经典导数培优专题(含解析)

精品文档 1欢迎下载 培优导数专题 1 本大题满分 12 分 设函数f x cos2 sin x x 求f x 的单调区间 如果对任何都有f x 求a的取值范围 0 xax 2 本小题满分 12 分 已知 2 0 2x eaxxxfa 函数 当x为何值时 f x 取得最小值 证明你的结论 设在 1 1 上是单调函数 求a的取值范围 xf 3 已知函数 2 1 ln 1 0 2 f xxaxax aRa 且 1 求函数的单调递增区间 f x 2 记函数的图象为曲线 C 设点 A x1 y1 B x2 y2 是曲线 C 上的不同两点 yF x 如果在曲线 C 上存在点 M x0 y0 使得 曲线 C 在点 M 处的切线平行于直 12 0 2 xx x 线 AB 则称函数F x 夺在 中值相依切线 试问 函数f x 是否存在 中值相依切线 请说明理由 精品文档 2欢迎下载 4 对于函数 若存在 使成立 则称为的不动点 如果函数 f x 0 xR 00 f xx 0 x f x 有且仅有两个不动点 且 2 xa f xb cN bxc 02 1 2 2 f 1 试求函数的单调区间 f x 2 已知各项均为负的数列满足 求证 n a1 1 4 n n a fs 1 111 ln nn n ana 3 设 为数列的前项和 求证 1 n n b a n T n bn 20112010 1ln2011TT 5 12 分 设函数f x x2 bln x 1 1 若对定义域的任意x 都有f x f 1 成立 求实数b的值 2 若函数f x 在定义域上是单调函数 求实数b的取值范围 3 若b 1 证明对任意的正整数 n 不等式都成立 333 1 1 3 1 2 1 1 1 nk f n k 6 12 分 已知函数 Rxkxexf x 1 若 试确定函数的单调区间 ek xf 2 若且对任意 恒成立 试确定实数的取值范围 0 kRx 0 xfk 3 设函数 求证 xfxfxF 2 2 1 2 1 NnenFFF n n 精品文档 3欢迎下载 1 解 I 2 分 cos2 1cos2 cos2 sin sincos cos2 22 x x x xxxx xf 分是减函数在每一个区间 是增函数在每一区间因此 即时当 即时当 6 3 4 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 0 2 1 cos 3 4 2 3 2 2 0 2 1 cos 3 2 2 3 2 2 Z Z Z Z kkkxf kkkxf xfxkkxk xfxkkxk II 令则 xfaxxg 3 1 3 1 cos2 1 3 cos2 3 cos2 2 cos2 1cos2 2 22 a x xx a x x axg 故当 0 0 0 0 0 0 3 1 axxfgxgxgxga 即时所以当又时 2 0 2 1 2 0 3 sin cos2 sin 3arccos 0 3sin 0 0 3arccos 0 3arccos 0 0 3arccos 0 3cos 3sin 3 1 0 afa ax x x x xfax axxhxhax axhxhax axxhaxxxha 有时当 时当于是 即时故当 上单调增加在因此时故当 则令时当 因此 a的取值范围是 12 分 3 1 2 解 I 对函数f x 求导数 得 2 1 2 22 2 22xxx eaxaxeaxeaxxxf 令 得 x2 2 1 a x 2a ex 0 从而x2 2 1 a x 2a 0 0 x f 解得 21 2 2 2 1 11 11xxaaxaax 其中 当x变化时 f x 的变化如下表 x f x x1 x1 x1 x2 x2 x2 x f 0 0 xf 极大值 极小值 当f x 在x x1处取到极大值 在x x2处取到极小值 4 分 当a 0 时 x1 1 x2 0 f x 在 x1 x2 为减函数 在 x2 为增函数 而当x0 当x 0 时 f x 0 所以当x a 1 时 f x 取得最小值 8 分 II 当a 0 时 f x 在 2 1a 1 1 上单调函数的充要条件是x2 1 即a 1 1 解得a 综上 f x 在 2 1a 4 3 1 1 上为单调函数的充分必要条件为a 即a的取值范围是 4 3 4 3 3 解 函数 f x的定义域是 0 1 分 由已知得 1 1 1 1 a xx a fxaxa xx 2 分 当0a 时 令 0fx 解得01x 函数 f x在 0 1 上单调递增 当0a 时 当 1 1 a 时 即1a 时 令 0fx 解得 1 0 x a 或1x 函数 f x在 1 0 a 和 1 上单调递增 当 1 1 a 时 即1a 时 显然 函数 f x在 0 上单调递增 当 1 1 a 时 即10a 时 令 0fx 解得01x 或 1 x a 精品文档 4欢迎下载 函数 f x在 0 1 和 1 a 上单调递增 6 分 综上所述 当0a 时 函数 f x在 0 1 上单调递增 当1a 时 函数 f x在 1 0 a 和 1 上单调递增 当1a 时 函数 f x在 0 上单调递增 当10a 时 函数 f x在 0 1 和 1 a 上单调递增 7 分 假设函数 f x存在 中值相依切线 设 11 A x y 22 B xy是曲线 yf x 上的不同两点 且 12 0 xx 则 2 1111 1 ln 1 2 yxaxax 2 2222 1 ln 1 2 yxaxax 21 21 AB yy k xx 22 212121 21 1 lnln 1 2 xxa xxaxx xx 21 12 21 lnln1 1 2 xx a xxa xx 9 分 曲线在点 00 M xy处的切线斜率 0 kfx 12 2 xx f 12 12 2 1 2 xx aa xx 依题意得 21 12 21 lnln1 1 2 xx a xxa xx 12 12 2 1 2 xx aa xx 化简可得 21 21 lnlnxx xx 12 2 xx 即 2 1 ln x x 21 21 2 xx xx 2 1 2 1 2 1 1 x x x x 11 分 设 2 1 x t x 1t 上式化为 2 1 4 ln2 11 t t tt 4 ln2 1 t t 令 4 ln 1 g tt t 2 14 1 g t tt 2 2 1 1 t t t 因为1t 显然 0g t 所以 g t在 1 上递增 显然有 2g t 恒成立 所以在 1 内不存在t 使得 4 ln2 1 t t 成立 综上所述 假设不成立 所以 函数 f x不存在 中值相依切线 14 分 1 设 2 2 1 0 1 xa xb xcxab bxc 20 1 2 0 1 c b a b 0 1 2 a c b 2 1 2 x f x c xc 由 21 2 13 12 fc c 又 3 分 b cN 2 2cb 2 1 2 1 x f xx x 于是 22 22 22 1 22 4 1 2 1 xxxxx fx xx AA 由得或 由得或 0fx 0 x 2x 0fx 01x 12x 故函数的单调递增区间为和 f x 0 2 单调减区间为和 4 分 0 1 1 2 2 由已知可得 当时 2 2 nnn Saa 2n 2 111 2 nnn Saa 两式相减得 11 1 0 nnnn aaaa 或 1nn aa 1 1 nn aa 当时 若 则这与矛盾1n 2 1111 21aaaa 1nn aa 2 1a 1 n a 精品文档 5欢迎下载 6 分 1 1 nn aa n an 于是 待证不等式即为 为此 我们考虑证明不等式 111 ln 1 n nnn 111 ln 0 1 x x xxx 令则 1 1 0 t x x 1t 1 1 x t 再令 由知 1 lng ttt 1 1g t t 1 t 0g t 当时 单调递增 于是 1 t g t 1 0g tg 1lntt 即 11 ln 0 x x xx 令 由知 1 ln1h tt t 22 111 t h t ttt 1 t 0h t 当时 单调递增 于是 1 t h t 1 0h th 1 ln1t t 即 11 ln 0 1 x x xx 由 可知 10 分 111 ln 0 1 x x xxx 所以 即 11 分 111 ln 1 n nnn 1 111 ln nn n ana 3 由 2 可知 则 1 n b n 111 1 23 n T n 在中令 n 1 2 3 2010 并将各式相加得 111 ln 1 n nnn 111232011111 lnlnln1 232011122010232010 即 20112010 1ln2011TT 5 解 1 由 x 1 0 得 x 1 f x 的定义域为 1 对 x 1 都有 f x f 1 f 1 是函数 f x 的最小值 故有 f 1 0 解得 b 4 2 分 0 2 2 1 2 b x b xxf 经检验 列表 略 合题意 4 分 2 又函数 f x 在定义域上是单调函数 1 22 1 2 2 x bxx x b xxf f x 0 或 f x 0 在 1 上恒成立 若 f x 0 x 1 0 2x2 2x b 0 在 1 上恒成立 即 b 2x2 2x 恒成立 由此得 b 2 1 2 1 2 2 x 2 1 若 f x 0 x 1 0 2x2 2x b 0 即 b 2x2 2x 恒成立 因 2x2 2x 在 1 上没有最小值 不存在实数 b 使 f x 0 恒成立 综上所述 实数 b 的取值范围是 8 分 2 1 3 当 b 1 时 函数 f x x2 ln x 1 令函数 h x f x x3 x2 ln x 1 x3 则 h x 3x2 2x 1 1 3 1 1 23 x xx x 当时 h x 0 所以函数 h x 在上是单调递减 0 x 0 x 又 h 0 0 当时 恒有 h x h 0 0 0 x 即 x2 ln x 1 x3恒成立 故当时 有 f x x3 0 x 取则有 0 1 k Nk 1 k x 3 11 f kk 故结论成立 12 分 333 1 1 3 1 2 1 1 1 nk f n k 6 1 令 解得eexf x 0 x f1 x 当时 在单调递增 1 x0 x f xf 1 当时 在单调递减 1 x0 x f xf 1 2 为偶函数 恒成立等价于对恒成立 xf 0 xf0 xf0 x 当时 令 解得0 xkexf x 0 x fkxln 1 当 即时 在减 在增0ln k1 k xf ln 0 k ln k 解得 0ln ln min kklkkfxfek 1 ek 1 2 当 即时 在上单调递增 0ln k10 k0 k