计算机应用基础2计算方法基础ppt课件.ppt

第二章Matlab 矩阵基本分析矩阵的运算矩阵的性质矩阵的分解 一矩阵的创建 1 直接赋值 在命令窗口以命令行的方式直接输入 以 为开始和结束的标志 行与行之间用 元素之间用 或空格 2 冒号表达式e1 e2 e3 3 zeros函数创建全零矩阵 调用格式为 矩阵的基本分析 4 eye函数创建单位矩阵 调用格式 A zeros m n 生成mXn全零矩阵 B eye m n 生成mXn单位矩阵 5 rand函数创建均匀随机矩阵 调用格式 C rand m n 生成mXn随机矩阵 矩阵的基本分析 二矩阵及其元素的赋值变量 表达式 数 a 123 456 789 x 1 3sqrt 3 1 2 3 5 4 x 5 abs x 1 a 4 3 6 5a 1 00002 00003 00004 00005 00006 00007 00008 00009 0000006 5000 元素之间用逗号 空格分开 不同行以分号隔开 语句结尾用回车或逗号 会显示结果 如果不想显示结果 用分号 元素用 中的数字 下标 来注明 一维用一个下标 二维用两个下标 逗号分开 a 5 5 4 3 b a 2 4 1 3 a 2 4 5 a 7 如果赋值元素的下标超过原来矩阵的大小 矩阵的行列会自动扩展 全行赋值 用冒号 提取交点元素 抽取某行元素用空矩阵 矩阵的基本分析 f1 ones 3 2 f2 zeros 2 3 f3 magic 3 f4 eye 2 f5 linspace 0 1 5 fb1 f1 f3 f4 f2 fb2 fb1 f5 全1矩阵全0矩阵魔方矩阵 元素由1到nn的自然数组成 每行 每列及两对角线上的元素之和均等于 n3 n 2 单位矩阵是n n阶的方阵 对角线上元素为1 线性分割函数大矩阵可由小矩阵组成 其行列数必须正确 恰好填满全部元素 三基本赋值矩阵 矩阵的基本分析 f1 111111全1矩阵f3 816魔方矩阵357492线性分割函数f5 00 25000 50000 75001 0000大矩阵可由小矩阵组成fb2 1 00001 00008 00001 00006 00001 00001 00003 00005 00007 00001 00001 00004 00009 00002 00001 0000000001 000000000 25000 50000 75001 0000 f2 000全0矩阵000f4 10单位矩阵01fb1 1181611357114921000001000fb1 f1 f3 f4 f2 fb2 fb1 f5 矩阵的基本分析 一矩阵的初等运算 1 矩阵的加减乘法i 加 减法 相加减的两矩阵阶数必须相同 对应元素相加减 n m size fb2 x 101 y x 1y 2 10 语句size检查矩阵阶数 两矩阵相加 阶数必须相同 两相加减的矩阵中有一个是标量时 MATLAB将标量扩展成同等元素矩阵 与另一矩阵相加减 2矩阵的运算 pi x标量与矩阵相乘 不检查阶数 标量乘以矩阵的每一个元素 x 101 X与y内阶数不同 将y转置y 读作x左乘y y 2 10 x y ans 2ans 20 2y xX右乘y 10 1000 2 矩阵乘法 矩阵An p阶与矩阵Bp m阶的乘积C是n m阶矩阵 P是A阵的列数 B阵的行数 称为两个相乘矩阵的内阶数 两矩阵相乘的必要条件是内阶数相等 C i j kA i k B k j 值为A阵第i行和B阵第j列对应元素乘积的和 2矩阵的运算 eye 3 a左 右乘结果不同 只有单位矩阵例外 a eye 3 单位矩阵乘以矩阵A 左 右乘结果仍等于该矩阵 a 123ans 123ans 123456456456789789789 2矩阵的运算 二矩阵的除法及线性方程组的解 a 123456789AV IV A 1V inv a inv a aV 1 0e 016 0 45040 9007 0 45040 9007 1 80140 9007 0 45040 9007 0 4504 n n阶方阵A和同阶的方阵V相乘 得出n阶单位矩阵I I为eye n V是A的逆阵 V存在条件 A的行列式不等于0 det A 0V A 1MATLAB内部函数inv 得出A的逆阵V D X Binv D D X inv D Binv D D II X XX inv D B D BX D BX B inv D B D D与B行数相等两端同时左乘以inv D 逆阵单位阵D B为D左除BX D B 左除时阶数检查条件 两矩阵的行数必须相等 未知矩阵在左 D的逆阵右乘以B 记作 D右除 右除时阶数检查条件 两矩阵的列数必须相等 2矩阵的运算 a 123 3 54 789 x x1 x2 x3 b 2 0 2 ax bx a ba左除b 方程组X1 2X2 3X3 23X1 5X2 4X3 07X1 8X2 9X3 2可以表示为ax b 2矩阵的运算 a 123 456 b 240 135 d 147 852 360 运算 a bd aa b Errorusing Innermatrixdimensionsmustagree d a Errorusing Matrixdimensionsmustagree a bans 6162092325123030a b ans 10222849d a ans 0 037000 51851 0000 0 14810a dans 0 40740 07410 00000 74070 40740 0000 2矩阵的运算 解线性方程组Ax B6x1 3x2 4x3 3 2x1 5x2 7x3 48x1 4x2 3x3 7A 634 257 8 4 3 B 3 4 7 X A B A 634 2578 4 3B 3 4 7X 0 60007 0000 5 4000 2矩阵的运算 三矩阵结构形式的提取与变换 A 8160 3571 4922 B1 fliplr A B2 flipud A B3 reshape A 2 6 提取矩阵中某些特殊结构的元素 组成新的矩阵 改变矩阵结构 fliplr矩阵左右翻转flipud矩阵上下翻转reshape阶数重组 元素总数不变 B4 rot90 A B5 diag A B6 tril A B7 triu A B8 A rot90矩阵整体反时针旋转90度diag提取或建立对角阵tril取矩阵的左下三角部分triu取矩阵的右上三角部分将元素按列取出排成一列 2矩阵的运算 3 1矩阵基本概念与性质 一行列式 3 矩阵的性质 例2 1 A 162313 511108 97612 414151 det A 162313511108A 97612414151 求行列式 3 矩阵的性质 二矩阵的秩 3 矩阵的性质 rank A rc rr其中rc为行稚 rr为列秩 r rank A 采用默认的精度求秩r rank A 给定精度 求秩 例2 2 A 162313 511108 97612 414151 r rank A R rank A 3 162313511108求A 97612的秩414151 3 矩阵的性质 3 2逆矩阵与广义逆矩阵 一矩阵的逆矩阵 AC CA I其中A为nXn非奇异方阵 则C A 1 C inv A 3 矩阵的性质 矩阵的伪逆 B pinv A 例2 3 A 162313 511108 97612 414151 formatlong B inv A 162313511108A 97612求逆414151 下列奇异矩阵 3 矩阵的性质 3 3矩阵的特征值问题 一 一般矩阵的特征值与特征向量 Ax x d eig A 只求特征值 V D eig A 求特征值和特征向量 3 矩阵的性质 例2 4 A 162313 511108 97612 414151 eig A 求下列矩阵的特征值和特征向量 162313511108A 97612414151 同时求出特征值和特征向量 V D eig A 3 矩阵的性质 二矩阵的广义特征向量问题 Ax Bx d eig A B 求解广义特征值 V D eig A B 求解广义特征值和特征向量 3 矩阵的性质 例2 5 A 5765 71087 68109 57910 B 26 1 3 5 123 3 4110 5 2 38 V D eig A B 576571087A 6810957910 26 1 25 123B 3 41105 2 38 求特征值和特征向量 3 矩阵的性质 V 0 2928 0 2697 0 7303i 0 2697 0 7303i1 00001 0000 0 1637 0 3013i 0 1637 0 3013i 0 60880 69480 9627 0 0175i0 9627 0 0175i 0 23220 8860 0 6795 0 2999i 0 6795 0 2999i0 1323 D 5 277700000 0303 0 1790i00000 0303 0 1790i0000 0 0036 3 矩阵的性质 三矩阵分析det A 矩阵的行列式poly A 矩阵特征多项式rank A 矩阵的秩inv A 矩阵的逆cond A 矩阵的条件数trace A 矩阵的迹pinv A 矩阵的伪逆 3 矩阵的性质 正交矩阵 4矩阵的基本变换 X B 1ABQ Q I 且QQ IQ orth A A 162313 511108 97612 414151 Q orth A norm Q Q eye 3 ans 1 0140e 015 例2 6 162313511108A 97612的正交矩阵414151 4矩阵的基本变换 4矩阵的基本变换 一矩阵的QR分解 A Q R A为非奇异矩阵 Q为正交矩阵 R为上三角矩阵 调用格式 Q R qr A 例2 6 A 162313 511108 97612 414151 Q R qr A 162313511108A 97612的QR分解414151 4矩阵的基本变换 二矩阵的三角分解 A LU 其中 4矩阵的基本变换 例2 7 A 162313 511108 97612 414151 V D lu A V 1 00000000 31250 76851 000000 56250 43521 00001 00000 25001 000000 D 16 00002 00003 000013 0000013 500014 2500 2 250000 1 88895 66670000 162313511108A 97612的LU分解414151 4矩阵的基本变换 三矩阵的奇异值分解 ATA 0 AAT 0其中A为任意的nxm矩阵 理论上有rank ATA rank AAT rank A 奇异值定义 其中 i为非负特征值 4矩阵的基本变换 奇异值的计算 s svd A 例2 8 A 162313 511108 97612 414151 U S V svd A 162313511108A 97612的奇异分解414151 4矩阵的基本变换 矩阵分解qr A 矩阵的QR分解lu A 矩阵的LU分解eig A 求特征值和特征向量svd A 矩阵的奇异值分解chol A 矩阵的Cholesky分解 A T T T为正定上三角矩阵 4矩阵的基本变换 5符号运算 Matlab提供了一种符号数据类型 相应的运算对象成为符号对象 Matlab符号运算功能集中在符号工具箱 symbolictoolbox 符号表达式可以代表数字 函数和变量的Matlab字符串或字符串数组 它不要求变量要有预先确定值 符号对象 sym或syms函数用于建立单个和多个符号变量 f sym expr 表达式expr转换为符号对象syms arg1 arg2 将arg1 arg2定义为符号变量symsarg1arg2 上面的简化 变量间只能用空格隔开 符号表达式包括符号符号函数和符号方程 其中符号函数没有等号 符号方程必须带有等号 注意sym可以建立符号方程 而syms不能 例 y sym 2 sin x cos y symsx1x2x3x4z sin x1 cos x2 cos x1 sin x2 simple z A x1x2 x3x4 DA det A f sym sin x cos y 1 0 f syms sin x cos y 1 0 Notavalidvariablename 5符号运算 基本命令findsym expr 确定表达式expr中所有符号为自变量findsym expr n 确定表达式expr中靠x最近的n个自变量例 symsaxyztfindsym sin pi t findsym x i y j z 1 findsym x i y j z 2 findsym x i y j z 3 5符号运算 基本命令digits d 设置有效数字个数为d的近似解精度R vpa A 对表达式A求值R vpa A d d为输出数值的有效位数例 digits 25 设置vpa输出的有效位数q vpa sin sym pi 6 p vpa pi w vpa 1 sqrt 5 2 5 5符号运算 基本命令R subs S R subs S old new 例 a 980 C1 3 y dsolve Dy a y subs y subs a b a 4 subs cos a sin b a b sym alpha 2 subs x y x y 01 10 1 1 21 5符号运算 求极限命令limit F x a x趋向a时F的极限limit F a 利用findsym确定变量limit F 默认a 0limit F x a right 右极限limit F x a left 左极限例 symsxath limit sin x x limit 1 x x 0 right limit 1 x x 0 left limit sin x h sin x h h 0 v 1 a x x exp x limit v x inf left 5符号运算 求导命令diff S v n S对变量v求n阶导数diff S v S对v求一阶导数diff S n 自变量由findsym确定diff S 自变量由findsym确定例 symsxtdiff sin x 2 diff t 6 6 5符号运算 积分命令R int S v a b S对变量v在区间 a b 内求定积分R int S a b 自变量由findsym确定R int S v S对变量v求不定积分R int S 自变量由findsym确定例 int 2 x 1 x 2 2 int x 1 z 2 z int x log 1 x 0 1 int 2 x sin t 1 int exp t exp al