知心理学认为 方法 也是知识 把 过程与方法 从知识中独立出来是缺乏科学依据的 众所周知 数学具有抽象性 严谨性 广泛适用性和高度精确性的特点 通过数学教 育 可以让学生学会数学基础知识 掌握处理问题的数学工具 培养几何直观能力 分析 思考能力 逻辑推理能力和计算能力等 潜移默化地培养理性精神 实事求是的态度 正 直诚实的品格 追求真理的勇气和信心 寻求一般性模式 追求简洁与形式完美的思维方 式和行为习惯 追究逻辑的严谨性和结论的可靠性的意识 等等 根据上述认识 本人认为 数学教育目标还是从数学基础知识 基本技能 数学能力 和理性精神 即双基 能力和理性精神 进行界定更能反映数学学科特点 同时也能体现 显性目标 双基 与隐性目标 数学能力 理性精神 并重 层次清晰 易于把握 可操作性强 容易使隐性目标融合在显性目标中而得到具体落实 例如 下面的目标表述 是比较恰当的 在探索直线与平面垂直的位置关系的过程中 掌握直线与平面垂直的判定定理和性质 定理 体会几何推理证明的思考方法 基本规则和严谨性 发展空间想象力和逻辑思维能 力 在掌握用图解法求最优解的基本方法的过程中 体会线性规划的基本思想 培养数学 应用意识 2 2 关于数学课程的内容 关于数学课程的内容 数学课程内容的选择 以社会发展 数学与科学技术的发展需求 以及学生终身发展 的需要与可能为基本原则 这是基本的也是永恒的 不必细说 由于数学的学科体系具有 严格的逻辑顺序 因此数学的学习必须严格地循序渐进 例如没有对数与式的掌握 就很 难进入函数的学习 另外 有些内容虽然非常 传统 而且有一定的学习难度 但却是一 切后续学习的基石 也是发展学生数学能力的不可替代的载体 这样的内容就不能舍弃 例如 平面几何内容在培养学生的几何直观能力 逻辑推理能力中有不可替代的作用 因 此应当作为中学数学课程的核心内容 总之 中学数学课程要以数及其运算 函数 欧氏 几何 向量 导数 数形结合 统计思想 算法等核心概念和基本思想为主体 而不必在 细节上作过多拓展 另外 有些内容 尽管非常重要而必须进入中小学数学课程 但必须 特别注意与学生思维发展水平相适应 对什么时候进入要做谨慎的安排 例如 统计与概 率内容 由于统计思维与确定性思维有很大差异 依赖于人的辩证思维的发展 而思维发 展心理学的研究表明 辩证思维从初中二年级 14 岁 开始萌芽 因此统计与概率的内容 过早进入与学生思维发展水平不相适应 3 3 关于师生关系 关于师生关系 培养学生的创新精神和实践能力是时代发展的要求 因此教学中要更强调学生的主体 地位 强调学生的积极性 主动性 强调师生的平等交流 互动等 但是 师生平等强调 的是人格平等 并不是 一切平等 因为教师的人生阅历 认知结构等决定了师生交流 互动中的主动和主导地位 即使教师与学生一样对遇到的问题事先一无所知 但由于教师 占有的数学知识 无论是质还是量都比学生强 因此他对问题的理解深度 广度以及解决 问题的速度等 都是学生不能比拟的 数学教学中 双主体 观能客观地反映师生关系 学生是学的主体 主要表现在思维的自主 教师是教的主体 是整个教学活动的设计者 组织者和引导者 4 4 关于学的方式与教的方式 关于学的方式与教的方式 改进学生学习方式是数学教育改革的核心 我国的数学教育比较强调教师的传授 强 调经过学生艰苦努力 反复的练习而达到对数学知识的理解 而对学生的自主探究 合作 交流等重视不够 学生学得比较被动 所以 把发挥学生主动性 变被动学习为主动学习 重视学生亲身实践 给学生提供探索的空间 使数学学习过程成为学生在自己已有经验 包括数学的和非数学的 基础上的主动建构过程等作为改革的重点 有现实意义 然而 我们不能从一个极端走向另一个极端 认为改进学生学习方式就必须排斥接受 学习 实际上 接受学习并不一定就是被动的 举一反三 融会贯通 触类旁通 等都是能动的接受学习的写照 学习方式的被动或主动 关键并不在于它是 接受的 还 是 发现的 而在于教学活动中学生主体的数学思维参与程度 本人认为 数学知识 包括数学思想方法 是可以传授的 学校里的学习要以接受式 学习为主 数学教学中 教师的启发式讲解非常重要 否则 学习质量和效益都无法保证 当然 教师应对如何讲解精心设计 做到讲授与活动相结合 接受与探究相结合 形成互 补 从而促使学生主动学习 这就要求教师设计与提供丰富的数学学习环境 通过恰当的 问题 引导学生主动思维 独立思考 使学生经历完整的数学学习过程 引导学生在已有 数学认知结构的基础上 通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去 这 里 完整的学习过程应当包含观察和感知问题情境 抽象和表述数学问题 进行数学推理 变换或证明 对结果进行反思修正或推广以及应用等 这是一个从具体到抽象再到具体的 循环过程 可以有两种不同的形态 一种表现为对问题情境的观察 分析 假设 抽象而 获得数学模型 并选择恰当的数学工具 应用有效的数学思想方法去求解 验证 解释模 型 必要时对问题情境进行再分析 修改假设 再求解模型 这一过程比较完整地体现了 数学的学和用之间的关系 在强调创新精神和实践能力培养的今天 需要特别关注 另一 种表现为在抽象的数学原理指导下的实践活动 在数学概念 定理 性质等的引导下 通 过恰当的变式训练 知识的实际应用等而达到对知识的理解 并进而逐渐达到创造性地应 用知识去解决问题 这是一种高效的学习过程 是学生在短时间内掌握大量书本知识的主 要方式 不同类型的知识需要有不同的学习方式 一般的 明确知识可以接受式学习为主 默 会知识则应当以探究式学习为主 因为默会知识往往是 只可意会不可言传 的 只有设 计合适的活动才能使学生领悟其内涵 5 5 关于基础与创新 关于基础与创新 首先 强调对 双基 的深刻理解 强调经过适当训练使 双基 得到落实 对学生 的终身发展极其重要 数学教学最主要的是要把学生的基础打好 使学生通过主动思维和 有意义学习而掌握严肃 本质的数学 因为基础中体现的思想具有根本的重要性 从中学 会的方法和思想迁移能力极强 所以越是科技突飞猛进 瞬息万变 越要重视基础 做到 以不变应万变 坚实宽厚的基础知识是良好适应能力的根基 是在环境变化中迅速更新知 识技能的保障 当然 基础中还应包括积极学习的愿望和自主获取知识的能力 创新能力 不可能凭空出现 它是在学习知识的过程中潜移默化而来的 任何认为强调创新就可以离 开或削弱数学知识传授的想法或做法都是错误的 在这方面 国际数学教育改革已有深刻 教训 20 世纪 80 年代开始 西方国家提出 问题解决为学校数学教学的核心 在课程 的设置及内容选取上 忘记了数学是一个有机整体 只想使学生学会 问题解决 试图 以问题解决带动知识学习 结果把数学知识体系搞得支离破碎 学生学得似是而非 知其然不知其所以然 根本得不到严格的训练 导致数学学习质量严重下降 人的知识基础 阅历 推理能力 思维方法决定着他的创造力 这是学校教育所起的 不容忽视 不可替代的作用 在培养人的过程中 我们决不能追求短期效应 而要着眼于 人的可持续发展 有利于人的终身发展 因此 数学教育中 应以 双基 为载体 在使 学生牢固掌握基础知识 基本技能 形成基本能力和基本态度的过程中 鼓励学生提出疑 问 向书本挑战 向权威挑战 提倡在学习过程中的争论 质疑 讨论 养成凡事问个为 什么的习惯 敢于提出问题并勇于表示自己的见解 从而使学生的创新精神得到逐渐培养 打基础的过程可以培养创造力 在基础知识的教学中 以问题引导学习 使学生在学 习基础知识的过程中 经历知识的发现过程 概念的概括过程 应用知识解决问题的过程 从而使基础与创新融为一体 有效的数学活动是落实 双基 培养学生创新精神和实践 能力的根本保证 数学活动的本质是学生的数学思维活动 数学思维是对人类思维实践的 理性总结 也是对思维过程的形式概括 包括概念与判断 辨别与比较 分析与综合 归 纳与演绎等 它们既是数学思维活动的一般规律 又是获得数学知识的有效手段 教学中 让学生开展数学思维活动的主要目的是对学生进行思维训练 在思维训练过程中使学生掌 握知识 形成技能 培养能力 发展智力 并培养学生的理性精神 形成正确的世界观 因此 数学教学中 学生的任何发展最终都要落实在对学生的思维 特别是逻辑思维的训 练上 另外 在数学思维过程中 观察 分析 比较 类比 归纳 综合 抽象 概括等 时刻都在发挥着作用 这些正是数学教学培养学生创造性思维的最好素材 因此 创新意 识和实践能力的培养完全可以融合于数学基础知识和基本技能的教学 数学思维训练的过 程之中 当然 数学基础知识基本技能的教学应当有高观点 也即要以培养数学能力 发 展创新精神和实践能力为目标取向 6 6 关于数学知识 数学能力及数学素养 关于数学知识 数学能力及数学素养 数学知识是人类认识的一种成果 包括人对周围事物 数 与 形 方面的经验和 有秩序的论理体系 两个方面 当前 人们把数学知识分为明确知识 如数学事实 数 学原理等 和默会知识 如数学思想方法 解决问题的策略等 这是比较科学的 数学 知识 技能类化 系统化 概括化 的结果就成为数学能力 一个人数学素养的高低 主 要体现在是否能 数学地看问题 和 数学地思维 数学知识与数学能力密不可分 数学能力的发展决定了一个人掌握数学知识的速度与 质量 数学知识则为数学能力的发展提供基础 无知者无能 没有数学知识的人不可 能有数学能力 认知心理学的研究清楚表明 一个人不能 数学地 思考和解决问题的主 要原因是缺乏必要的数学知识 所谓的 隔行如隔山 就是这个道理 概念形成的能力 思维和语言表达的能力需要在知识的学习过程中有意识地加以培养的 正是由于已掌握的 数学知识的广泛迁移 个体才能形成系统化 概括化的数学认知结构 从而形成数学能力 丰富 系统的数学知识不仅是创新所不可或缺的材料 而且还能直接激发创新的直觉或灵 感 只有具备了充分的数学知识 才能进行有目的 有方向 有成效的探究性活动 数学 学习效能才有保障 否则就只能是尝试错误 结构功能优良的数学认知结构是一个人从多 角度思考问题 具有开阔的视野与灵活的思维的前提 只有这样才能形成创新意识 并获 得创造性的思维成果 因此 占有大量数学知识是形成数学能力的基础 离开数学知识的 学习来培养数学能力 那是纸上谈兵 数学知识和数学能力是数学素养的基本要素 由于数学能力是在数学活动中体现的 因此数学能力是数学素养在数学活动中的外化形式 数学素养诉诸于数学实践就表现为数 学能力 离开数学能力 数学素养在数学活动中就无从表现 观察 确证和把握 数学能 力作为数学素养在数学活动中的外化 属实践活动范畴 更容易操作与评价 在数学活动中体现的数学素养对数学知识具有决定性依赖关系 数学知识在人的整体 素质方面也有不可替代的基础性地位 数学知识的获得主要依赖于正规的学校学习 正是 有了学校教育对数学知识的系统传授 人在数学上的发展才得以突破个体经验的局限 学 会分析和理解数量与空间关系 具有理解自然和洞察社会的能力 养成数学地思考和行动 的习惯 这是当代合格公民必须具有的基本素养 个体数学素养的高低 取决于他所占有 的数学知识的广度与深度 正是在数学知识的学习和应用过程中 个体才建构了自己的数 学认知结构及相应的数学思考和行为习惯 总之 从逻辑关系看 数学素养是属概念 知识和能力是种概念 数学知识和数学能 力构成了数学素养的主要成分 对学生而言 系统的数学知识 数学能力主要来自于课堂 教学 否定系统的数学知识的学习必然会导致数学教育质量的严重下降 因此 我们应发 挥课堂教学这一数学学习主渠道的作用 通过教学改革 使学生在掌握大量数学知识的基 础上发展数学能力 养成数学地思考和行动的习惯 为提高学生的整体素质奠定坚实的基 础 有人认为 知识爆炸 时代的知识更新速度非常快 今天所学知识可能明天就会过 时 因此 数学教学中 最重要的是要使学生掌握获取知识的方法 而学什么数学 学多 少数学都是无关紧要的 有人甚至提出 要变过去 以数学知识为中心的教学 为 以数 学能力为中心的教学 以素质为中心的教学 主要应当培养学生的综合能力 这种把 素质 能力 与 知识 对立起来的观点 对数学教育改革是非常有害的 应当引起 大家的警觉 二 我们应当有怎样的态度二 我们应当有怎样的态度 我国数学教育需要改革 唯有不断改革才能有数学教育的持续健康发展 这是数学教 育界的共识 实际上 我国数学教育改革的步伐从来就没有停止过 但是 改革不是另起 炉灶 而应建立在已有发展的基础上 没有继承就不会有真正高水平的创新与发展 这就 需要对我国数学教育的历史和现状有正确估计 这是改革的依据和出发点 只有对我国数 学教育的已有发展有正确定位 对哪些应当坚持 哪些应当改进 哪些应当革除等有一个 清晰的认识 本着继承传统但又不完全依赖于传统的思想 通过一系列经过深思熟虑 科 学论证 精心组织的阶段性变革来适应社会发展对数学教育的挑战 才能使我们的改革走 向继承 发展与创新的良性循环 简单否定我国数学教育的传统 在没有认真研究我国数 学教育已有经验的情况下就急于否定 这会造成改革的先天不足 给数学教育的发展带来 隐患 甚至造成数学教育的混乱和灾难 矫枉必须过正 创新只能在否定过去的前提下 进行 的观点是落后的 不可取的 我们需要那种 不走极端而到达顶点 的智慧 我们必须清醒地认识到 数学教育改革涉及教育思想 学术观点 课程教材 教学方 式 学习方式以及评价方式乃至价值观的变革 是一个复杂的系统工程 需要不同观点的 碰撞 需要听取各种不同的意见 需要调动各方面的积极性 需要科学的论证和实验 我 国幅员辽阔 教育发展很不平衡 地区差异巨大 改革中面临的问题也会各不相同 因此 应当允许改革的不同思路 不同方案的存在 真正贯彻百花齐放 百家争鸣的方针 用一 种理念 一个标准来衡量全国的数学教育的做法不能满足我国数学教育发展的实际需要 也有悖于国际数学教育的发展趋势 任何改革举措 如果脱离中国具体国情 割断数学教 育的发展历史 不注意处理好继承 发展与创新的关系 都是注定要失败的 这是教育发 展的客观规律 古今中外概莫能外 超越中国社会发展现实 提出一些难以实现的所谓先 进理念 并以某种手段强制推行 其结果只能是扰乱教师的教学思想 让教师在教学实践 中无所适从 原有的优势不能保持 新的发展难以形成 从而极大地损害中国的数学教育 事业 甚至动摇我国数学教育的根基 三 我国数学教育的优势与不足三 我国数学教育的优势与不足 我国数学教育的优势是明显的 在我国数学教育的理论与实践中 双基 一直受到 重视 我们很早就提出了 三大能力 的培养目标 改革开放以来 根据时代发展对数学 教育的新要求 20 世纪 90 年代初又增加了 能够运用所学知识解决简单的实际问题 培养学生的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点 2000 年又明确提出创新精神和实 践能力培养的要求 大纲对基础知识 基本技能 三大能力 个性品质以及辩证唯物 主义教育的内涵作了明确 具体的界定 形成了 双基 能力和个性品质并重的数学教 育目的观 我国中小学数学教材有体系结构严谨 逻辑性强 语言叙述条理清晰 文字简 洁 流畅 有利于教师组织教学 注重对学生进行基础训练等优点 我国学生的数学基础 扎实 运算能力和逻辑推理能力强 我国数学教育的不足也是明显的 从数学教育内部看 其中最主要的是教学没有真正 抓住数学的本质 常常纠缠在细枝末节上 存在脱离数学本源的现象 学生训练得太多太苦 时间 精力投入太大 教学效益不理想 具体地 以下问题是主要的 1 数学教学 不自然 强加于人 对学生数学学习兴趣与内部动机都有不利影响 2 缺乏问题意识 解答 结构良好 的问题多引导学生主动提出问题少 对学生提 出问题的能力培养不力 3 重结果轻过程 结论记忆多关注知识背景和应用少 掐头去尾烧中段 导致 学习过程不完整 4 重解题技能技巧轻普适性思考方法的概括 方法论层次的内容渗透不够 导致机 械模仿多独立思考少 数学思维层次不高 5 讲逻辑而不讲思想 强调细枝末节多关注基本概念 核心数学思想少 对学 生数学素养的提高不利 四 数学教育改革的几个基本点四 数学教育改革的几个基本点 针对上述问题 本人认为 数学教育改革中 我们应当在 亲和力 问题性 思 想性 联系性 等方面进行大胆创新 1 1 亲和力 以生动活泼的呈现方式 展示数学的发生发展过程 激发兴趣和美感 亲和力 以生动活泼的呈现方式 展示数学的发生发展过程 激发兴趣和美感 引发学习激情 引发学习激情 中学数学的绝大部分内容 是人类社会长期实践中经过千锤百炼的数学精华和基础 其中的数学概念 方法与思想的起源与发展都是自然的 如果你感到某个概念不自然 是 强加于人的 那么只要想一下它的背景 它的形成过程 它的应用 以及它与其他概念的 联系 就会发现它实际上是水到渠成 浑然天成的产物 不仅合情合理 甚至很有人情味 因此 数学内在的和谐自然 也是增强数学课程亲和力的源泉 这就要求我们努力选取那 些与内容密切相关的 典型的 丰富的 学生熟悉的素材 用生动活泼的语言 创设能够 体现数学的概念 结论及其思想方法发生发展过程的学习情境 使学生感到数学是自然的 从而激发学生对数学的亲切感 引发学生 看个究竟 的冲动 兴趣盎然地投入学习 在 体现知识归纳概括过程中的数学思想 解决各种问题中数学的力量 数学探究和论证方法 的优美精彩之处 数学的科学和文化价值等地方 用适当的方式启发学生的美感 引导学 生更深入地思考 不断引发学习激情 2 2 问题性 以恰时恰点的问题引导数学活动 培养问题意识 孕育创新精神 问题性 以恰时恰点的问题引导数学活动 培养问题意识 孕育创新精神 提问是创新的开始 以问题引导学习应当成为数学教学的一条基本原则 要使学生 看过问题三百个 不会解题也会问 通过恰时恰点地提出问题 提好问题 给学生提 问的示范 使他们领悟发现和提出问题的艺术 引导他们更加主动 有兴趣地学 富有探 索性地学 逐步培养学生的问题意识 孕育创新精神 具体的 可以在知识形成过程的 关键点 上 在运用数学思想方法产生解决问题策 略的 关节点 上 在数学知识之间联系的 联结点 上 在数学问题变式的 发散点 上 在学生思维的 最近发展区 内 提出恰当的 对学生数学思维有适度启发的问题 引导学生的思考和探索活动 使他们经历观察 实验 猜测 推理 交流 反思等理性思 维的基本过程 切实改进学生的学习方式 提问的关键是要把握好 度 要做到 导而弗牵 强而弗抑 开而弗达 这是课 堂教学的关键 也是衡量教师教学水平的关键之一 例如在三角函数诱导公式的教学中 下列提问的 度 是不恰当的 1 你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗 2 的终边 180 的终边与单位圆的交点有什么关系 你能由此得出 sin 与 sin 180 之间的关系吗 3 我们可以通过查表求锐角三角函数值 那么 如何求任意角的三角函数值呢 能 否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数 其中 问题 1 没有对 圆的几何性质 与 三角函数 两者的关系作任何说明 学 生 够不着 问题 2 过于具体 学生只要按照问题提出的步骤进行操作就能获得答案 思考力度不够 问题 3 与当前学习任务没有关系 不能引起学生对诱导公式的思维活动 下列问题情景对引导学生探究诱导公式能够发挥很好的作用 三角函数与 单位 圆是紧密联系的 它的基本性质是圆的几何性质的代数表示 例 如 同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系 圆有很好的对称性 以 圆心为对称中心的中心对称图形 以任意直径为对称轴的轴对称图形 你能否利用这种对 称性 借助单位圆 讨论一下终边与角 的终边关于原点 x 轴 y 轴以及直线 y x 对称 的角与角 的关系以及它们的三角函数之间的关系 3 3 思想性 加强数学思想方法的渗透与概括 引导学生领悟具体内容所反映的数学 思想性 加强数学思想方法的渗透与概括 引导学生领悟具体内容所反映的数学 思想 思想 数学教学中注重思想性 就是要以数及其运算 函数 空间观念 数形结合 向量 导数 统计 随机观念 算法等数学核心概念和基本思想为贯穿数学教学过程的 灵魂 体现寻求一般性模式的思想和追求简洁与形式完美的精神等 引导学生领悟数学本质 体 验数学中的理性精神 加强数学形式下的思考和推理训练 具体地 在核心概念的教学之 初 利用 先行组织者 在大背景下阐述它的地位和作用 在具体讨论某一内容之前 先引导学生明确需要研究的问题及其研究方法 在小结时 不但引导学生归纳知识结构 而且要从数学思想的高度进行概括和总结 等等 例如 在函数性质的教学中 首先引导学生体会函数作为描述客观世界变化规律的数 学模型 只要认识了函数的性质 相应的现实问题的变化规律也就被把握住了 对于运动 变化问题 最基本的就是要描述变化的快或慢 增或减 相应的 函数的重要特征就包 含 函数的增与减 单调性 函数的最大值 最小值 函数的增长率 衰减率 函数增 长 减少 的快与慢 函数的零点 函数 图象 对称性 奇偶性 函数值的循环往复 周期性 等等 通过这样的教学使学生明确函数性质所要研究的问题 从而明确学习方 向 在研究方法上 可以提醒学生注意利用函数图象 用几何直观 数形结合的思想来指 导研究 例如可以通过 三步曲 观察图象 描述变化规律 上升 下降 结合图 表 用自然语言描述变化规律 y 随 x 的增大而增大或减小 用数学符号语言描述变化 规律 逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律 又如 数学发展史上 向量概念的引入与寻求几何研究的新工具有很大关系 向量是 沟通代数 几何与三角函数的一种工具 因此 在向量教学中 让学生领悟下面的思想是 非常重要的 利用向量表示点 直线 平面等空间基本元素 将空间的基本性质和基本定理的运用 转化成为向量运算律的系统运用 这是引进向量概念最基本的目的 为了实现这一目的 需要 1 用向量表示点 为了使表示具有唯一性 所以规定方向相同模相等的向量相等 把向量的始点 集中 到坐标原点 从而使点得到定量 向量的坐标 表示 2 用一个点 A 一个方向 单位向量 a 就可以定性刻画直线 为了实际控制直线 需要引进数乘向量 ka 运算 从而使直线上每一个点都能用点 A 和向量 a 来定量表示 3 用一个点 A 两个不平行的 非 0 向量 a b 就在 原则 上确定了平面 定 性刻画 同样的 为了实际控制平面