zk28量子ppt课件.ppt

光学大作业的截止日期为第15周的周五 平时作业的补交日期是为第15周的周五 加课时间安排 下周周五晚上7点至9点内容 去年的试卷和光学平时作业题 理解波函数应满足的标准化条件及归一化条件的物理意义 本次课的内容重点 理解概率波与概率幅 会由给出的波函数求粒子几率的空间分布 理解薛定谔方程 定态 理解不确定关系并能用它对微观世界某些物理量进行简单的估算 一 波函数 wavefunction 波函数 一维 三维 量子力学假定 微观粒子的状态用波函数表示 18 2 2波函数 二 波函数的概率解释 物质波是 概率波 在空间各处出现的概率呢 它是怎样描述粒子 玻恩对 的概率解释 1926 波函数 是描述粒子在空间概率分布的 概率振幅 其模方 代表t时刻 在坐标附近单位体积中粒子出现的概率 在t时刻 在附近dV内粒子出现的概率为 在空间 粒子出现的概率为 称为 概率密度 玻恩 M Born 假定 1926年 德布罗意波并不像经典波那样代表实在的物理量的波动 而是刻画粒子在空间的概率分布的概率波 玻恩的概率解释 在某一时刻 空间某一地点 粒子出现的概率密度正比于该时刻 该地点波函数的模方 须满足的条件是什么 1波函数的有限性 在空间任何有限体积元中找到粒子的概率必须为有限值 2波函数的单值性 要求波函数单值 从而保证概率密度在任意时刻都确定唯一 3波函数的连续性 三概率解释对波函数提出的要求 4波函数的归一性 在空间各点的概率总和必须为1 为归一化波函数 势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数是连续的 设描述微观粒子运动的波函数为 表示 须满足的条件是 粒子在t时刻在 x y z 处出现的概率密度 其归一化条件是 单值 有限 连续 归一化 课堂提问 重要 例 设粒子在一维空间运动 其状态可用波函数描述为 其中A为任意常数 求 1 归一化的波函数 2 概率密度3 何处概率密度最大 即 解 由归一化条件 归一化的波函数 2 概率密度 3 何处概率密度最大 例 设粒子在一维空间运动 其状态可用波函数描述为 其中A为任意常数 E和b均为确定的常数 求 归一化的波函数 概率密度 即 解 由归一化条件 由此可求出归一化的波函数 概率密度为 如图所示 在区间 b 2 b 2 以外找不到粒子 在x 0处找到粒子的概率最大 用波函数来描写微观粒子 该波函数有如下性质 下列论述中那个选项是不正确的 波函数描写的是大量微观粒子的体系 而不是单个粒子 波函数具有单值 有限 连续性 且归一化 波函数没有直接的物理意义 波函数是时间和空间的函数 1a1301036a 1b1301036b 以下是波函数的概念 哪个选项是正确的 波函数 是实函数波函数 是连续的波函数 是指在空间某点找到该粒子的几率以上都是对的 x 的量纲是长度的倒数 1b1301036c 设 x 表示粒子在一维空间出现的几率密度 x 试问以下哪个选项是正确的 下图为一中子的波函数 x等于多少时 在附近的单位区间内找到该中子的可能性最大 x xAx xBx xCx 0无穷远处 1a1301013a xA xB xC 波函数 x 下图可能为量子波函数图像吗 可能不可能不知道 1a1301013b 波函数 x 与自由粒子相联系的德布罗意波 是一个单色平面波 自由粒子的波函数 沿 x传播的单色平面波 波函数 复数形式可写成 微观粒子波函数一般是坐标和时间的复函数 因此采用复数形式的平面波表达式 只要把其中描述波动性的参量 k换成描述粒子性的参量E p就可以了 其中 由德布罗意关系 得 自由粒子波函数 空间因子 自由粒子在三维空间中运动的波函数 空间波函数 通常写成 自由粒子 即严格限制了粒子的动量 位置完全不确定了 各处概率相等 原因 x 代表全空间理想平面波 而实际的自由粒子 例如由加速器引出的粒子束 只能分布在有限的空间内 若限定粒子只能出现在某一区间 则自由粒子波函数变成 四态叠加原理 物质波的波函数 态函数 设 波函数 1 2 3 是体系的可能状态 它们的线性叠加也是体系的可能状态 c1 1 C2 2 C3 3 线性组合态 态叠加原理 双缝齐开时 电子可通过上缝也可通过下缝 电子双缝干涉 电子的状态用 只开上缝时 电子有一定的概率通过上缝 其状态用描述 只开下缝时 电子有一定的概率通过下缝 电子的概率分布为 其状态用描述 电子的概率分布为 都有 通过双缝后 分布是d不是c 波函数 描述 通过上 下缝各有一定的概率 只开上缝电子波的单缝衍射 其状态用描述 只开下缝电子波的单缝衍射 概率分布为 其状态用描述 概率分布为 双缝齐开时 都有 概率幅线性叠加 概率相加 概率分布为 单缝衍射的结果 双缝干涉项 电子通过第1缝和第2缝的概率 归一化波函数 WernerKarlHeisenberg德国物理学家 1901 1976 1927年提出不确定关系 1932年获得诺贝尔物理学奖 海森伯 海森伯当时感到困惑的问题是 既然在量子理论中不需要粒子路径的概念 那又怎么样解释在云室里观察到的粒子径迹 他开始试图寻求粒子的坐标和动量的不确定度的关系 18 2 4海森伯的不确定关系 如图 光穿过狭缝后将发生衍射 在狭缝后的屏幕上产生明暗交替的衍射图样 图中B C两点为第一个暗带中心 请问 如果只有一个光子通过狭缝 最有可能的结果会如何呢 光子将直线运动至A点产生衍射图样 但亮度比较暗光子将在B C之间某个地方以微弱的光闪现B C之间的区域将呈现一片亮带 1a1301016a 若只有一个光子通过狭缝 则光子位置的不确定度 x与以下哪个参数有关 LD宽度W上述均不对 1a1301016b 一个光子在狭缝前动量为p 当其穿过狭缝后 光子在到达屏幕之前 其动量横向分量不确定度 p与以下哪个参数有关 p sinq1动量横向分量不确定度为0p条件不足 无法确定 1a1301016c 穿过狭缝的电子在x方向上的不确定范围为 一束动量为p的电子通过狭缝 穿过狭缝后电子动量x分量px的不确定范围为 得到不确定关系 把其余明纹考虑在内 有 x 认为电子集中在该区域 不确定关系的粗略推导 注意x的方向 严格的理论给出不确定关系 一般写为 不确定关系使微观粒子运动 轨道 的概念失去意义 不确定度关系的物理意义 当粒子位置的不确定度 x小时 动量的不确定度 px就大 反之亦然 即微观粒子的坐标与该方向的动量不能同时确定 不确定关系是微观粒子固有属性 波粒二象性决定的 与仪器精度和测量方法的缺陷无关 关于不确定关系 x px 2 有以下几种理解 粒子的动量不可能确定 粒子的坐标不可能确定 粒子的动量和坐标不可能同时确定 不确定关系不仅适用于电子和光子 也适用于其它粒子 其中正确的是 1a1301017a 不确定关系不仅存在于位置 动量之间 时间与能量的不确定度关系 角位置与角动量的不确定度关系 存在不确定关系的一对物理量称为共轭物理量 推导如下 由此可以解释光谱线的自然宽度 非单色性 原子处于激发态的平均寿命一般为 于是激发态能级的宽度为 说明 原子光谱线的宽度取决于跃迁的两个能级的宽度 光谱线的宽度越窄 即单色性越好 说明能级宽度越小 也即平均寿命越长 能级的能量越稳定 理论上计算平均寿命 估计能级宽度实验上测量能级宽度 估计激发态的寿命 例 对于宏观粒子 m 10 10kg的微小尘埃 测定它的位置不难准确到 由 远远小于测量速度的误差 完全可以忽略 对于宏观粒子 不确定度关系没有限制作用 设 加速电压U 102V 电子获得动能Ek eU 100eV 此能量远小于电子的静止能0 51MeV 是非相对论情形 例在示波管中电子的运动 电子的横向弥散可以忽略 轨道有意义 所以有 由此得 数量级估算 威尔孙云室 可看到一条白亮的带状的痕迹 粒子的径迹 观察到的 轨道 仍有意义 威尔逊云室是一个充满过饱和蒸气的容器 射入的高速电子使气体分子或原子电离成离子 以离子为中心过饱和蒸气凝结成小液滴 在强光照射下 可看到一条白亮的带状的痕迹 粒子的径迹 例试求原子中电子速度的不确定量 取原子的线度为10 10m 解 由玻尔的氢原子理论 对于微观粒子不确定关系的限制显著 不能用经典力学量描述原子内电子的运动 轨道 已失去意义 例 求线性谐振子最小可能的能量 又叫零点能 和按量子理论线性谐振子的能量表示式 解 振子在平衡点附近振动 本例还说明 量子体系有所谓的零点能 最小能量 按量子理论线性谐振子的能量 薛定谔ErwinSchrodinger奥地利人1887 1961创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖 18 2 5薛定谔方程 1926年 薛定谔介绍德布罗意波后 德拜 有了波就应该有一个波动方程 几周后薛定谔找到 提出 了波函数满足的微分方程 薛定谔方程从而建立了描述微观粒子运动规律的学科 量子力学 薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程 同牛顿定律一样是不能由其它基本原理推导出来的 它最初只是一个假定 后通过实验检验了它的正确性 建立薛定谔方程的依据 1 自由粒子的波 德布罗意 函数是其解 2 方程应该是线性的 解释 若 1是方程的解 则C1 1也是它的解 若波函数 1与 2是某粒子的可能态 则C1 1 C2 2也是该粒子的可能态 因此 波函数应遵从线性方程 我们已经知道的自由粒子波函数的数学式 一般的粒子应该满足什么样的动力学方程 薛定谔建立方程的思路 它满足什么样的动力学方程 自由粒子薛定谔方程的建立 势场中的薛定谔方程的建立 自由粒子波函数 对时间微分 得到方程 自由粒子薛定谔方程的建立 对空间微分二次 得到方程 对于非相对论性自由粒子 算符对应关系 作用于波函数 得自由粒子薛定谔方程 算符和力学量的对应关系 设粒子在势场U x t 中运动 能量关系为 算符对应关系 作用于波函数 得薛定谔方程 势场中的薛定谔方程 三维 引入拉普拉斯算符 则有 薛定谔方程 是线性齐次微分方程 解满足态叠加原理 方程中含有虚数i 它的解 是复函数 复数不能直接测量 而 的模方代表概率密度 可测量 是量子力学的基本方程 描述非相对论性粒子波函数随时间演化规律 薛定谔方程 关于薛定谔方程的讨论 1 如果已知粒子质量m及势函数U的具体形式 则可写出具体的薛定谔方程 它是一个二阶偏微分方程 若给定初始条件和边界条件即可求解 3 薛定谔方程的局限 非相对论 Dirac 相对论方程 不仅算出氢原子的精细结构 并且解释了电子自旋 并