人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质ppt课件.ppt

二次函数y ax2 bx c图象和性质 1 一般地 抛物线y a x h k与y ax的相同 不同 2 2 知识回顾 形状 位置 y ax 2 y a x h k 2 上加下减 左加右减 2 知识回顾 抛物线y a x h 2 k有如下特点 1 当a 0时 开口 当a 0时 开口 向上 向下 2 对称轴是 3 顶点坐标是 直线X h h k 3 直线x 3 直线x 1 直线x 2 直线x 3 向上 向上 向下 向下 3 5 1 2 3 7 2 6 你能说出二次函数y x 6x 21图像的特征吗 2 1 2 4 探究 如何画出的图象呢 我们知道 像y a x h 2 k这样的函数 容易确定相应抛物线的顶点为 h k 二次函数也能化成这样的形式吗 5 配方 y x 6 3 2 1 2 你知道是怎样配方的吗 6 怎样把函数y 3x2 6x 5的转化成y a x h 2 k的形式 函数y ax bx c的图象 配方 提取二次项系数 配方 加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 化简 去整理 前三项化为平方形式 后两项合并同类项掉中括号 老师提示 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式 7 归纳 二次函数y x 6x 21图象的画法 1 化 化成顶点式 2 定 确定开口方向 对称轴 顶点坐标 3 画 列表 描点 连线 2 1 2 8 函数y 3x2 6x 5的图象特征 2 根据配方式 顶点式 确定开口方向 对称轴 顶点坐标 a 3 0 开口向上 对称轴 直线x 1 顶点坐标 1 2 9 6 5 4 3 7 8 9 函数y 3x2 6x 5的图象特征 10 求次函数y ax bx c的对称轴和顶点坐标 函数y ax bx c的顶点是 配方 提取二次项系数 配方 加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 整理 前三项化为平方形式 后两项合并同类项 这种形式的式子通常被称为抛物线的顶点式 11 函数y ax bx c的对称轴 顶点坐标是什么 1 说出下列函数的开口方向 对称轴 顶点坐标 12 3 开口方向 当a 0时 抛物线开口向上 当a 0时 抛物线开口向下 1 顶点坐标 2 对称轴是直线 13 如果a 0 当 时 函数有最小值 如果a 0 当 时 函数有最大值 4 最值 14 若a 0 当 时 y随x的增大而增大 当 时 y随x的增大而减小 若a 0 当 时 y随x的增大而减小 当 时 y随x的增大而增大 5 增减性 15 与y轴的交点坐标为 0 c 6 抛物线 与坐标轴的交点 抛物线 抛物线 与x轴的交点坐标为 其中 为方程 的两实数根 16 所以当x 2时 解法一 配方法 例5当x取何值时 二次函数有最大值或最小值 最大值或最小值是多少 17 因为所以当x 2时 因为a 2 0 抛物线有最低点 所以y有最小值 总结 求二次函数最值 有两个方法 1 用配方法 2 用公式法 解法二 公式法 18 又 例6已知函数 当x为何值时 函数值y随自变量的值的增大而减小 解法一 抛物线开口向下 对称轴是直线x 3 当x 3时 y随x的增大而减小 19 解法二 抛物线开口向下 对称轴是直线x 3 当x 3时 y随x的增大而减小 20 例7已知二次函数 的最大值是0 求此函数的解析式 21 解 此函数图象开口应向下 且顶点纵坐标的值为0 所以应满足以下的条件组 由 解方程得 所求函数解析式为 22 3 图象的画法 步骤 1 利用配方法或公式法把 化为 的形式 2 确定抛物线的开口方向 对称轴及顶点坐标 3 在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图 23 的图像 利用函数图像回答 例3画出 1 x取什么值时 y 0 2 x取什么值时 y 0 x取什么值时y 0 3 x取什么值时值或最小值 24 2 2 x 2 0 6 1 0 3 0 4 6 由图像知 当x 1或x 3时 y 0 2 当1 x 3时 y 0 3 当x 1或x 3时 y 0 4 当x 2时 y有最大值2 x y 25 与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程 7 抛物线 的根的判别式判定 0 有两个交点 抛物线与x轴相交 0 有一个交点 抛物线与x轴相切 0 没有交点 抛物线与x轴相离 26 例已知抛物线 k取何值时 抛物线经过原点 k取何值时 抛物线顶点在y轴上 k取何值时 抛物线顶点在x轴上 k取何值时 抛物线顶点在坐标轴上 27 所以k 4 所以当k 4时 抛物线顶点在y轴上 所以k 7 所以当k 7时 抛物线经过原点 抛物线顶点在y轴上 则顶点横坐标为0 即 解 抛物线经过原点 则当x 0时 y 0 所以 28 所以当k 2或k 6时 抛物线顶点在x轴上 抛物线顶点在x轴上 则顶点纵坐标为0 即 抛物线顶点在x轴上 则顶点纵坐标为0 即 整理得 解得 由 知 当k 4或k 2或k 6时 抛物线的顶点在坐标轴上 29 抛物线位置与系数a b c的关系 a决定抛物线的开口方向 a 0开口向上 a 0开口向下 a b决定抛物线对称轴的位置 对称轴是直线x a b同号 对称轴在y轴左侧 b 0 对称轴是y轴 a b异号 对称轴在y轴右侧 2a b 左同右异 30 抛物线y ax2 bx c中a b c的作用 3 c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置 当x 0时 y c 抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点 0 c c 0 抛物线经过原点 c 0 与y轴交于正半轴 图象与y轴交点在x轴上方 c 0 与y轴交于负半轴 图象与y轴交点在x轴下方 31 对于y ax2 bx c我们可以确定它的开口方向 求出它的对称轴 顶点坐标 与y轴的交点坐标 与x轴的交点坐标 有交点时 这样就可以画出它的大致图象 a 1 0 开口向下 顶点坐标 2 5 9 4 与y轴交点坐标为 0 4 与x轴交点为 1 0 4 0 32 y 2x2 5x 3 y x 3 x 2 求下列二次函数图像的开口 顶点 对称轴 请画出草图 小试牛刀 3 9 6 33 1 例2 已知函数y ax2 bx c的图象如下图所示 x 为该图象的对称轴 根据图象信息你能得到关于系数a b c的一些什么结论 y 1 x 34 3 已知如图是二次函数y ax2 bx c的图象 判断以下各式的值是正值还是负值 1 a 2 b 3 c 4 b2 4ac 5 2a b 6 a b c 7 a b c 35 分析 已知的是几何关系 图形的位置 形状 需要求出的是数量关系 所以应发挥数形结合的作用 36 解 1 因为抛物线开口向下 所以a 0 判断a的符号 37 2 因为对称轴在y轴右侧 所以 而a 0 故b 0 判断b的符号 38 3 因为x 0时 y c 即图象与y轴交点的坐标是 0 c 而图中这一点在y轴正半轴 即c 0 判断c的符号 39 4 因为顶点在第一象限 其纵坐标 且a 0 所以 故 判断b2 4ac的符号 40 且a 0 所以 b 2a 故2a b 0 5 因为顶点横坐标小于1 即 判断2a b的符号 41 6 因为图象上的点的横坐标为1时 点的纵坐标为正值 即a 12 b 1 c 0 故a b c 0 判断a b c的符号 42 7 因为图象上的点的横坐标为 1时 点的纵坐标为负值 即a 1 2 b 1 c 0 故a b c 0 判断a b c的符号 43 1 抛物线y 2x2 8x 11的顶点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2 不论k取任何实数 抛物线y a x k 2 k a 0 的顶点都在 A 直线y x上B 直线y x上C x轴上D y轴上3 若二次函数y ax2 4x a 1的最小值是2 则a的值是 A4B 1C 3D 4或 1 C B A 44 4 若二次函数y ax2 bx c的图象如下 与x轴的一个交点为 1 0 则下列各式中不成立的是 A b2 4ac 0B 0 5 若把抛物线y x2 2x 1向右平移2个单位 再向下平移3个单位 得抛物线y x2 bx c 则 A b 2c 6B b 6 c 6C b 8c 6D b 8 c 18 B B 45 6 若一次函数y ax b的图象经过第二 三 四象限 则二次函数y ax2 bx 3的大致图象是 7 在同一直角坐标系中 二次函数y ax2 bx c与一次函数y ax c的大致图象可能是 C C 46 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象和性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y ax2 bx c a 0 y ax2 bx c a 0 由a b和c的符号确定 由a b和c的符号确定 向上 向下 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 根据图形填表 47 五 学习回顾 填写表格 48 1 相同点 1 形状相同 图像都是抛物线 开口方向相同 2 都是轴对称图形 3 都有最 大或小 值 4 a 0时 开口向上 在对称轴左侧 y都随x的增大而减小 在对称轴右侧 y都随x的增大而增大 a 0时 开口向下 在对称轴左侧 y都随x的增大而增大 在对称轴右侧 y都随x的增大而减小 驶向胜利的彼岸 回味无穷 二次函数y ax2 bx c a 0 与 ax 的关系 49 驶向胜利的彼岸 回味无穷 二次函数y ax2 bx c a