钟表上的追及问题

20 2432902008Y7664X000 请问 X Y 多谢回复 解 5 10 15 20 2 30000 X 0 此数能被 99 整除 2 43 29 02 8Y 76 64 是 99 的倍数 Y 1 钟表上的追及问题钟表上的追及问题 一个 n n 2 位正整数 M 中的相邻的一个 两个 n 1 个数码组成的数叫的片段数 新课标提倡 数学走进生活 教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题 例如 在 3 点和 4 点之间的 哪个时刻 钟表的时针与分针 1 重合 2 成平角 3 成直角 许多同学面对此题 束手无策 不知 如何解决 实际上 因为分针旋转的速度快 时针旋转的速度慢 而旋转的方向却是一致的 因此上面这类问题 也可看做追及问题 通常有以下两种解法 一一 格数法格数法 钟表面的外周长被分为 60 个 分格 时针 1 小时走 5 个分格 所以时针一分钟转分格 分针一分钟转 1 12 1 个分格 因此可以利用时针与分针旋转的 分格 数来解决这个问题 解析 1 设 3 点 x 分时 时针与分针重合 则分针走 x 个分格 时针走个分格 因为在 3 点这一时刻 x 12 时针在分针前 15 分格处 所以当分针与时针在 3 点与 4 点之间重合时 分针比时针多走 15 个分格 于是得方程 解得 x x 12 15x 16 4 11 所以 3 点 16分时 时针与分针重合 4 11 2 设 3 点 x 分时 时针与分针成平角 因为在 3 点这一时刻 时针在分针前 15 分格处 而在 3 点到 4 点 之间 时针与分针成一平角时 分针在时针前 30 分格处 此时分针比时针多走了 45 分格 于是得方程 解得 x x 12 45x 49 1 11 所以 3 点分时 时针与分针成平角 49 1 11 3 设 3 点 x 分时 时针与分针成直角 此时分针在时针前 15 分格处 所以在 3 点到 4 点之间 时针与分 针成直角时 分针比时针多走了 30 分格 于是得方程 解得 x x 12 30 x 32 8 11 所以 3 点分时 时针与分针成直角 32 8 11 二二 度数法度数法 对钟表而言 时针 12 小时旋转一圈 分针 1 小时旋转一圈 转过的角度都是 360 所以时针 1 分钟转过 的角度是 0 5 分针 1 分钟转过的角度是 6 故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题 解析 1 设 3 点 x 分时 时针与分针重合 则时针旋转的角度是 0 5x 分针旋转的角度是 6x 整 3 点时 时针与分针的夹角是 90 当两针重合时 分针比时针多转了 90 于是得方程 解得60590 xx x 16 4 11 2 设 3 点 x 分时 时针与分针成平角 此时分针比时针多转了 90 180 270 于是得方程 解得 605270 xx x 49 1 11 3 设 3 点 x 分时 时针与分针成直角 此时分针比时针多转了 于是得方程9090180 解得 605180 xx x 32 8 11 练一练练一练 1 钟表上 9 点到 10 点之间 什么时刻时针与分针重合 2 钟表上 5 点到 6 点之间 什么时刻时针与分针互相垂直 3 钟表上 3 点到 4 点之间 什么时刻时针与分针成 40 的角 4 钟表上 2 点到 3 点之间 什么时刻时针与分针成一直线 参考答案 1 9 点 49分 2 5 点 43或 5 点 10分 1 11 7 11 10 11 3 3 点 9分或 3 点 23分 4 2 点 43分 1 11 7 11 7 11 比较分数大小的若干方法与技巧比较分数大小的若干方法与技巧 比较分数大小问题是初中数学竞赛的一类常见问题 现介绍几种常用解法 以供同学们学习参考 一 巧加数字一 巧加数字 例例 1 1992 年第九届 缙云杯 初中数学邀请赛试题 把四个分数从小到大排列是 1991 1992 91 92 1992 1993 92 93 解 解 将每个分数都加上 1 可得 1991 1992 1 1 1992 91 92 1 1 92 1992 1993 1 1 1993 92 93 1 1 93 所以 1 1993 1 1992 1 93 1 92 所以 1992 1993 1991 1992 92 93 91 92 二 巧减数字二 巧减数字 例例 2 1996 年第七届 希望杯 全国数学邀请赛初二试题 设 则下列不等式关系中成立的是 abcd 19961995 1995 19951996 1996 19951996 1995 19961995 1996 A a b c dB c a d b C d b c aD a c d b 解 解 设每个分数都减去 1 可得 ab 1 19960000 1995 1 19950000 1996 cd 1 19950001 1995 1 19959999 1996 显然 a c d b 故选 D 三 巧乘数字三 巧乘数字 例例 3 1995 年第六届 希望杯 全国数学邀请赛初二培训题 设 则 a b 的大小有 ab 1994 1995 1993 1994 A a bB ab 故应选 A 四 巧除数字四 巧除数字 例例 4 1997 年 中小学数学 北京 数学奥林匹克初一综合练习题 若 则 abc 19951995 19961996 19961996 19971997 19971997 19981998 A a b cB b c a C c b aD a cB CB C B A C B A CD B C A 解 解 因为 A B 1999 2000 1 2 2 所以 同理可求得AB BC 所以 故选 BCBA 八 巧代换法八 巧代换法 例例 8 江苏省泰州市初中数学竞赛试题 已知 比较 A B 的大小 AB 1997 1998 1996 1997 1996 1997 1995 1996 解 解 设 则1997 a A a a a aa a 1 11 1 B a a a aa a 12 1 1 1 因为a aa a 110 所以 A B 一元一次不等式解题技巧大放送一元一次不等式解题技巧大放送 解一元一次不等式 教材中介绍的是基本方法 但题目千变万化 遇到每一个题目要善于观察所给不等式的 特点 结合其他知识 灵活巧妙地变通解题步骤 才可收到事半功倍的效果 1 巧去括号 巧去括号 例例 1 解不等式1x 2 3 8 4 1 x 2 1 3 4 4 3 分析 因为 所以先去中括号比先去小括号简便 1 3 4 4 3 解 先去中括号 得1x 2 3 6 4 1 x 2 1 两边同时减去 得 1x 2 1 4 1 7x 2 巧添括号 巧添括号 例例 2 解不等式 17 17x 4 1 51 17x 3 1 x3 2 1 x 分析 不等式两边都有 x 17 因此我们不是去括号 而是添括号 将各项整理出 x 17 解 原不等式可化为 0 17x 4 1 17x 3 1 17x 3 2 1 17x 即0 17x 4 1 17x 3 8 2 1 17x 17x017x0 17x 4 1 3 4 1 3 巧用分式基本性质 巧用分式基本性质 例例 3 解不等式 1 0 2 4x 5 0 5 1x2 2 0 6 0 x3 分析 直接去分母较繁 若先用分式的基本性质 可以使化小数为整数和去分母一次到位 解 由分式的基本性质 得 1 010 2 4x 10 5 02 5 1x2 2 2 05 6 0 x3 5 即42x103x43x15 2x42x21 4 巧化分母为 巧化分母为 1 例例 4 解不等式5 7 02 0 x202 0 5 6 01 0 x64 分析 此题按常规应先利用分数的基本性质将不等式中的小数化为整数 然后按步骤求解 但我们发现 巧妙地去掉分母 从而简化了解题过程 x1001 02 0 x202 0 x64 100 01 0 x64 15 65 7 解 原式可化为 5 7x10015 6 x64 100 移项合并 得 即 400500 5 4 x 5 巧凑整 巧凑整 例例 5 解不等式 9 x37 45 13x9 5 3x4 3 2x2 分析 观察各项未知数的系数和常数项 注意到 因此把各项拆开2 9 3 45 9 5 4 3 2 1 9 7 45 13 5 3 3 2 移项凑整 比直接去分母简便 解 原不等式可化为 x 3 1 9 7 45 13 x 5 1 5 3 x 5 4 3 2 x 3 2 移项合并 得 所以 1x2 2 1 x 6 巧组合 巧组合 例例 6 解不等式 9 3x2 4 3x 8 5x 3 5x 分析 注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数 3 左边的第二项和右边的第一项的分母有公 约数 4 移项局部通分化简 可简化解题过程 解 移项通分 得 8 5x6x2 9 3x215x3 化简 得 8 11x 9 18x 去分母 得 解得 99x9144x8 45x 7 巧变形 巧变形 例例 7 解不等式 3x 4 1 3 2x 3 1 1x 2 1 解 原不等式可化为 01 4 3x 1 3 2x 1 2 1x 即0 4 1x 3 1x 2 1x 0 1x 4 1 3 1 2 1 0 4 1 3 1 2 1 即 01x 1x 的运算技巧的运算技巧 在初中数学竞赛的有理数运算中 经常碰到含省略号 的有理数计算问题 不少同学对这种题型的计 算感到无所适从 本文说明 可通过观察寻找规律 问题即迎刃而解 下面举例说明 1 分组结合分组结合 例例 1 计算 12345678920042005 解 原式 1234562002200320042005 3620012005 66732001 2 2005 670339 2 化积约分化积约分 例例 2 计算 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 19 1 1 20 22222 解 原式 3 2 8 3 15 4 360 19 399 20 2222 1 2 3 2 2 3 4 3 18 19 20 19 19 20 21 20 1 2 21 20 21 40 另解 由 知abab ab 22 1 1 1 1 1 1 2 nnn 所以 原式 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 19 1 1 20 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 19 1 1 20 3 2 4 3 5 4 20 19 21 20 1 2 2 3 3 4 18 19 19 20 21 2 1 20 21 40 3 用奇偶性用奇偶性 例例 3 计算 12 3420052006 解 原式 111 1003 1 1 1003 例例 4 计算 1111 232004 解 原式 111111 0 4 去绝对值相消去绝对值相消 例例 5 计算 1 2 1 1 3 1 2 1 2006 1 2005 解 原式 1 1 2 1 2 1 3 1 2005 1 2006 1 1 2006 2005 2006 5 裂项相消裂项相消 例例 6 计算 1 12 1 23 1 34 1 20052006 解 原式 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 2005 1 2006 1 1 2006 2005 2006 6 逆序相加逆序相加 例例 7 计算 1232006 解 设S 12320061 则S 20062005200412 由 1 2 得 220072007200720072006 2006 S 故S 2013021 例例 8 计算 1 2 1 4 3 4 1 6 3 6 5 6 1 2006 3 2006 2005 2006 解 设 1 S 1 2 1 4 3 4 1 6 3 6 5 6 1 2006 3 2006 2005 2006 则有 2 S 1 2 3 4 1 4 5 6 3 6 1 6 2005 2006 2003 2006 1 2006 由 1 2 得 21231003 10031004 2 S 所以S 251753 7 错位相减错位相减 例例 9 计算 2222 232006 解 设 1 S 2222 232006 则有 2 22222 2320062007 S 由 2 1 得222 2007 SS 即S 22 2007 8 整体换元整体换元 例 10 计算 1 1 2 1 3 1 2005 1 2 1 3 1 4 1 2006 1 1 2 1 3 1 2006 1 2 1 3 1 4 1 2005 解 设A 1 1 2 1 3 1 2005 B 1 2 1 3 1 4 1 2005 则原式 A BAB 1 2006 1 2006 AB A AB B AB 20062006 2006 1 1 2 1 3 1 2005 1 2 1 3 1 4 1 2005 2006 1 2006 9 逐级降次逐级降次 例 11 计算 22222 2320052006 解 原式 22222 2006200520042 221222 22 6 200520042 2 10 用运算律用运算律 例 12 已知 那么 502 123 1 6 1 21 2222 nn nn 246 222 解 原式 122223225 2222 21225 4 1 6 25251 2251 22100 2222 11 公式运用公式运用 例 13 计算 123420052006 222222 解 原式 12 1234 3420052006 20052006 37114011 340111033 2 2013021 12 凑整求和凑整求和 例 14 计算 192993999499998999999999999999999 解 原式 201300140001500001100000000001 10000000000900000000800000007000000209 109876543209 10987654311 练习 1 计算 123456782005200620072008 2 计算 1 12 1 23 1 34 1 99100 3 计算 1 1995 2 1995 3 1995 3989 1995 答案 1 2 3 3989 2008 99 100 乘法公式的用法乘法公式的用法 本文向同学们介绍乘法公式的一些常见用法 一 套用一 套用 这是最初的公式运用阶段 在这个环节中 应弄清乘法公式的来龙去脉 准确地掌握其特征 为辨认和运用 公式打下基础 同时能提高学生的观察能力 例例 1 计算 5353 2222 xyxy 解 原式 53259 2 2 2 2 44 xyxy 二 连用二 连用 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题 例例 2 计算 1111 24 a aaa 解 原式 111 224 aaa 11 1 44 8 aa a 例例 3 计算 32513251xyzxyz 解 原式 25312531yzxyzx 2531 492