二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题).doc

二次函数的存在性问题 相似三角形 1 已知抛物线的顶点为 A 2 1 且经过原点 O 与 x 轴的另一交点为 B 1 求抛物线的解析式 2 若点 C 在抛物线的对称轴上 点 D 在抛物线上 且以 O C D B 四点为顶点的四边形为平行四 边形 求 D 点的坐标 3 连接 OA AB 如图 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P 使得 OBP 与 OAB 相似 若存 在 求出 P 点的坐标 若不存在 说明理由 2 设抛物线与 x 轴交于两个不同的点 A 一 1 0 B m 0 与 y 轴交于点 C 且 2 2yaxbx A A BBOO xx yy 图 图 x y F 2 4 6 A C E P D B 521 2 4 6 G ACB 90 1 求 m 的值和抛物线的解析式 2 已知点 D 1 n 在抛物线上 过点 A 的直线交抛物线于另1yx 一点 E 若点 P 在 x 轴上 以点 P B D 为顶点的三角形与 AEB 相似 求点 P 的坐标 3 在 2 的条 件下 BDP 的外接圆半径等于 解 1 令 x 0 得 y 2 C 0 一 2 ACB 90 CO AB AOC COB OA OB OC2 OB m 4 22 2 4 1 OC OA 3 已知抛物线经过点 A 5 0 B 6 6 和原点 1 求抛物线的函数关系式 2 yaxbxc 2 若过点B 的直线与抛物线相交于点C 2 m 请求出OBC 的面积S 的值 ykx b 3 过点 C 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 D 在抛物线对称轴右侧位于直线 DC 下方的抛物线上 任 取一点 P 过点 P 作直线 PF 平行于 y 轴交 x 轴于点 F 交直线 DC 于点 E 直线 PF 与直线 DC 及两坐标 轴围成矩形 OFED 如图 是否存在点 P 使得OCD 与CPE 相似 若存在 求出点 P 的坐标 若 不存在 请说明理由 D x y NOM P A C B 2 H 解 1 由题意得 解得故抛物线的函数关系式为 2550 3660 0 abc abc c 1 5 0 a b c 2 5yxx 2 在抛物线上 点坐标为 2 6 C 在直线C 2 25 2 6mm C B 上ykx b 解得直线 BC 的解析式为 62 66 kb kb 3 12k b 312yx 设 BC 与 x 轴交于点 G 则 G 的坐标为 4 0 11 4 64624 22 OBC S A 3 存在 P 使得 设 P 故OCDACPEA m n90ODCE 2 6CEmEPn 若要 则要或 即或OCDACPEA ODDC CEEP ODDC EPCE 62 26mn 62 62nm 解得或203mn 123nm 又在抛物线上 或 m n 2 203 5 mn nmm 2 123 5 nm nmm 解得或 故 P 点坐标为和 1 2 2 1 10 2 3 650 9 m m n n 12 12 26 66 mm nn 10 50 39 6 6 4 如图 抛物线与轴的交点为 直线与轴交于 与 1 5 ya xx xMN ykxb x 2 0 P 轴交于 若两点在直线上 且 为线段的中yCAB ykxb 2AOBO AOBO DMN 点 为斜边上的高 OHRtOPC 1 的长度等于 OHk b 2 是否存在实数 使得抛物线上有一点 满足a 1 5 ya xx E 以为顶点的三角形与相似 若不存在 说明理由 DNE AOB 若存在 求所有符合条件的抛物线的解析式 同时探索所求得的抛物线上 是否还有符合条件的点 简要说明理由 并进一步探索对符合条件的E 每一个点 直线与直线的交点是否总满足ENEABG 写出探索过程 10 2PB PG A 解 1 2 设存在实数 使抛物线上有一点 1OH 3 3 k 2 3 3 b a 1 5 ya xx E y x O A B 满足以为顶点的三角形与等腰直角相似 以为顶点的三角形为等腰直角DNE AOB DNE 三角形 且这样的三角形最多只有两类 一类是以为直角边的等腰直角三角形 另一类是以为斜边的等腰直角三角形 DNDN 若为等腰直角三角形的直角边 则 由抛物线得 DNEDDN 1 5 ya xx 10 M 的坐标为 把代入抛物线解析式 5 0 N 2 0 D 3EDDN E 2 3 2 3 E 得 1 3 a 抛物线解析式为 即 1 1 5 3 yxx 2 145 333 yxx 若为等腰直角三角形的斜边 则 DNDEEN DEEN 的坐标为 把代入抛物线解析式 得 E 3 51 5 3 51 5 E 2 9 a 抛物线解析式为 即 2 1 5 9 yxx 2 2810 999 yxx 当时 在抛物线上存在一点满足条件 如果此抛物线上还有满足条件 1 3 a 2 145 333 yxx 2 3 E 的点 不妨设为点 那么只有可能是以为斜边的等腰直角三角形 由此得 E E DE N DN 3 51 5 E 显然不在抛物线上 故抛物线上没有符合条件的其他的 E 2 145 333 yxx 2 145 333 yxx 点 E 当时 同理可得抛物线上没有符合条件的其他的点 2 9 a 2 2810 999 yxx E 当的坐标为 对应的抛物线解析式为时 和都是等腰直E 2 3 2 145 333 yxx EDN ABO 角三角形 又 45GNPPBO NPGBPO NPGBPO PGPN POPB 总满足 当的坐标为 对应的抛物线2 714PB PGPO PN AA 10 2PB PG AE 3 51 5 解析式为时 同理可证得 总满足 2 2810 999 yxx 2 714PB PGPO PN AA 10 2PB PG A 5 如图 抛物线的顶点为 A 2 1 且经过原点 O 与 x 轴的另一个交点为 B 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线上求点 M 使 MOB 的面积是 AOB 面积的 3 倍 3 连结 OA AB 在 x 轴下方的抛 物线上是否存在点 N 使 OBN 与 OAB 相似 若存在 求出 N 点的坐标 若不存在 说明理由 解 1 由题意可设抛物线的解析式为1 2 2 xay 抛物线过原点 01 20 2 a 4 1 a 抛物线的解析式为 即 1 2 4 1 2 xyxxy 2 4 1 2 AOB 与 MOB 同底不等高 又 S MOB 3 S AOB MOB 的高是 AOB 高的 3 倍 即点 M 的 纵坐标是3 解得 xx 2 4 1 30124 2 xx6 1 x2 2 x 36 1 M 32 2 M 3 由抛物线的对称性可知 AO ABABOAOB 若 OBN 与 OAB 相似 必须有 显然 BNOBOABON 12 A 直线 ON 的解析式为 由 得 xy 2 1 xxx 2 4 1 2 1 0 1 x6 2 x 36 N 过 N 作 NE x 轴 垂足为 E 在 Rt BEN 中 BE 2 NE 3 又 OB 4 1332 22 NB NB OB BON BNO OBN 与 OAB 不相似 同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件 的 N 点 故在抛物线上不存在 N 点 使得 OBN 与 OAB 相似 6 如图所示 将矩形 OABC 沿 AE 折叠 使点 O 恰好落在 BC 上 F 处 以 CF 为边作正方形 CFGH 延 长 BC 至 M 使 CM CE EO 再以 CM CO 为边作矩形 CMNO 1 试比较 EO EC 的大小 并说明理由 2 令 请问 m 是否为定值 CMNO CFGH S S m 四边形 四边形 若是 请求出 m 的值 若不是 请说明理由 3 在 2 的条件下 若 CO 1 CE 3 1 Q 为 AE 上一点且 QF 抛物线 y mx2 bx c 经过 C Q 两点 请求出此抛物线的解析式 3 2 4 在 3 的条件下 若抛物线 y mx2 bx c 与线段 AB 交于点 P 试问在直线 BC 上是否存在 点 K 使得以 P B K 为顶点的三角形与 AEF 相似 若存在 请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标 若 不存在 请说明理由 解 1 EO EC 理由如下 由折叠知 EO EF 在 Rt EFC 中 EF 为斜边 EF EC 故 EO EC 2 m 为定值 S四边形 CFGH CF2 EF2 EC2 EO2 EC2 EO EC EO EC CO EO EC S四边形 CMNO CM CO CE EO CO EO EC CO 1 CMNO CFGH S S m 四边形 四边形 3 CO 1 EF EO cos FEC FEC 60 3 2 3 1 QFCE QF 3 2 3 1 1 2 1 y x O A BE N A A y O x C N B P MA EFQ 为等边三角形 3060 2 60180 EAOOEAFEA 3 2 EQ 作 QI EO 于 I EI IQ IO Q 点坐标为 3 1 2 1 EQ 3 3 2 3 EQ 3 1 3 1 3 2 3 1 3 3 抛物线 y mx2 bx c 过点 C 0 1 Q m 1 可求得 c 1 3 1 3 3 3 b 抛物线解析式为 13 2 xxy 4 由 3 当时 AB 3 3 2 3 EOAO3 3 2 x 3 1 13 3 2 3 3 3 2 2 y P 点坐标为 BP AO 3 1 3 32 3 2 3 1 1 方法 1 若 PBK 与 AEF 相似 而 AEF AEO 则分情况如下 时 K 点坐标为或 3 32 3 2 3 2 BK 9 32 BK 1 9 34 1 9 38 时 K 点坐标为或 3 2 3 2 3 32 BK 3 32 BK 1 3 34 1 0 故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为 1 0 3 1 0 3 7 0 3 5 0 或或或 方法 2 若 BPK 与 AEF 相似 由 3 得 BPK 30 或 60 过 P 作 PR y 轴于 R 则 RTP 60 或 30 当 RTP 30 时 23 3 32 RT 当 RTP 60 时 3 2 3 3 32 RT 1 0 3 1 0 3 5 0 3 7 0 4321 TTTT 7 如图 二次函数 2 yaxbxc 0a 的图象与x轴交于AB 两点 与y轴相交于点C 连结 ACBCAC 两点的坐标分别为 3 0 A 03 C 且当4x 和2x 时二次函数的函数值 y相等 1 求实数abc 的值 2 若点MN 同时从B点出发 均以每秒 1 个单位长度的速度 分别沿BABC 边运动 其中一个点到达终点时 另一点也随之停止运动 当运动时间为t秒时 连结 MN 将BMN 沿MN翻折 B点恰好落在AC边上的P处 求t的值及点P的坐标 3 在 2 的条件下 二次函数图象的对称轴上是否存在点Q 使得以BNQ 为项点的三角形与ABC 相似 y x O C B A D 图 2 y x O C B A D y x O C B A D M P1 E P2 如果存在 请求出点Q的坐标 如果不存在 请说明理由 8 已知 在平面直角坐标系中 抛物线3 2 xaxy 0 a 交x轴于 A B 两点 交y轴于点 C 且对称轴为直线2x 1 求该抛物线的解析式及顶点 D 的坐标 2 若点 P 0 t 是y轴上的一 个动点 请进行如下探究 探究一 如图 1 设 PAD 的面积为 S 令 W t S 当 0 t 4 时 W 是否有最大值 如果有 求出 W 的最大值和此时 t 的值 如果没有 说明理由 探究二 如图 2 是否存在以 P A D 为顶点的三角形与 Rt AOC 相似 如果存在 求点 P 的坐标 如 果不存在 请说明理由 解 1 抛物线 2 3yaxx 0a 的对称轴为直线2x 1 2 2a 1 4 a 2 1 3 4 yxx 2 4 D 2 探究一 当04t 时 W有最大值 抛物线 2 1 3 4 yxx 交x轴于AB 两点 交y轴于点C 6 0 A 2 0 B 0 3 C 63OAOC 当04t 时 作DMy 轴于M 则24DMOM 0 Pt 4OPtMPOMOPt PADAOPDMPOADM SSSS 梯形 111 222 DMOA OMOA OPDM MP AAA 111 26 462 4 222 tt 122t 2 122 2 3 18Wttt 当3t 时 W有最大值 18W 最大值 探究二 存在 分三种情况 当 1 90PDA 时 作DEx 轴于E 则2490OEDEDEA 624AEOAOEDE 45DAEADE 24 2ADDE 11 904545PDEPDAADE DMy 轴 OAy 轴 图 1 y x O C B A D M P y O 3 C D B 6 A x 3 4 yx DMOA 90MDEDEA 11 904545MDPMDEPDE 1 2PMDM 1 22 2PDDM 此时 1 3 2 4 OCOA PDAD 又因为 1 90AOCPDA 1 RtRtADPAOC 11 422OPOMPM 1 0 2 P 当 1 90PDA 时 存在点 1 P 使 1 RtRtADPAOC 此时 1 P点的坐标为 0 2 当 2 90P AD 时 则 2 45P AO 2 6 2 cos45 OA P A 2 6 2 2 6 P A OA 4 2 3 AD OC 2 P AAD OCOA 2 P AD 与AOC 不相似 此时点 2 P不存在 当 3 90APD 时 以AD为直径作 1 O 则 1 O 的半径2 2 2 AD