考虑粒子分布特征的复合材料细观力学方法

考虑粒子分布特征的复合材料细观力学方法考虑粒子分布特征的复合材料细观力学方法 第31卷第4期xx年8月固体力学学报C HI NE SE JO UR NA LO FS OL IDM EC HA NIC SV o1 31NO 4A ugu stxx考虑粒子分布特征的复合材料细观力学方法李伟宋卫东宁建国 北京理工大学爆炸科学与技术国家重点实验室 北京 100081 摘要 研究了颗粒增强复合材料中颗粒增强体粒径分布对复合材料力学性 能的影响 利用分形思想将增强粒子的概率分布特征考虑进来 对 已有的复合材料细观力学等效夹杂方法进行修正 建立了一个考虑 粒子统计分布的细观等效力方法 以混凝土为例 分析了颗粒增强 体体积含量 夹杂与基体的模量比和分形结构的分辨率对复合材料 力学性能的影响 结果表明 这种新方法能够适用于分析颗粒增强 复合材料的细观结构对力学性能的影响 关键词颗粒增强复合材料 混凝土 粒径分布 分形 等效夹杂0引言细观力学方法是一种能 有效反映复合材料宏观力学性能与组分材料细观结构参量间关系的 力学方法 其中E shelby等效夹杂理论 1是其主要理论基础 在此基础上 又发展了M ori T anaka理论j 自洽法 微分等效介质法法在处理颗粒增强等实际问 题时 总是将材料假设为统计均匀材料 承受均匀边界条件 这种 假设是很理想化的 实际情况中由于加工工艺上的限制 必然导致 增强相在基体材料内呈现随机分布 出现细观结构的局部涨落 表 现为粒径分布不均匀 形状不均匀 分布不均匀等 复合材料是典 型的多尺度材料 在研究描述这些材料特性时 传统的连续介质力 学的描述方法 无法体现材料内部的不规则性 以Carpinteri 6表 的科学家认为颗粒增强复合材料中的粒子分布具有分形特征 并且 论述了这种分形特征是造成复合材料尺寸效应的主要原因 在分形 领域的研究 国内学者的研究主要集中在金属材料口和岩石等脆性 材料的分形特征 而在复合材料方面的研究较少 国外学者在颗粒 增强复合材料方面的分形研究较为深入 不仅考虑了断裂损伤的分 形特征 还考虑了颗粒的概率分布对复合材料力学性能的影响本文 将Carpinteri和K hezrzadeh等等多种理论 但是这些方为代 所采用的分形统计的思 想与细观力学中E shelby等效夹杂的思想l1叫 相结合 提出一个等效力的理论 建立 一套能够计及材料随机分布特征的细观力学方法 主要考虑粒径不 均匀和分布不均匀对有效弹性模量的影响 并且分析了在相同粒径 分布时 体积含量对硬夹杂 软基体 忌 忌 1 和软夹杂 硬基体 忌 k 1 两种情况下复合材料性能的影响 1复合材料中增强粒子的概率 分布人们在颗粒增强复合材料设计和制备工艺上总是在努力追求颗 粒均匀分布的完美细观结构 但是由于工艺水平的限制 复合材料 细观结构的几何缺陷是不可避免的 其中增强粒子的粒径 由于球 磨的原因 就不可避免的呈现一定的概率分布 特别是在混凝土中 粒径的分布更是在所难免的呈现一定的概率特征 Grote等口 以 通过筛选确定了混凝土骨料的等级 其分布见图1 a 混凝土的外 观图见1 b 为了讨论问题简单 假设粒子为球状 直径为d 尺寸 分布范围为 d Stroeven口 出混凝土骨料的概率分布满足F uller筛曲线 其概率密度用f 表示 则有f 一 分析 1 l I d rf dd 国家自然科学基金项目 10625208 爆炸科学与技术国家重点实验室 北京理工大学 自主 研究课题 Z DKT10 03a 和国家重点基础研究发展计划 xxCB8327006 项目资助 xx 04 23收到第1稿 xx 08 26收到修改稿 通讯作者 T el010 68914048 E mailswdgh bit edu 340 固体力学学报xx年 第31卷分别用 和表示粒径的一阶矩 二阶矩分别于平均面积和 平均体积相关 和三阶矩 其中就是着粒子的平均直径 和图1骨料 等级分布及混凝土截面F ig 1G radation of th eagg regate and th e cr oss sec tio n ofth ec on cr ete s pecim en s为了揭示颗粒增强复合材料与均匀基体材料在结构上的不同 需要 考虑切割面上粒子的分布情况 如图2所示 边长为6的立方体复合 材料被平面所截的模型 为了简便起见只有部分颗粒被画出 用 和 分别表示体积中粒子个数和被平面切割的粒子个数 并且 复合材料的增强相体积含量为 则有关系fN J 一 一 7c 2 一d一以g 表示平面截到的粒子概率密度函数 则有g 一厂 3 a图3为复合材料被截平面具体情况 与Sier pinski分形模型很相似 图3 b 中 y是粒子中心到切割面的距离 是被截得圆的直径 此处的有分形意义 与表征截面面积时所用的 分辨率具有还具 a 二维图T wo dim ensiongraph a 图2简易模型F ig 2S impl em odel逆关系 分辨率越高 则表示可以观测到的被截圆直径越小 反之越大 由几何关系可得到Y d三者之间的数学关系为圈 c Si erpinski frac tal model y一盟2 4 b 被截粒子 b P artic ledet ail图3被截平面F ig 3C ros s s ectio ne oft heS Se et l on c Sierpinski分形模型第4期李伟等考虑粒子分布特征的复合材 料细观力学方法 341 基于被截粒子的概率密度函数g 可以得 到的概率密度函数r 并且已知被截的粒子数目为N 寻找被截圆 直径在目就是寻找粒子直径d 并且截面距粒子中心的距离在和 dy 之间的粒子数目 对于等价事件而言 由于粒径分布具有上下限 所以对于要分情况讨论 如果乒 d 则应考虑直径在区间 d 的 粒子 而对于声 5 J dmi n 则得到的概率密度函数 一 为f ld m a l v l lJ d d 0 乒 6 对于上述结果 不仅适用于金属基和陶瓷基颗粒增强复合材料 也适用于混凝土 取文献 14 中混凝土的参数d一lO mm d0 42 于是得到r 的无量纲数值解 如图4所示 图中的 最高峰对应的就是夹杂的最小直径 此时具有最大的概率密度 由 于夹杂的体积含量一定 随着分辨率的减小 其概率密度必然越来 越小 以至趋近于零 这是与事实相符合的 一0 1mm 一图4r 的无量纲数值解F ig 4D im en sionl essn um erical evalu ation of r Carpinteri 7 的理论认为 因为在损伤区域内粒子周围的粘结 裂纹充分发展 在混凝土达到最大载荷时 有效承载部分为截面水 泥基部分 并且具有分形特征 式 7 给出了被截平面中基体材料的有效面积 A 表达式 为截面总面 积 b 减去粒子截面积 无量纲后得到式 8 可见复合材料承载面积是与复合材料中增强粒子的尺寸分布及 体积含量密切相关的 对于某一确定的粒子分布 其面积是存在一 定的分布区间的 仍取参考文献 14 中的参数 图5给出了数值解曲 线 当一0时 即所有被截粒子截面都被去除掉 一d时 由图4给出 的概率分布可知 此时有效承载面积最大 即为总面积 6 A b2一l NPr d d 7 一1一m xr deb2 8 图5无量纲承载面积的数值解F ig 5D iens ion less area o f the res istan tCROSS se ct ionoft hem atri x2等效作用力和等效夹杂法推导复合材料的有效模量基体的刚度系 数矩阵为L0 颗粒的刚度系数矩阵为L 复合材料的刚度系数矩阵为 JL 复合材料的平均应力应变分别为 基体的应力应变为 sn 以黑体表示 s 颗粒的应力应变为张量 盯 L ns 仃 L1 8 9 复合材料在力F作用下 图6 由于颗粒的存在使得复合材料的承 载情况与单纯基体的承载情况不同 在上一部分的分析中已知承载 面积发生了很大的变化 得到等效作用力关系F a A0一仃 A 盯 A0一A 10 于是得到复合材料平均应力与各组分应力之问的关系一 1一 11 复合材料中基体和颗粒由于刚度不同 应力应 342 固体力学 学报xx年第31卷F图6单向拉伸截面示意图F ig 6S chem aticdi agram o f theu niaxia lten s ion cross sec tion变存在着差异 取为crp 8 存在下面的关系s 一8 s 12a O P一L l g 一L1 8 8 一L0 8 8p一8 12b 其中s为特征应变 由E shelby等效夹杂方法口得占一 为Eshelby张量 仅与夹杂的形状和 基体材料的泊松比有关 由 12 式可得fs 一 Lo L1 L o s3 s Js 一嚣 一 一L1 l L0 L0一L1 一Lo s3l J十sLo Ll L0 L 占一 Lo L1 s 占 13 根据散度定理 可得到平均应变与基体应变之间的关系 1一 8 8 一 1一L L1一 g 9 1一L L l L o 一 8将式 13 9 代入到平均应力关系式 11 中 可以得到平均应力与基体应变之间的关系一L g 0 1一会 LE I s L L一L s o 一 L 一 E LI s 8 J Js J十 J s 14 Lo L V 15 故可以得到考虑夹杂概率分布的复合材料刚度表达式L TP 16 其中T L 1一每 L Lo1一L P一 1一 J J L 1 L一 上式中 L0是基 体材料的四阶刚度张量 L一是增强粒子的四阶刚度张量 s是四阶E shelby张量 J是四阶单位张量 而其它的参量都是标量 是增强粒 子的体积含量 A A 即为式 8 中的A 3分析各参量对复合材料模量的影响为了方便讨论 假 设基体材料和夹杂均是各向同性材料 并且夹杂形状取为球形 其 中四阶张量均采用Walpole简化形式l Ij 有fL一 3k 2 L 一 3ko 2o L1一 3是1 2 Z1 弋s 17 其中k与氏模量E和泊松比分别为材料的球模量和剪切模量 与 杨存在关系 茄 18 意一再通过W alpole形式进行运算 可以判定四阶张 P也满足Walpole形式 设 定为r一 s P一 q 形式 则有L 一 其中量S 19 一A res 3走 一每 壶 a 去一1 A res 2 o 1一A res 1十I1 1 一 1一 1 1一f l f 1 a去 22叫 3kl 3 一达式为舌 12一手 等 20 为了方便讨论 将式 2O 化为无量纲形式第4期李伟等考虑粒子 分布特征的复合材料细观力学方法 343 f鱼一j是 l 二垒二 一 a kl 是 一 1 1一 卢 1 一1 21 一二 二lo其中垒一1一孳a x 声z Ao2J 一一训 2J J 二表1给出了文献 14 中混凝土基体和骨料的材料参数 根据 式 18 可以求得相应的k 1 k 根据式 17 可以求得d和 再通过式 19 2O 以及在前面中求出的A A 得到混凝土k和 l的分布 如图7所示 混凝土作为一种高体积含量 的颗粒增强复合材料 具有分形结构l1 分辨率越高 即越小时 其理论结果将逼近真实情况 表1M aterial param eter s ofth econcret e 混凝土材料参数 T abl e1图7混凝土体积模量和剪切模量的分形分布F ig 7T he bul km odul us an d shearm odu lus o f theco ncrete假设颗粒的形状和分布情况不变 并且基体的泊松比取 一0 2 分别考虑复合材料为硬夹杂 软基体 是 k 一2 图8 a 和软夹杂 硬基体 k k 0 4 图8 b 两种情况下 两相复合材料的刚度比值k k 与增强颗粒的体积分数夹杂与基体模量比k k 对k k 的影响 图8 c 由图8中可以看出 对于硬颗粒 软基体两相复合 材料 随着增强体体积分数的增多 复合材料的球模量逐渐增大 对于软颗粒 硬基体两相复合材料趋势则正好相反 但是两种情形 下 复合材料的的关系 以及一0 5 一0一0 2 一 一 a一0 f一 一q 8 一 m ax b k1 0 0 5 k1 k0 4 1 ko一2 k1 ko一1 d m c 一0 5图8夹杂与基体体积模量比k k 和体积分数T heef fects of the bulkmodulus ratiokl ko andthe volume fraction对k ko的影响F ig 8on k k0 344 固体力学学报xx年第31卷球模量随着分辨率的减小都 趋于基体球模量 而且夹杂与基体模量比是 是 越接近1 其趋近程度越大 越远离1时 其趋近降速越大 当f o一0或 k 一1时 复合材料退化为基体 4结论本文将分形统计思想和细观 力学等效思想相结合 利用等效作用力联系起来 得到一个能够考 虑粒子概率分布特征对复合材料等效模量影响的细观力学方法 文 中以混凝土为例 阐述了这种新的细观力学方法 分析了混凝土为 代表的颗粒增强复合材料的力学性能所呈现的分形特征尺寸特征 研究表明体积含量 夹杂和基体的模量比 夹杂的粒径分布情况等 都会对最终的复合材料力学性能有影响 这些原因的探究对于实现 复合材料的设计提供了依据 参考文献 1 Esbelby JD T hedetermination ofthe elasticfield ofan ellipsoidalinclusion andrelated problems J P roceedi ngs ofth eR oyal S ociety ofI ondon 1957 241A376 396 23I 3 E43 5 E6 M ori T T anak aK A verag e stress inm atrix an d av er ageela sti c energ yo fm aterial s w ith misfitti ngincl u sions EJ A ctaMetall 1973 21571 574 H ill R C on ti n uum mic ro m ech anic sofelas topl asticpolycrystals EJ Journal ofthe Mechanics and Physics ofS olid s 1965 1389 101 R oscoeR A T he viscosity ofsu spen sionso fr igid spheres J British J ournal ofA ppled Physics 1952 3267 269 杨庆生 复合材料细观结构力学与设计 M 北京中一国铁道 出版社 200017 25 Y angQ S M icrostruc tu ralM echan icsand Desi ngofC ompo site Mat erial s M Beij ingChina RailwayPublishing House 200017 25 in C h inese C arpin teriA C hiaia B In verniz ziS T hr ee d imen一 83E93sional fr actal analysis of concre te fracture at the meso level EJ T heoreticaland Applied Fracture Mechan ics 1999 31l63 172 C arpin teriA C hiaia B Co rti P O nth em echan icsof quasi br ittlemater ialswitha fractaImicrostruct ur e J Engineering Fracture Mechanics xx 70232卜2349 Car pin teriA C hiaia B C ort iP A meso scopic the o ryof damageandfracturein heterog eneous m ateri als J T heoreticaland Applied FractureMechanics xx 4143 5O K hezrzadehH M ofidM T ensilefracture behaviorof heterogeneousma terialsbased onfractal geometry J T heoreticaland Applied FractureMechanics xx 464656 1o 郭隽 郭成璧 高温疲劳表面 短裂纹酊分形研究EJ 固体力学学报 xx 23 3 173 176 Guo J Guo CB F ractalch aracterist icofsur facesho rtfa tigue cracksat elevatedtemperature J Acta MechanicaS olid aS inica xx 23 3 173 176 in Ch inese 11 高峰 谢和平 脆性材料的分形统计强度理论 J 固 体力学学报 1996 l7 3 239 245 Gao F X ieH P S tatistically fractal stren gthth eory for bri ttlemateri als rJ Acta MechanicaSolida Sinica 1996 17 3 239 245 inChine se 23Stroeven P Structural modellingof plainand fibrereinforced concreteI J Composites 1982129 139 Stroeven P A stereologicalapproach toroughness of 3 fra cture surfaces and tortuo sity oftran sport pathsin concrete J Cement andConcrete Composites 2000 22331 41 4 Grote DL Park SW Zhou M Dynamic behaviorofco ncre teat hig hst rainra tesa ndp ressuresI e xperi mental characterjzation J International Journal ofIm pactE ngin eerin g xx 25869 886 15 Walpole I On the overall elasticmoduli ofposite materials J JournaloftheMechanics andPhysics ofS olid s 1969 17235 251 第4期李伟等考虑粒子分布特征的复合材料细观力学方法 345 A Co MP oS I T EM ICR oM EC HA NI CS ME T H oD Co NS IDE RIN GTHE GR AI NS IZ EP Ro BA BI LITY DI ST RI BU TI oN Wei Li Weido ngSong Jiang uoN ing S tateK eyL aboratoryof Ex plosionS cienceand T echnology Beij ingInsti