储油罐的变位识别与罐容表标定

2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子 邮件 网上咨询等 与队外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关 的问题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 如果引用别人的成果或其他 公开的资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有违 反竞赛规则的行为 我们将受到严肃处理 我们参赛选择的题号是 从 A B C D 中选择一项填写 A 我们的参赛报名号为 如果赛区设置报名号的话 所属学校 请填写完整的全名 参赛队员 打印并签名 1 孟龙 2 XXX 3 XX 指导教师或指导教师组负责人 打印并签名 日期 年 月 日 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 赛区评阅记录 可供赛区评阅时使用 全国统一编号 由赛区组委会送交全国前编号 全国评阅编号 由全国组委会评阅前进行编号 1 储油罐的变位识别与罐容表标定储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐 并且一般都有与之配套的 油位计量管理系统 储油罐在使用一段时间后 由于地基变形等原因 使罐 体发生变位 现通过建立模型求解罐体油位高度与罐容表标定值之间的关系 本文针对涉及到的 3 个问题 进行了合理的解答 我们对问题一第 1 问使用了 高等数学中求定积分的方法求解 对问题一第 2 问借用第 1 问的解可类似的使 用定积分的方法求解 对第二问可使用分解求积的方法求解 对于问题一第 1 问我们使用高等数学中的定积分法首先建立了无变位模型 以小椭圆油罐的侧面为横截面 首先借助 MATLAB 软件寻找横截面积与油位S 高度之间的函数关系 h 然后对油罐的长度 进行积分从而得到油罐储油量和油位高度之间的函lVh 数关系 通过和无变位的实验数据通过百分误差进行判断 可以得出最终模型 为 2 1arcsin1 0349 2 hbhbhb Vabl bbb 对于问题一第 2 问我们仍然使用定积分的方法建立纵向变位模型 已知小 椭圆油罐侧面的横截面积与油位高度之间的关系 现分五种情况对油罐储 Sh 油量和油位高度之间的关系进行讨论 对模型进行合理的理论证明和推导 Vh 可得到大致的关系为 Vk S h dh 再通过 MATLAB 软件编程求得只有纵向变位的数学模型 并通过和实验数 据对比给出罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值 对于问题二我们将整个罐体分解为左侧球冠体 右侧球冠体以及中间部分 计算油罐储油量和油位高度之间的关系 在问题一的第 2 问建立的纵向变 Vh 位模型基础上我们再次分五种情况建立双变位模型 现通过枚举法求得最佳的 和 分别为 2 14 和 4 6 并通过求得的 和 与未变位情况进行对比 并寻找差值的规律 最后给出预测罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表 标定值 关键词 储油罐 罐体变位 罐容表 定积分 多重积分 MATLAB 2 目 录 第一部分 问题重述 3 第二部分 问题分析 3 第三部分 模型的假设 4 第四部分 定义与符号说明 4 第五部分 模型的建立与求解 5 1 问题 1 的模型 5 模型 I 无变位模型 5 模型 II 纵向变位模型 7 2 问题 2 的模型 11 模型 I 双变位模型 11 第六部分 对模型的评价 14 第七部分 参考文献 15 3 一 问题重述 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐 并且一般都有与之配套的 油位计量管理系统 采用流量计和油位计来测量进 出油量与罐内油位高度 等数据 通过预先标定的罐容表 即罐内油位高度与储油量的对应关系 进行 实时计算 以得到罐内油位高度和储油量的变化情况 许多储油罐在使用一段时间后 由于地基变形等原因 使罐体的位置会发 生纵向倾斜和横向偏转等变化 以下称为变位 从而导致罐容表发生改变 按 照有关规定 需要定期对罐容表进行重新标定 现提出下列问题 1 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响 利用简化的小椭圆型储油罐 两 端平头的椭圆柱体 分别对罐体无变位和倾斜角为 4 1 的纵向变位 两种情况做了实验 根据实验结果 建立数学模型研究罐体变位后对罐 容表的影响 并给出罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值 2 对于实际的储油罐 建立罐体变位后标定罐容表的数学模型 即罐内储 油量与油位高度及变位参数 纵向倾斜角度 和横向偏转角度 之间 的一般关系 利用罐体变位后在进 出油过程中的实际检测数据 根据所 建立的数学模型确定变位参数 并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值 进一步利用给出的实际检测数据来分析检验模型的正 确性与方法的可靠性 二 问题分析 一 问题一的分析 1 第 1 问属于使用多重积分求解体积函数的问题 解决此类问题需要首 先求得横截面积与函数坐标之间的关系 即小椭圆油罐的侧面积与油位高度 之间的函数关系 使用 MATLAB 软件积分可顺利求得 在此基础上对油罐的h 长度 再次进行积分 从而可以得到油罐储油量和油位高度之间的关系 通lVh 过计算推导得到的关系和实验数据之间的方差判断模型的可行性 2 第 2 问仍然属于使用定积分法求解体积函数的问题 但和第 1 问不同 的是需要考虑油罐的纵向变位角 利用第 1 问推导出的弓形面积公式 以油 罐的长为 z 轴建立坐标系 分 5 种情况讨论油罐储油量和油位高度之间的Vh 关系 再次通过计算推导得到的关系和实际数据之间的误差判断纵向变位模型 可行性 并给出罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值 二 问题二的分析 问题二属于使用分解法求积分的问题 解决此类问题可将需要求积的物体 分解为若干部分 此问题中我们将油罐分解为三部分 即中间的圆柱部分以及 两端的球冠体部分 其中中间的圆柱部分可使用问题一第 2 问的结果直接得到 两端的球冠体部分使用增补法转化为简化的规则模型 在此基础上将坐标系建 立在左侧球冠体与圆柱相接处 通过枚举法求得最佳的 和后再使用计算推 导出油罐储油量和油位高度之间的关系 并和实际数据进行百分误差的计 Vh 4 算验证模型的可行性 通过求得的模型给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值 利用所给数据做出油罐储油量的双变位理论值和未变位显V 示值 并以此判断差值的规律 三 模型假设 1 假设题目所给的数据真实可靠 2 假设小椭圆油罐形状规则 3 假设小椭圆油罐厚度可忽略不计 4 假设储油罐在罐空和罐满之间均可随意进出油 5 假设储油罐在发生变位后其形状不发生改变 6 假设储油罐发生两种变位的角度不超过 10 7 假设计算出的储油罐容积即为储油罐的储油量 四 定义与符号说明 小椭圆油罐侧面长半轴 a 小椭圆油罐侧面短半轴 b 油罐侧面横坐标 x 油罐侧面纵坐标 y 油罐显示油位高度 h 油罐长度 l 小椭圆油罐侧面弓形面积 S h 油罐储油量 V h 油罐的存储量 max V 油罐液面高度到油罐顶部距离 h 油罐等效油位高度 h 未横向偏转时油位高度 0 h 油罐侧面横截面半径 R 五 模型的建立与求解 5 第一部分 求解问题一 一 无变位模型 1 模型建立 根据问题一 1 的分析 首先需要求得小椭圆油罐的侧面积与油位高度 h 之间的函数关系 建立如图所示坐标系 现设椭圆的面积公式为 则弓形面积为 22 22 1 xy ab 22 2 h b b a S hby dy b 使用 MATLAB 求解可以得到弓形面积 现对油罐长度进行积分 即 2 45 0 V hS h dl 将得到的解与实验数据进行作图计算百分误差并对模型进行调整得到最终 结果 2 模型求解 首先通过 MATLAB 积分工具箱计算弓形面积 解出 22 2 h b b a S hby dy b 得到弓形面积为 2 1arcsin 2 hbhbhb Sab bbb 再对油罐长度进行积分可以得到油罐储油量和油位高度的函数为 Vh 2 1arcsin 2 hbhbhb Vabl bbb 通过 MATLAB 作图可以得到理论推导出的函数与实验采集数据拟合的较好 程序见附件一 途中可以发现在增大的过程中存在一定的误差值 因此可判定为油罐体厚 度等影响所致 6 现使用 MATLAB 编程计算推导数据和实验数据之间的百分误差 误差稳定 在 3 49 左右 因此在推导出的油罐储油量 V 和油位高度 h 的函数中除以 1 0349 得到最终的模型为 2 1arcsin1 0349 2 hbhbhb Vabl bbb 其中 a 0 89 b 0 6 l 2 45 以下给出小椭圆油罐罐容表的理论值和实际值 理论值 油位高 度 mm 储油量 L 油位高 度 mm 储油量 L 油位高 度 mm 储油量 L 油位高 度 mm 储油量 L 105 12310813 136102027 919103231 39 2014 43320850 226202070 039203267 25 3026 45330887 676302112 139303302 67 4040 62340925 476402154 29403337 63 5056 62350963 626502196 229503372 11 6074 243601002 086602238 189603406 08 7093 313701040 856702280 079703439 52 80113 713801079 926802321 889803472 42 90135 333901119 266902363 69903504 73 100158 084001158 867002405 210003536 45 110181 894101198 717102446 6910103567 54 120206 694201238 87202488 0510203597 98 130232 444301279 17302529 2610303627 72 140259 074401319 627402570 3210403656 74 150286 534501360 337502611 2110503685 01 160314 84601401 227602651 9210603712 47 170343 824701442 277702692 4310703739 1 180373 564801483 497802732 7410803764 84 1904044901524 857902772 8310903789 65 200435 095001566 348002812 6811003813 46 210466 85101607 948102852 2811103836 21 7 220499 125201649 668202891 6211203857 83 230532 025301691 468302930 6811303878 23 240565 465401733 368402969 4611403897 3 250599 435501775 328503007 9211503914 92 260633 915601817 348603046 0711603930 92 270668 875701859 48703083 8711703945 09 280704 295801901 518803121 3211803957 1 290740 155901943 638903158 4111903966 42 300776 446001985 779003195 112003971 54 实际值 油位高 度 mm 储油量 L 油位高 度 mm 储油量 L 油位高 度 mm 储油量 L 油位高 度 mm 储油量 L 159 02312438 121312677 632312892 823168 83 176 14362450 41362678 542315 83892 843168 91 192 59412462 621412690 532365 83906 533218 91 208 5462474 781462690 822367 06920 453268 91 223 93512486 891512702 852417 06934 613318 91 238 97562498 951562714 912467 06949 053368 91 253 66612510 971612727 032517 06963 83418 91 268 04662522 951662739 192567 06978 913468 91 282 16712534 91712751 422617 06994 433518 91 296 03762546 821762763 72666 981010 433568 91 309 69812558 721812764 162668 831026 993618 91 323 15862570 611862776 532718 831044 253668 91 336 44912582 481912788 992768 831062 373718 91 349 57962594 351962801 542818 831081 593768 91 362 561012606 222012814 192868 831102 333818 91 375 421062618 092062826 952918 831125 323868 91 388 161112629 962112839 832968 831152 363918 91 400 791162641 852162852 843018 831193 493968 91 413 321212653 7522128663068 83 425 761262665 672262879 323118 83 二 纵向变位模型 1 模型建立 已知小椭圆油罐侧面的弓形面积的计算方法 现在不同情况下通过弓形面积的计算公式找到储油 量和油位高度之间的函数关系 Vh 1 情况 1 如图一所示 当纵向变位后 储油量很小时 V 油位高度不可测量 则此时的储油量无法测量 V 图一 8 其中在 0 到一定的范围之间 则有 V 0 4 0 VSdx 其中 tan 0 4 2 0 21 x yb Sady b 2 情况 2 当 时 储油量的表达式如下 02 05tanh V 所示 示意图见图二 0 4 0 4 tan 2 tan 00 21 h hx yb Vdxady b 3 情况 3 当 时 储油量的 2 05tan1 20 4tanh V 表达式如下所示 示意图见图三 2 45 0 4 tan 2 00 21 hx yb Vdxady b 4 情况 4 当 时 储油量为整 1 20 4tan1 2h V 个小椭圆油罐体积减去上面空缺部分的体积 即 2 1 hbhb Vabl bb arcsin 2 hb b 0 4 0 4 tan 2 tan 00 21 h hx yb dxady b 其中 a 0 89 b 0 6 l 2 45 由 1 2 1 2 cot 2 05 1 2 cot hh hh 可推出 2 05tan1 2hh 因此等效的油位高度为 0 4tan1 65tan1 2hhh 5 情况 5 当时 因油面高度不可测量 因此储油量在一定值 1 2h V 到 之间 max V 图二 图三 图四 图五 9 2 模型求解 在已建立的模型基础上 我们使用 MATLAB 软件编程求解所列出的公式 程序见附录二 从而得到如下解 1 情况 1 经过计算可以得到 当油位高度较小不可测量时 储油量的范围是 V 1 6739VL 2 情况 2 由题意可知 此时取值为 将其带入公式 得到油位高度的范围是 4 1h 0146 9458mmh 现通过程序求得储油量的范围是 V 1 6739 157 7792LVL 3 情况 3 当时 即时 求 2 05tan1 20 4tanh 146 9458mmh 1171 3276mm 得储油量的范围是 V 13953 94257 77942 LLV 4 情况 4 当时 即时 求得储油量 1 20 4tan1 2h 1171 3276h 1200mmmm 的范围是 V 3953 94244012 700 0VLL 5 情况 5 当时 可以求得储油量的范围是 1 2h V 4012 7000 4110 1000VL 将模型求解所得到的值与实验测得数据使用 1 中的百分误差法可以求得 模型求解所得到的数据和实验测得数据误差不超过 5 因此可认为模型有效 通过 MATLAB 编程将纵向变位前后储油量和油位高度的关系曲线表现 Vh 在图像中 并求得两者差值最大为 195 5293L 由于变位后储油量具有一定值 V 时油位高度为 0 因此变位后储油量变小 hV 10 综上所述 现给出小椭圆油罐纵向变位后的罐容表的理论值 理论值 油位高 度 mm 储油量 L 油位高 度 mm 储油量 L 油位高 度 mm 储油量 L 油位高 度 mm 储油量 L 00 1 67 310629 94 6201884 44 9303188 74 103 53 320665 36 6301927 80 9403227 22 206 26 330701 29 6401971 20 9503265 30 309 97 340737 71 6502014 62 9603302 97 4014 75 350774 60 6602058 05 9703340 22 5020 69 360811 93 6702101 48 9803377 01 6027 85 370849 69 6802144 90 9903413 34 7036 31 380887 85 6902188 29 10003449 17 8046 13 390926 41 7002231 65 10103484 49 9057 38 400965 33 7102274 95 10203519 26 10070 11 4101004 61 7202318 19 10303553 48 11084 37 4201044 23 7302361 36 10403587 11 120100 23 4301084 16 7402404 44 10503620 12 130117 71 4401124 40 7502447 41 10603652 48 140136 88 4501164 93 7602490 28 10703684 17 150157 78 4601205 74 7702533 02 10803715 14 160180 21 4701246 80 7802575 62 10903745 36 170203 94 4801288 11 7902618 07 11003774 80 180228 84 4901329 64 8002660 36 11103803 40 190254 81 5001371 40 8102702 46 11203831 11 200281 77 5101413 35 8202744 38 11303857 88 210309 66 5201455 50 8302786 09 11403883 65 220338 43 5301497 82 8402827 58 11503908 32 230368 03 5401540 30 8502868 84 11603931 80 240398 40 5501582 93 8602909 85 11703953 94 250429 52 5601625 70 8702950 60 11803976 60 260461 34 5701668 59 8802991 08 11903995 50 11 270493 84 5801711 59 8903031 26 12004012 70 4110 10 280526 97 5901754 68 9003071 13 12004012 70 4110 10 290560 72 6001797 87 9103110 68 300595 05 6101841 12 9203149 89 第二部分 求解问题二 1 模型建立 首先考虑油罐未发生横向偏转的情况 即 我 0 们把油罐车分为主体的圆柱体和两端的球冠体三个部分 其中主体的圆柱体的计算方法可以利用上题中计算椭圆柱 的方法 现在不同情况下通过计算弓形面积的计算公式找 到储油量和油位高度之间的函数关系 程序见附录三 Vh 所建立的坐标系如图所示 图中仅作出球冠体 1 情况 1 如图一所示 当纵向变位后 储油量很小时 油位高度不可测 V 量 则此时的储油量无法测量 其中在 0 到一定的范围之间 则有 VV 2tan 2 2 00 21 x yR VdxRdy R 2 情况 2 当时 储油量的表达式如下所示 示意图见图二 06tanh V 2tan2 2 tan 2 tan 00 21 h hRhx R y VS dzdxRdy R 弓 3 情况 3 当时 储油量的表达式 622tantanhR V 如下所示 示意图见图三 2tan8 2 tan 2 00 dz 2R 1 R hRhx R y VSdxdy 弓 4 情况 4 当时 储油量为整个小椭 22tan2RRh V 圆油罐体积减去上面空缺部分的体积 即 6tan dz RhR RR VS dzS 弓弓 2 2 2 tan 22 tan 00 8 1arcsin 21 2 h hx hRhRhRy RdxRdy RRRR 其中 R 1 5 l 8 由 正视图 左视图 12 3 3 cot 6 3 cot hh hh 可推出 6tan3hh 因此等效的油位高度为 2tan4tan3hhh 5 情况 5 当达到 3 时 因油面高度已经达到油位的最大高度 但是此时油罐并未 h 满 因此储油量在 即情况 4 中取 2R 时 的值 到之 V63785 06VL hVmax V 间 下面开始考虑有横向偏转的情况 1 当时 0 coshRR 0h 2 当时 0 coshRR 2hR 3 当时 0 coscosRRhRR 0 coshRhR 2 模型求解 通过分别对和赋值对比可知 只 6tan cosRR 有当 超过 10 时才有可能出现其他情况 由假 设可排除这种可能 现通过 1 10 以步长为 0 1 进 行枚举 发现当分别为 2 1 和 4 6 通过已经求得的的值 我们用已经得到的模 型进行求解 当时 所能到得最大值为 0h 0 h 此时的满足上述的情况 2 故 此时的油 0 cos0 0048hRR 0 h 量为 55 77L 当时 此时的满足上述情 10hcm 0 1 5 0 1 1 5 cos4 60 1045h 0 h 况 2 故 此时的油量为 343 61L 当时 此时的满足上述情 20hcm 0 1 5 0 2 1 5 cos4 60 2042h 0 h 俯视图 立体示意图 13 况 2 故 此时的油量为 947 22L 经过计算 当时 通过计算得到的 30290cmhcm 0 coshRhR 满足上述情况 3 0 h 当时 此时的满足上述情 300hcm 0 1 5 3 1 5 cos4 62 9952h 0 h 况 4 故 此时的油量为 63785 06L 通过模型所得到的数据与实际进出油量的数据进行对比 使用问题一第 1 问中的百分误差法可以求得模型求解所得到的数据和实验测得数据误差不超过 5 因此可认为模型有效 相应的油位高度间隔为 10cm 的油