概率统计总复习

第一章 随机事件及其概率 一 事件的关系与运算 ABABAAB ABAB ABAB 二 概率的统计定义 古典概型概率的性质 频率 N k p Ap N 古典概型的特征 1 有限性 2 等可能性 概率的性质 1 0 1P A 2 反之不成立 1P 0P 3 特殊情况是什么 P ABP AP BP AB 1P AAP AP A 1 P AP A 4 有什么特例 P ABP AP AB 三 条件概率 乘法公式 事件的独立性 P AB P A B P B P AB P B A P A P ABP A P B AP B P A B P ABCP A P B A P C AB 若与互相不产生影响 则称与相互独立 ABAB 与独立 条件概率等于无条件概率 AB P ABP A P B 三个事件独立的公式 个事件独立的公式n 独立的条件下 1212 nn P A AAP A P AP A 1212 nn P A AAP A P AP A 1212 12 1 1 nn n P AAAP A AA P A P AP A 独立试验序列概型 称为贝努里公式 1 kkn k n C pp 0 1 2 kn 四 全概率公式与贝叶斯公式 是完备事件组 且均有正概率 则对任一事件 有 12 n B BBA 全概率公式 1 n ii i P AP B P A B 贝叶斯公式 又称为逆概公式 1 jj jn ii i P B P A B P BA P B P A B 第二章 随机变量及其概率分布 一 随机变量 离散型 连续型 非离散型 非连续型 分布函数 的性质 F xP Xx 1 0 1 2 0 1 4 F x F xx FF F xx 是得单调不减函数 3 关于右连续 二 离散型随机变量 如果随机变量的所有可能取值为有限个或至多可列个 则称为离散型随机变量 常X 见的离散型随机变量有 1 2 01 iiii P Xxp ipp k k xx F xp 0 1 分布 1 Xbp E Xp 1 1 4 Var Xpp 二项分布 Xb n p 1 xxn x n P XxC pp 0 1 2 xn E Xnp Var Xnpq Poission 分布 XP x P Xxe x 0 1 2 x E X Var X 当充分大 又很小时 二项分布以 Poission 分布为极限np 1 xxn x n P XxC pp x np np e x 0 1 2 x 三 连续型随机变量 1 2 Xp x 0p x 1p x dx x F xp t dt p xF x XU a b 1 0 axb p xba 其它 0 1 xa xa F xaxb ba 其它 2 ab E X 2 12 ba Var X XExp 00 x ex p x x 01 00 x ex F x x 0 1 E X 2 1 Var X 2 XN 2 2 2 1 2 x p xe x E X 2 Var X 0 1 XN 2 2 1 2 x p xe 2 2 1 2 t x xedt 满足 或 1xx 1 xx 那么 2 XN X Y 0 1 N a XG 1 00 x xex p x x 0 E X 2 Var X e XB a b 11 1 01 0 b ab xxx bp x 其它 a E X ab 四 随机变量的函数的分布 是随机变量 是随机变量的函数 它的分布称为随机变量函数的分布 X Yg X 离散型比较容易 连续型主要掌握分布函数法 特别是 是某个连续型随机变量的分布函数 一定服从 0 1 上的均 F X YF X 匀分布 非常重要 五 随机变量的数字特征 kk k x p E X xp x dx 2 2 2 kk k x p E X x p x dx 数学期望 E X 方差 或 标准差或 Var X D X X X 原点矩 k k E X 中心矩 k k vE XEX 变异系数 2 1 v vVar X C EX 偏度 3 3 1 3 23 2 2 vE XEX vVar X 峰度 4 4 2 22 2 33 vE XEX vVar X 中位数 分位数 以上数字特征的概率意义 Chebyshev 不等式 2 Var X P XEX 2 1 Var X P XEX 第三章 多维随机变量 一 联合分布 边缘分布与独立性 1 2 2 1 2 1 jipyYxXP ijji 0 ij p1 ij ij p 1 2 iij j ppi A 1 2 jij i ppj A 与相互独立对所有都成立XY 1 2 ijij pppi j AA A i j 分布函数 yYxXPyxF xFYxXPxXPxFX yFyYXPyYPyFY 与相互独立对所有都成立 XY yFxFyxF YX x y 联合密度函数 1 2 p x y 0p x y 1p x y dxdy xy F x yp u v dudv 2 F x y p x y x y X pxf x y dy Y pyf x y dx 与相互独立 对所有都成立 XY p x y X pxA Y py x y 多项分布 二维均匀分布 它们的边缘分布 独立性 222 a bc d xyr 上的均匀分布 上的均匀分布 二维正态分布 22 1212 X YN 221122 2 1122 1 2 2 1 2 12 1 21 xxyy p x ye 2 1 2 1 2 1 1 2 x X pxe 2 11 XN 1 E X 2 1 Var X 2 2 2 2 2 2 1 2 x Y pye 2 22 NY 2 E Y 2 2 Var Y 12 Cov X Y XY 二 随机向量函数的分布 最大值与最小值的分布 独立同分布 分布函数为 密度函数 12 n XXX X Fx 为 求 的分布 X px 12 max n XXX 12 min n XXX 令 Y 12 max n XXXZ 12 min n XXX n YX FyFy 1 1 n ZX FzFz 1 n YXX pyn Fypy 1 1 n ZXX pznFzpz 用在具体分布之上 特别是之上 应该如何处理 0 1 U 卷积公式 且相互独立 则 1 XP 2 YP X Y 12 XYP 且相互独立 则 Xb m p Yb n p X Y XYb mn p 且相互独立 则 X Xpx Y Ypy X Y 卷积公式 Z ZXYpz XY XY px pzx dx pzy py dy 且相互独立 则 2 11 XN 2 22 NY X Y 22 1212 XYN 三 多维随机变量的特征数 E X 2 E X E Y 2 E Y E XY ijij ij g x yp E g X Y g x y p x y dxdy 协方差 Cov X YE XYE X E Y 相关系数 相关系数的概率意义 XY Cov X Y Corr X Y D XD Y 2 D XYD XD YCov X Y 几个等价的关系式 0Var XYVar XVar YCov X Y 与不相关 E XYE X E Y 0 XY XY 四 中心极限定理 1 独立同分布 当充分大时 12 n XXX 2 1 2 kDXEX kk n 1 n k k X 2 nnN n nX n k k 1 1 0 N 2 当充分大时 那么X pnBn30n X npqnpN npq npX 1 0 N 应用中心极限定理的关键是构造独立和 第四章 统计量及其分布 一 总体 样本 统计量 研究对象的全体称为总体 总体就是一个随机变量 X 是取自总体的样本 它满足两个条件 相互独立 12 n XXXX 12 n XXX 均与具有相同的分布 12 n XXXX 样本的联合分布与经验分布函数 统计量是样本的函数 它不含任何未知参数 12 n TT XXX 常见的统计量 样本均值 1 1 n i i XX n 样本方差 22 1 1 1 n i i SXX n 样本标准差 2 1 1 1 n i i SXX n 样本的阶原点矩 k 1 1 n k ki i AX n 样本的阶中心矩 k 1 1 n k ki i BXX n 次序统计量 1 X 12 min n XXX m X 12 max n XXX 样本极差 1 n RXX 样本中位数 1 2 1 22 1 2 n d nn Xn m XXn 为奇数 为偶数 上 下四分位数 1 Q 3 Q 之间的关系 箱线图 1 X 1 Q 3 Q d m n X 二 统计学中的几个重要的分布及其构造 1 正态分布与标准正态分布 2 N 1 0 N 独立同分布 大样本 12 n XXX30n 1 n k k X 2 nnN 2 分布 2 若相互独立 且均服从标准正态分布 则 12 n XXX 1 0 N 服从自由度为的分布 222 12 n XXXX n 2 特例 且相互独立 那么服从自由度为 2 X 1 0 N Y 1 0 N X Y 22 XY 的分布 也就是的指数分布 2 2 2 1 2 3 分布t 且相互独立 则 X 1 0 N 2 Yn X Y X tt n Y n 4 分布F 且相互独立 则 2 Xn 2 Ym X Y X n FF n m Y m 1 F m n F 三 抽样分布 正态总体的抽样分布 是来自正态总体的样本 分别为样本均值与样本方 12 n XXX 2 N X 2 S 差 则 2 XN n 0 1 X N n 1 X t n sn 2 2 2 1 1 nS n 是来自正态总体的样本 分别为样本均值与样本方 12 n XXX 2 11 XN X 2 1 S 差 是来自正态总体的样本 分别为样本均值与样本方差 12 m Y YY 2 22 YN Y 2 2 S 则 22 12 12 XYN nm 12 22 12 0 1 XY N nm 12 2 11 w XY t nm S nm 22 12 1 1 2 w nSmS S nm 22 11 22 22 1 1 S FF nm S 第五章 参数估计 估计量 估计值 点估计 区间估计 一 点估计的方法与评价估计量的标准 1 矩估计 用样本矩代替总体矩 用样本矩的函数代替总体矩的同一个函数 从而达 到对总体参数估计的目的 这种方法称为矩估计法 的矩估计为 的矩估计为 E XX Var X 22 1 1 n ni i SXX n 2 极大似然估计法 1 似然函数 取对数 构造对数似然方程并求解 1212 nm L x xx ln L 得出极大似然估计 1 2 ln 0 ln 0 ln 0 m L L L 12 m 2 不能通过求导得出的极大似然估计的方法 3 估计量的评价标准 无偏性 有效性 相合性 均方误差最小 样本均值是总体均值的无偏估计量 XEX E XE X Var X Var X n 样本方差是总体方差的无偏估计量 2 S Var X 2 E SVar X 这些性能都是特别好的 二 区间估计 区间估计的基本概念 置信区间 置信上 下限 置信度 置信区间的概率意义 枢 轴量 在什么条件下 求正态总体参数的估计 重要的是选择枢轴量 1 正态总体 X 2 N 1 方差已知的条件下 的置信区间为 2 1 1 2 Xu n 2 方差未知的条件下 的置信区间为 2 1 1 2 1 s Xtn n 3 均值未知的条件下 的置信区间为 2 1 22 22 1 2 2 1 1 1 1 nSnS nn 2 两个正态总体 2 11 XN 2 22 YN 1 方差 已知的条件下 的置信区间为 2 1 2 2 12 1 22 12 1 2 XYu nm 2 方差 未知但相等的条件下 的置信区间为 2 1 2 2 12 1 1 2 11 2 w XYtnmS nm 22 12 1 1 2 w nSmS S nm 3 均值未知的条件下 的置信区间为 12 2 1 2 2 1 22 11 22 21 22 2 22 11 1 2 22 21 22 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 SS SFnmSFnm SS Fmn SFnmS AA A 3 单侧置信区间要注意区分 4 比率的区间估计 大样本场合下近似置信区间p 2 1 2 anu 2 1 2 2 bnXu 2 cnX 2 4 2 L bbac p a 2 4 2 U bbac p a 的置信水平为的置信区间为 p1 LU pp 第六章 假设检验 一 假设检验的基本原理与步骤 小概率原理 原假设与备择假设 检验统计量 显著性水平 拒绝域 两类错误 1 提出原假设与备择假设 2 选择检验统计量 类似于区间估计中的枢轴量 并提出当原假设成立的条件下 检验 统计量所服从的分布 3 根据给定的显著性水平 确定拒绝域 4 将样本数据代入统计量的值 作出结论 二 正态总体参数的假设检验 1 检验 1 单总体 检验均值 方差已知U 2 两总体 检验均值 方差已知 2 检验 1 单总体 检验均值 方差未知t 2 两总体 检验均值 方差未知但相等 具有方差齐性 3 检验 单总体 检验方差 一般来说均值未知 2 4 检验 两总体 检验方差 一般来说均值未知 其中包括单边检F 验和双边检验 5 初步了解比率的检验 大样本条件下 三 假设检验的值p 假设检验的值是以样本观测值为边界设定拒绝域 单侧或双侧要根据假设 检验p 统计量在拒绝域内取值的概率 四 拟合优度检验 非参数检验 2 总体为离散型的包括不含未知参数和含有未知参数两种 总体为连续性的 带有未知参数的 列联表的独立性检验 第七章 方差分析与回归分析 一 单因子方差分析 方差分析是用来检验多个正态总体在具有方差齐性的条件下 均值是否全部相等的一 种方法 统计模型 2 1 2 1 2 0 ijiiji ij yir jm N 各相互独立 且均值服从正态分布 不全相等 012112 rr HH 1 2 1 2 1 2 0 0 ijiiji r ii i ijij yair jm ma N 数据结构式 效应约束条件 且各相互独立误差的假定 不全为 0 012 0 r Haaa 112 r Ha aa 2 11 i m r Tij ij Syy 2 11 i m r ijii ij y