实变函数论课后答案第四章1

实变函数论课后答案第四章实变函数论课后答案第四章 1 1 第四章第一节习题 1 证明 E上的两个简单函数的和与乘积都还是E上的简单函 数 证明 设 1 i n iE i fcx 1 i m iF i gdx 这里 1 n i i E 互不相交 1 m i i F 互不相交 令 ijij KEF 1 1injm ijij acd 1 1injm 则易知 1111 ijij nmnm iEjFijEF ijij fgcxdxcdx 先注意 若 1 m i i KK i K互不相交 则 1 i m KK i xx m可为无穷大 xK i 使 i xK 1 i KK xx 0 K xKx 且i i xK 则 0 i K x 且 1111 mmmm cc iijijijij jjjj EEFEFEFEF 111 1 mmm ii cc ijijij jjj m EEF EFEFEF j xxxxx 同理 1 1 m jij c ji i n FEF FE i xxx 11 ij nm iEjF ij fgcxdx 11 1111 mm ijij cc ijji ji nmmn iEFjEF EFFE ijji cxxdxx 11 1111 mm ij cc ijji ji nmnm ijEFij EFFE ijij cdxcxdx 这显然还是一个简单函数 因为 若 i jk l 则 ijkl EFEF 11 mm cc ijkj jj EFEF ik 11 mm cc jikl ii FEFE jk 11 mm cc ijki ji EFFE i k 1 m c ijij j EFEF 显然 iiij EFEF xxx 事实上 ij xEF 1 iiii EFEF xxxx 若 iji xEFxE 或 i xF 则 0 iiij EFEF xxx 1111 ijij nmnm iEjFijEF ijij f gcxdxc dxx 11 ij nm ijEF ij c dx 当 i jk l 时 ijklikjl EFEFEFEF 则f g 也是简单函数 1 aR 显然 1 i n iE i af xacx 仍为简单函数 2 证明当 f x既是 1 E上又是 2 E上的非负可测函数时 f x也是 12 EE 上的非负可测函数 证明 显然 0f x 于 1 E 且 0f x 于 2 E表明 0f x 于 12 EE 又 1 aR 1212 EEx f xaEx f xaEx f xa 由于f在 1 E 2 E上分别可测 1 Ex f xa 和 2 Ex f xa 均为可测集 从而由 P61 推论 2 12 Ex f xaEx f xa 12 EEx f xa 为可测集 再由 P101Th1 知f在 12 EE 上可测或直接用 P104Th4 的证明方法 3 设mE f x是E上几乎处处有限的非负可测函数 证明 对0 都有闭集 FE 使 m E F 而在F上 f x是有界的 证明 令 0 0EE x f x EE x f xE 由条件f在E上 几乎处处有限 0mE 由 f x可测于E上知 0 0 0EE x f xE x f x 是可测集 P103Th2 P64Th4 可测集 的交仍可测 令 0 EE xf x 1 k AE xf xk k 则 1 k AE x f xkE xf x k 可测 1 k k EA 且 1kk AA 由 P64Th5 lim k k m EmA 而mE 则 m E 故0 0 k 使 0 0 2 k m EmA 而 0 k AE 故 0 2 k m EA 由 0 E 0 k A可测 闭集 0 1k FA 0 1 8 k m AF 闭集 00 FE 使 00 8 m EF 令 10 FFF 则F为闭集 且在F上 0 0 f xk 由于EF 00 E FEEEFEEEF 又 000001 EEFEEFFEFEF 而 00 11 kk EFEAAF 故 00 m E FmEm EEFF 001 0 m EFm EF 00 1 882842 kk m EAm AF 证毕 4 设 n fx是可测集合E上的非负可测函数序列 证明 如果对 任意0 都有 1 n n mE x fx 则必有lim 0 n n fxaeE 于 又问这一命题的逆命题是否成立 证明 n fx非负可测 令 0 lim 0 n n EE xfx 则由 CH1 1 习题 8 的证明方法 P11 见前面的习题 解答 0 x f x 0 11 1 m knm n EE x fx k 一般 11 1 lim nm n knm n E xfxf xE xfxf x k 在本题的假设下 我们需证 0 0m E E 由DeMorgan公式 0 1111 11 c mm knm nknm n E EE x fxEE x fx kk m fx可测 故 1 m E x fx k 为可测集 故而 0 11 1 m knm n m EEmE x fx k 所以我们只用证 1 1 0 m nm n k mE x fx k knN 1 111 mmm m nnm nm n mE x fxmE x fxE x fx kkk 由于 1 n n mE x fx 故 1 lim 0 m n m n E x fx k 1 11 lim 0 mm n m nnm n mE x fxE x fx kk 故 0 0m E E 得证 即lim 0 n n fxaeE 于 逆命题一般不成立 1 n n E x fx 的必要条件是 lim 0 n n E x fx 当mE 时 n fxf x 不能推出 n fxf x 于E 0 1 n 于 1 R 但 0 1 n 不于 1 R 当mE 时 n fxf xaeE 于 n fxf x 于E 但不能保证 1 n n E x fx 5 设mE f x在E上非负可测 证明对于任意y y EE x f xy 都是可测的 进而证明使0 y mE 的y最多有可数 多个 证明 因为 f x在E上可测 P103 Th2 1 yR E x f xy 都是 可测集 从而 E x f xyE x f xyE x f xy 也是可测集 显然 1 1 0 yy k E x mEE x mE k 下证 kN 1 y E x mE k 要么是空集 要么是有限集 事实上 若 0 k 使 0 1 y E x mE k 为无限集 则由 P18 Th1 存在 可数集 12 0 1 ny y yyE x mE k 由于 ij yy 时 ij yy EE 1 i y i EE 111 0 1 ii yy iii mEmEmE k 矛盾 6 证明 如果 f x是 n R上的连续函数 则 f x在 n R任何可测子 集 E 上都可测 证明 1 aR 则从 f x是 n R上的连续函数 我们易知 n a Fx xRf xa 是开集 事实上若 0a xF 0 f xa 则从 n fC R 0 使 0 xB x 00 f xf xaf xa 则 0 a B xF 故 a F是开集 从而可测 而E可测 故 a Ex f xaFE 作为两个可测集的交也可 测 这说明 f x在E上可测 P103 Th2 7 设 f x是 1 R可测集E上的单调函数 证明 f x在E上可测 证明 不妨设 f x在E上单调不减 即 12 x xE 若 12 xx 则 12 f xf x 1 aR 我们来证明 Ex f xa 是可测集 这样由本节 定理 2 知 f x可测于E P103 若 1 aR 使得 a Ex f xa 则显然 a E可测 若 1 aR 使得 a E 此时若令 0 sup a yE 则要么 0 y 要么 0 y 1 若 0 y 则 Ma MMyE 故 x xEM 使 x Ma yxE 由 f x在E上单调不减 我们有 x M f xf ya 即 a EEE 从而 a EE 为可测集 2 若 0 y 则要么 0 yE 要么 0 yE 若 0 yE 则 0 f ya 此时 0 xEy 0 xax yExyy 由 f x单调不减于E知 x f xf ya 故 0 a EyE 而 0a yE 从而有 00 a EyEEy 故 0 a EEy 为可测 集 若 0 yE 而 0 f ya 0a yE 则 0 xyE 0 xax yExyy 0 x xyy x f xf ya 则 00 a yEEyE 即 0 a EyE 为可测集 若 0 yE 则 0a yE 同样可证 0 a EEyE 可测 若 f x单调不增 则 f x 在E上单调不减 从而可测 故 f xf x 在E上可测 8 证明 n R中可测子集E上的函数 f x可测的充要条件是存在E上的 一串简单函数 m x 使 lim m m f xx xE 证明 1 E上的简单函数是可测的 设 1 i m iE i xcx 为E上的简单函数 1 m ii i EE E 互不相交 i E为E的可测子集 易知 i E ix 是可测的 F x 可测F 是可 测集 故由 P104Th5 i iE cx 可测 1 i m iE i cx 可测 由此 若存在E上的一串简单函数 m x lim m m f xx xE 则从 m x 可测 且lim m m x P107 推论 2 f x在E上可测 2 若 f x可测 则由 P107Th7 ff 都是非负可测的 故由 定义存在简单函数列 n x n x 1 2 n n xfx n xfx xE 显然 n x 也是简单函数 由本节第一题 nnn xxx 仍 为简单函数 且 n xf x xE 证毕 9 证明 当 1 f x是 1 p ER 2 fy是 2 q ER 中的可测函数 且 12 f xfy 在 12 EEE 上几乎处处有意义时 12 f xfy 是E上的 可测函数 证明 1 若 p ER q FR 分别是 p R q R中的可测集 则函数 EF f x yxy 是 pq RR 上的可测函数 事实上 1 aR 若0a 则 pqpq x yRRf x yaRR 是可测集 若1a 则 pq x yRRf x ya 是可测集 若01a 则 pq x yRRf x yaEF 是可测 集 P72Th1 1 推出 2 1 cR p ER 可测 q FR 可测 则 EF cxy 在 pq RR 上可测 现在来证明本题结论 1 f x在 1 E上可测 故由本节第 8 题 结论 存在 1 E上的简单函数列 1 n n i m n ni E i xax 1 1 n m n i i EE nn ij EE 当ij 使得 1 n xf x 1 xE 同样 从 2 f在 2 E上可测知 存在 2 E上的简单函数列 n y 使 2 n yfy 于 2 E上 从上述 1 2 知 nn xy 在 pq RR 上可测 且 12 nn xyf x fy 于 12 EE 上 由上 P107 推论 2 知 12 f x fy在 pq RR 上可测 证法二 更简单 将 1 f x 2 fy看成 x y的函数 1 aR 121112 EEx yf xaEx yf xaE 从 1 f x在 1 E上可测知 11 Ex yf xa 为 p R中的可测集 2 E可测 故 112 Ex yf xaE 为 pq RR 中的可测集 故 121 EEx yf xa 为 pq RR 中的可测集 则 1 f x作为 12 EEE 上的函数是可测的 同理 2 fy在E上也可测 P104Th5 得 12 f xfy 在E上也可 测 10 证明 如果 f x是定义于 n R上的可测子集E上的函数 则 f x在E上可测的充要条件是对 1 R中Borel集合B 1 fBE x f xB 都是E的可测子集 如果 f x还是连续的 则 1 fB 还是Borel集 提示 用 1 B表示 1 R中那些使 1 fB 是E上 的可测子集的B所构成的集合族 比较 1 B和 1 R中的Borel集合类B 证明 记 11 BRfBE 是上的可测子集 1 B 我们来证明 1 B是一个 代数 1 1 B 1 f 显然是E的可测子集 2 若A 1 B 1 fA 是E的可测子集 则 1111111 c fAfRAfRfAEfA 也是E的可 测子集 P61 推论 1 则 c A 1 B 3 若 i A 1 B 1 2 i 则i 1 i fA 是E的可测子集 11 11 ii ii fAfA 也是E的可测子集 故 1 i i A 1 B 故 1 B是一个 代数 现在 若 1 fER 是一可测函数 则 1 fa bE x af xbE x f xbE x af x 是 为可测集 E x f xb E x af x 都是可测集 P60Th2 则 a b 1 B 故 1 B包含所有的 1 R上的开集 由一维开集的构造 从而包含 所有的Borel集 这就证明了 Borel集 1 fB 是E的可测子集 反过来 若 Borel集 1 fB 是E的可测子集 则由于 1 aR a 为开集 故是Borel集知 1 faE x f xa 为可测集 故f是E上的可测函数 令 1 1 BRfBBorel 为集 2 B 则一样 1 2 B 2 c AA 22 BB 3 12 1 i i A AA 22 BB 故 2 B也是一个 代数 若f连续 则 a b 1 a bR 1 fa b 是开集 相对 于E 从而是Borel集 故 a b 2 B 从而 2 B包含所有的Borel集 故 Borel集B 1 fB 同样为Borel集 若 nn fRR 的同胚 则f将Borel集映为可测集 11 设 f x是E上的可测函数 g y是 1 R上的连续函数 证明 g f x是E上的可测函数 注意 如果 f x在 n R上连续 g y在 1 R上可测 g f x未必可测 特别是 f x g y都可测时 g f x未必可测 证明 1 aR 从g连续知 1 ga 显然为 1 R上的开集 由 1 R上的开集的构造定理知 本书上只证了有界开集 事实上 无界 开集也有类似的构造 至多可数个互不相交的开区间 n I使 1 1 m n n gaI m有限或 而 1 f 保持集合关系不变 即 11 11 mm nn nn fIfI 而f可测 故 1 n fI 可测 故 1 1 m n n fI 可测 从而有 11111 11 mm nn nn E x gf xagfafgafIfI 可测 故 gf x 是E上的可测函数 存在反例 实分析中的反例 可测函数f和连续函数g构成 不可测的复合函数fg 设E是 0 1 中具有正测度的Cantor集 令 0 0 1 0 1 mxE x mE 无处稠密完备集 P70 习题 1 则 是由 0 1 到 0 1 上的一个同胚映射 P54 习题 3 的证明过程中 见周民强书 P84 已知 若 m E Ea b 0 mxE 是 a b上的连续函数 故从 0 1 0 1 E 知 0 0 1 0 1 mxE x mE 是连续函数 0 1 0 1 0 0 1 1 且 是严格递增的 因E是完备集 故E是自密闭集 0 1 E是相对开集 或 c E是 开集 0 1 0 1 c EE 0 1 c E 是开集 0 1 x y yx 1 0 0 1 0 0 1 0 1 yxmyEmxE mE 1 0 1 0 1 m x yE mE 1 0 1 0 1 m x yE mE 注意 E是无处稠密集 故 zx y 使zE 0 1 zE 0 1 zx yE 由于 0 1 x yE 为开集 故0 使 0 1 zzx yE 则 0 1 20m x yEm zz 故 yx 即 y 严格单调 从而 0 1 到 0 1 上的一个同胚映 射 设 0 1 E这一有界开集可写成互不相交的构成区间的并 1 0 1 kk k E 从而 1 0 1 0 1 kk k mEmE 又因为 0 0 1 0 0 1 0 1 kk